有限元建模的分析均匀化模型瓦楞纸板外文翻译资料

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有限元建模的分析均匀化模型瓦楞纸板

N. Talbi，

1. Batti，
2. R. Ayad，
3. Y.Q 郭*兰斯大学
4. 香槟 - 阿登，力学，材料和结构组（GMMS，EA2617），
5. Moulin de la Housse，
6. Reims Cedex 2，法国

摘要

在本文中，瓦楞纸板的分析均匀化模型及其数值实现在一个shell元素中。 考虑到几何和机械性能瓦楞纸板组件，这种均质模型导致弹性刚度矩阵相当于等效正交异构板的广泛应变。特别注意在横向剪切力和扭矩下作用于瓦楞纸板。研究了层压和夹心板理论，并提出了一些重要的改进。然后将该模型实现为称为壳单元，用于线性和屈曲分析。将本模型获得的结果与给出的结果进行比较模拟和实验。比较显示均质化的效率和准确性模型。

关键词：瓦楞纸板，有效刚度，分析均质，有限元

介绍：瓦楞纸板自1897年应用以来，现在很难想象包装世界无瓦楞纸板。这种材料广泛由于其轻便，可回收利用，在包装行业使用成本低廉。这种材料的使用不断增加。知道它的机械性能可以帮助进行包装结构的设计和优化。瓦楞纸板通常由两个外部平面组成片材（衬垫或面层）的抗穿刺纸，夹层波纹短纤维纸的中心“填充”（槽纹纸或“中等”），抵抗压缩破碎并给予缓冲保护盒子。“衬衫”和“中等”通过淀粉粘合剂沿着外部胶合在一起。淀粉衍生自玉米，小麦或马铃薯。因此瓦楞纸板的完整材料来自自然，可持续的材料，供应充足。此外，是完全可循环利用的，可以制造制作新的纸板纸。纸板具有很高的强度沿瓦楞槽，所以这个方向通常是垂直放置的在纸箱设计中获得最大堆积强度。瓦楞纸板是夹心板核心和两面板组成。为了确定其机械性能，我们可以随时完全离散核心和外壳元素（3D外壳建模），但建模将是非常的乏味和耗时。更有利的是使纸板均匀化，以获得等效正交各向异性板（2D板或壳建模）。我们可以将均质化方法分为三类：分析，数值和实验模型。对波纹的弯曲刚度进行了分析研究。 Nordstrand和同事提出了一些有效的（或均质化）的瓦楞纸板的性能方法。他们研究了屈曲和后屈曲包括横向剪切的正交各向异性板的影响。 Aboura等也开发了分析同质化基于层压板理论的模型进行比较其结果与数值和实验结果。布尼克提出了基于渐近的均匀化理论扩展方法并提出了FE计算有效行为属性。 Biancolini 使用FE数字评估刚度参数的方法。对Aboura等人进行了几项重大改进模型。在现有的分析模型中，仍然存在一些可疑的问题，如横向剪切力和扭矩。在本文中，我们首先介绍假设和基于瓦楞纸板几何的理论，用几个表示均质模型的公式进行改进;我们还将提出一个三节点三角形壳体有限元 - 称为T3c18 ， 用于线性和屈曲分析和实施H模型。本模型获得的结果与完整的3D外壳建模与实验结果的比较将显示H模型的效率和准确性。

瓦楞纸板的主要假设和理论如图1所示。 1，瓦楞纸板由瓦楞纸组成核心和两个面对的衬垫。两个主要方向表征这种材料。第一个称为“机器方向”（MD-x）

对应制造线方向，第二个是称为“横向”（CD-y）对应横向。众所周知，方向CD-y正常的部分给出相对于正常努力Ny和更大的刚度弯曲。文献中存在两种主要的复合材料理论：夹心板理论和层压理论。瓦楞纸板通常被认为是夹心板，但它并不完全像夹心板一样表现，也不像层压结构。事实上，所有与y正常的部分（称为CD部分）是相同的，并且材料沿y连续（梁状结构沿着y），核心抵抗正常的应力ry（如面），所以给出了很大的膜和弯曲刚度，层压理论板可以采用。另一方面，部分正常到x（称为MD段）变化，核心材料不是沿着x连续，所以它可以抵抗很少的轴向应力rx，这些非常弱膜和弯曲刚度允许使用理论夹心板不考虑核心的作用。对于其他内部的作用，如横向剪切力和扭矩，上述理论已不复存在有效。瓦楞纸板应视为3D薄结构，分析解决方案变得非常复杂。在这项研究中，不同的理论被用来克服这些困难均匀化模型的制定目前的分析均质模型来自于石川等人的作品[9]与弹性行为建模有关的编织复合材料和Aboura等人的作品[5]涉及瓦楞纸板层压理论板的使用，但有一些重要的改进：假设的夹层板在MD-x方向和测定横向剪切和扭转的有效刚度时刻。图2示出了瓦楞纸的几何参数纸板。由于芯的机械性能被确定，实验上总是处于飞行状态，是一个转变本构定律应从本地倾向进行参考下式（1为切线方向，2为y方向，3为正常方向）进入纸板参考xyz。倾斜角度h可以用x表示。

这两者之间的应变和应力的转变参考文献由以下表达式给出：

其中[Te]和[Tr]是应变和应力变换矩阵

图1 瓦楞纸板主要方向

图2将核心的本构定律从参考文献123转换为xyz

与c =coseth;hTHORN;; sfrac14;sineth;hTHORN;这两个参考文献中的本构关系定义为如下

其中[C] 123和[C] xyz分别是柔性矩阵参考文献123和xyz。 [C] xyz具有与[C] 123相似的形式但是使用xyz而不是123，则使用以下应变获得转换：

定义了全局参考中核心的本构规律如下：

一旦根据（3）计算矩阵[C] xyz，我们可以确定核心的上述构成规律的组成部分

（等式（4），（5）

等式 （4）是经典面内应力的定律，（5）是横向剪切应力的本构定律，在复合板中起重要作用，但有时它们是重要的在某些研究中被忽视。

3.2。 均匀化通过厚度而不是使用局部定律（应变应力定律），在每一点上，均质化过程导致了一般化定律，用于等效的均匀板。 整合需要通过厚度和MD-x方向。面内可以分解（方程（4））到膜中部分和弯曲部分

然后，我们添加了对核心结构法的贡献（式（5），（6））。 方程的整合 （5）和（6）通过厚度给出内部合力和时刻

其中tvc = tccos h是通过垂直切割获得的芯的厚度。后缀i，s和c分别表示下和上面和核心。 z和t表示它们的垂直位置厚度。 k = 1.2是剪切修正系数。值得注意的是：上述广义本构矩阵通过使用层压板理论，得到不能满足夹心板理论描述的物理现象：核心MD部分的正常努力和弯矩确实为空（Nxc = 0，Mxc = 0）。 此外，其他行为规律相对于横向剪切力和扭矩应该是也要改进（见第3.4节）。

3.3。 沿MD-x方向均匀化整合后（或均质化）通过厚度，第二次整合应该沿着MDx进行方向在正弦时期。 可以获得平均值如下：

根据方程式 （7） - （9）和（14），广义本构定律可以写成矩阵形式

3.4同质化模型的改进瓦楞纸板比叠层更复杂板因为波纹芯和腔之间两面。 有效刚度矩阵得到应该纠正层压板理论，特别是为了努力和MD部分的时刻。（a）正常努力Nx和弯矩Mx估计核心对膜刚度的贡献和弯曲刚度，我们认为唯一的核心在紧张（图3）。 平衡给出以下正常值力，剪切力和弯矩：

然后可以获得内部变形能

Castigliano的定理用于计算位移在x方向上

因此，我们获得了核心的刚度与之相对的比例面层刚度

使用以下常规参数：hc = 4 mm，P = 8 mm，tc = tf = 0.16mm，Ec = Ef，得到：a = 2.84mm，b = 9.61mm，c = 6306mm，Kcore = 0.000316K面。根据这个分析计算，我们可以得出结论。该芯本质上表现为非常薄的弯曲外壳;芯的弯曲刚度非常小;核心对纸板张力的贡献在x方向是微不足道的。类似的计算也给出了类似的结论弯矩（弯曲刚度比）的核心/面积为0.00018）。总之，核心的硬度相对于Nx和Mx必须在等式（4）或（15）。（b）平面剪切力Nxy和Nyx可以定义MD剖面Nxy上的面内剪切力通过其中G12c是芯平面中的剪切模量，cxycosh（x）是从xy平面到剪切应变的投影。正弦曲线周期cos h（x）的平均值可以计算如下：n

很容易知道（20）中的前两项是相同的在MD和CD部分。我们可以证明期间第三期的平均值也you相同的两个部分。所以关系Nxy = Nyx满足平衡即使两个部分都是有条件的。（c）横向剪切力Qx在层压板理论中，横向剪切刚度与Qx相关的是产品厚度的总和和三层的剪切模量（方程（13））。但这个计算得出了一个重要的价值。事实上，纸板的行为而是由三层组成的薄梁结构;这是核心的弯曲变形决定剪切刚度（图4）。 Nordstrand等人[2]用曲梁理论进行分析判断横向剪切刚度等效问题：a两面之间的水平剪切而不是横向剪切以避免混合弯曲剪切效果（图4）。所获得的剪切刚度取决于核心的几何尺寸和杨氏模量和面层，而不是它们的剪切模量。这个分析解决方案在我们的均质模型中实现。（d）横向剪切力Qy相对于横向力Qy的剪切刚度为等于三层刚度的总和（式（13））

只有切向应力的分布是恒定的在CD部分。但事实并非如此。根据梁理论，可以计算切割线上的剪切应力通过以下公式（图5）：

其中b是切割宽度，Ix是二次矩部分，Sm是表面的静态力矩切割线。 这个公式让我们有一个比喻在纸板部分和I部分之间，所以我们有两者都有相似的剪切应力分布。 非常小的剪切压力在面上发现，但是有一个重要的抛物线核心剪切应力的分布。 所以我们可以只使用核心的剪切刚度而不考虑面积的贡献就像在一段梁上一样。

（e）扭转力矩Myx层压板的理论既不能产生良好的扭转剪切应力分布与Myx有关的刚度

在z的函数上不是线性的，如等式 （6），到期到瓦楞纸板的复杂几何形状。 事实上，CD部分上的扭转可以被认为是扭转具有封闭的多细胞部分的薄壁梁的问题。图6显示了剪切应力的通量：两者相反核心的剪切应力通量几乎相互抵消墙边除外的墙壁。 所以核心的内墙在扭转刚度计算中可以忽略。 理论基于膜类比的Bredt给出以下结论公式的梁扭转刚度与闭合薄壁部分：

其中b是CD段的宽度，G是剪切模量，J是扭转的惯性力矩，l是曲线剖面墙中线的长度，S是被包围的面积通过中线，t是墙的厚度。以来板的宽度比其厚度大得多，我们可以忽略边缘效应，只考虑面的贡献，然后我们获得有效的扭转刚度瓦楞纸板：

扭转力矩Mxy由于瓦楞纸板的几何形状复杂，等式（6）和（13）既不能表示扭转MD部分的行为。其实这是一个复杂的扭转问题，所以不能用束状理论解决。我们的数值模拟可以观察以下内容现象：核心和面板表现为具有开口薄的梁壁截面，其扭转刚度可以通过计算使用古典自由扭转理论，但这一贡献总扭转刚度小。面部（Ty和Ty）中的一些剪切力量导致到显着的内部扭转力矩抵抗应用外部扭矩。核心面弯曲也起着重要的作用：这个弯矩在x方向的投影给出另一个显着的内部扭转力矩。

扭转刚度很大程度上取决于它的宽度纸板，难以获得分析解决方案。数值建模应用于确定其扭转刚度。（g）扭转速率的分离上述讨论表明，a的扭转刚度CD部分可以与MD部分有很大不同。根据正交异性板的经典理论，这些刚度的乘积由相同的扭曲曲率（omega;2w，xy）将产生非常不同的扭矩（Mxy-Myx）违反剪切的互惠定理强调。在我们的研究中，扭曲曲率分为aCD方向的扭转速度和MD方向上的另一个。这种曲率分离方法导致扭转具有整体相干性的正交板理论梁与板之间的理论。最后，行为扭转速度（或扭曲曲率）与扭矩可以写成如下：

其中bx是板从z轴垂直的旋转角度朝向x轴或围绕y轴的旋转角度

（bx = hy），bx，y是沿着y的梁状扭转速率;是是的板的旋转角度从z轴向y垂直轴或围绕alpha;轴的旋转角度（通过=theta;hx），theta;by，x是沿x的梁状扭转速度值得注意的是使用扭转角bx和允许一个清楚沿着x和y方向分离扭转速率bxy-by，x的可能性，但是不可能正确分离功能表达的扭曲曲率横向位移（phi;2w，xy）。

4. 3节结构壳单元T3c18的基础公式

4.1。虚拟工作原理对于非线性，采用更新的拉格朗日公式分析大变形。虚拟工作的原理（PVW）写在最后一个已知的配置上作为应变和应力定义的参考。我们有

在牛顿 - 拉夫逊（Newton-Raphson）程序中，泰勒发展允许以增量形式获得PVW通过壳体厚度的集成和FE离散化，可以得到以下非线性方程组

4.2。壳单元T3c18的刚度矩阵

本研究中使用的壳单元是三角面元件具有三个节点（图7）。它是基于Reissner /Mindlin一级理论，考虑到横向剪切效应。该元件是膜的组合元素CST（恒应变三角形）和弯曲/剪切板元素T3c，由Hughes等人提出[10]然后改进Ayad等人[11]使用简化的雅可比变换和取代的剪切应变。模型允许模拟各向同性/厚薄薄壳结构的正交各向异性行为。CST元件的膜刚度矩阵众所周知的膜元件CST（恒应变元件）用于壳单元。元件刚度矩阵[km]由使用1个锤点积分的积分其中[Bm]是膜应变算子，[Hm]是膜行为矩阵。

4.2.2。板件T3c的弯曲/剪切刚度矩阵基本的弯曲和剪切刚度矩阵[kb]和

[ks]源自以下内部虚拟工作Wbs：

其中[Hb]和[Hs]分别是弯曲和剪切行为矩阵，{v}弯曲曲率和{c}横向

剪切应变。 对局部运动学使用线性近似变量

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