基于稀疏表示理论的两种DOA估计算法外文翻译资料

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2015年国际。 自动化，机电工程会议（AMEE 2015）ISBN：978-1-60595-237-6

基于稀疏表示理论的两种DOA估计算法

Z. Luo，W. Zhao，F. Yu，Y. Liu

中国电子系统工程公司，北京，中国

摘要：稀疏表示理论在已经过去的几年里一直处于信号处理领域的重点，它是非完全字典中的非正交表示形式，稀疏表示理论可以极大地提高DOA估计的分辨率。基于稀疏表示理论的DOA估计存在的问题和疑惑，本文在阵列结构和信号模型的基础之上，研究出了两种不同的DOA稀疏估计模型，它们是时间单点快照模型和多快照联合稀疏模型​​。与MUSIC算法相比，这两种算法不仅具有较高的DOA估计精度，而且能够满足相干信号的DOA估计要求。通过仿真实验对该种方法的有效性和科学性进行了验证。

关键词：到达方向估计；稀疏信号表示；相干信号；多快照联合稀疏

一．介绍

到达方向（DOA）估计是通信，雷达，声纳和其他很多实际应用领域的主要的功能性的要求。这种流行的，高分辨率的算法可以分成两大类。像MUSIC ^[1]，ESPRIT ^[2]这样的子空间算法运用了无噪声信号的低秩结构特点。确定性最大似然（DML）和随机最大似然（SML）^[3]这两种方法，都具有优良的统计特性，但是他们都需要进行准确的初始化，这样的话才能确保数值收敛到全局的最小值。所有的这些方法都依赖于数据的统计特性，因此这就需要足够多的样本来进行精确的估计。除此之外，如果源源之间强关联，那么无噪声数据的协方差矩阵就倾向于丢失等级。特别是当测量嘈杂信号是时，可能会导致性能下降。

稀疏信号表示理论^[4-7]和压缩感知理论（CS）都拥有包括频谱分析在内的很多潜在的应用。大量的研究结果表明：与传统的方法相比，基于稀疏表示理论的DOA估计算法（以下简称SSR算法）具有很大的优势特点^[8]：（1）具有很高的分辨率;（2）不需要进行任何的预处理，就可以直接地应用于相干信号; （3）对初始值的选择并不敏感。（4）只需要很少很少的快照就能够达到非常高的估计精度要求。

稀疏源定位方法目前可以分为两大类，他们是：单一测量矢量（SMV）和多测量矢量（MMV）。单一测量矢量（SMV）在稀疏解中通常使用非零项的索引来提供DOA估计。而对于多测量矢量（MMV）来说，稀疏解中的非零行的索引却是用于DOA估计的。为了简化过程，我们将在本文中提到的这两种情况称为基于幅度的技术。

二．问题的描述和建模

考虑到一个统一的线性阵列（ULA），其中有M个全向传感器用来接收来自远场点源的平稳随机信号。如图1所示，其中d是传感器间的距离，lambda;是信号波长，并且在式子中满足d =lambda;/ 2。假设有p（p lt; M）窄带远场信号冲击ULA。我们设（i = 1，... p）为第i个信号的DOA。在没有互耦效应的情况下，一种被广泛使用的阵列数据模型可以被描述为：

y（t）= A（theta;）* s（t） n（t） （1）

其中，y（t）C^Mtimes;1是数组输出的快照; A（theta;）C ^Mtimes;L是阵列流形矩阵; s（t）C^Ltimes;1是信号矢量; n（t）^CLtimes;1是AWGN向量。

图1.均匀线性阵列的配置

图2.空间稀疏图

为了利用导向矢量模型，大多数的DOA估计算法使用候选方向的网格，除此之外，可以从这样的网格中选择适合它们的DOA估计方法。如上面的图2所示，为了达到可以接受的估计精度，网格就必须要足够地密集才行，因此候选方向的数量就通常要远远地大于源p的数量和传感器M的数量。如果真正的DOA确实属于这个网格，这就叫做网格DOA; 否则它就被称为离网DOA。如果候选方向的网格足够地密集，真实的DOA与候选方向之间的失配而引起的误差项就得由噪声因素来支配了。

三．DOA估计VIA SSR

3.1 时域单一快照模型

由于这个空间源是稀疏的分布着，所以事件源的潜在DOA特性可能被抹黑来形成具有N个像素的空间采样网格Theta;= [，，...，]，其中N。为了便于描述这个式子，我们可以假设theta;sub; Theta;。那么theta;是阵列流形矩阵A（theta;）的空间扩展。为了获得稀疏阵列信号的模型，我们引入冗余字典D。它的公式如下所示：

D = [a（），a（），...，a（）] (2)

并且x（t）= [（t），（t），（t），...，（t）]被定义为从theta;到Theta;的信号矢量s（t）的零填充版本; 也就是说，如果存在phi;n=theta;i，那么（t）=（t）; 否则，（t）= 0。然后我们可以得到第一个稀疏阵列信号模型，它被定义为时间域中的单一快照的模型。这个模型可以被重写为：

y（t）= Dx(t) n（t） （3）

图3.时域中单个快照模型的示意图

与传统的阵列模型中的阵列流形矩阵不同的是，D是由所有的可能的角度组成。因此，在我们的模型中可以知道，它并不依赖于真实信号的角度。示意图就如图2所示。

所以DOA估计问题在这里就被转换为寻找方程（3）的稀疏解的问题了。x（t）中的非零元素的位置用来表示空间目标的DOA信息。对于单快照的时域模型来说，当采样的时间噪声过大或者快照值过小时侯，此时都会造成很大的估计误差。

3.2多快照联合稀疏模型

为了减小噪声和信号采样数据的大幅度波动的影响，我们采用多快照的方法来建立模型。我们定义Y（t）= [（t），（t），...，（t）]，X（t）= [（t），（t），...，]，N（t）= [（t），（t），...，（t）]。 然后模型（3就可以转换为：

Y = D*X N (4)

其中Y和N都 C^Mtimes;Ť，X C^Ntimes;Ť。X的行很稀疏。矩阵X中行的索引位置表示空间目标DOA信息。原理图如下面的图4所示。在等式（4）中，非零行用来表示DOA估计结果。但是稀疏分解时间的计算量随着快照数量的增加而不断的增加。

3.3 DOA估计模型的求解

由于方程式（3）和方程式（4）的解决方案实际上就是一个互逆问题，正则化方法常常用来解决这样的问题。因此，在保证近似解的稳定性的基础之上，要尽可能的保存下来。根据稀疏的信号的特征，所以我们可以找到能够用于稀疏的独特的解决方案来解决这种问题。

等同于最稀疏信号，要想找到最好的解决方案就等于去解决下的问题。

图4.多快照联合稀疏模型的插图

min z =

s.t.b = Dh (5)

是h中非零元素的数量，从一个随机的冗余字典中发现信号稀疏扩展是NP难问题，为了解决这个问题，陈^{[ 9 ]}做了细微的区别和变换来解决以下问题：

min z =

s.t.b = Dh (6)

当模型包含噪声时，方程（6）的限制条件就不再适用了。此时我们就将问题转换为了最小化目标函数的问题，公式如下面所示：

min z = (7)

目标函数的第一个反映了不匹配的程度。后者反映了稀疏性要求。h的范数公式是：

(8)

由此我们可以发现，在这个等式（8）中两边的平方项仍然不能够消除平方根。这将直接导致我们不能够使用二次规划的方法来最小化目标函数。但是幸运的是，DOA估计可以在二阶锥形规划（SOCP）的框架中有效地计算出来。作为模型的一个对等物，等价的SOCP公式可以是其中（t）是y（t）的第i个元素，beta;是正则化参数，Re [bull;]和Im [bull;]是实部和虚部分别。选择的最著名和最系统的方法是交叉验证（CV）和差异原则（DP）。并且问题的SOCP表示允许我们使用一个实现。公式如下面所示：

（9）

对称圆锥上优化的路径跟随内点法。模型（9）可以通过SOCP编程软件包（如SeDuMi和CVX）来进行计算。

四．仿真结果和数据分析

为了验证所提出的算法的具有效性，我们考虑具有8个元素的ULA阵列。传感器被实际窄带源信号的一半波长分开，我们使用基于多快照联合的稀疏模型比较MUSIC和基于SSR的算法的性能。此时在Win 7 SP1的环境下，使用运行在英特尔酷睿i3-4130,3.40 GHz处理器和4 GB内存上的MATLAB 2010执行仿真实验。

4.1 DOA估计独立信号的性能

本次实验的目的是在低信噪比的情况下，验证基于SSR算法的DOA估计性能。假设在这个时候有四个远场窄带独立信号，他们分别来自-53°，-18°，6°和27°。并且此时信噪比（SNR）为-10 dB。图4就显示了基于SSR的算法和MUSIC获得的空间谱的情况。

图4表明，在低信噪比的条件下，MUSIC无法正确估计信号的DOA参数。尽管如此，基于SSR的算法仍然可以准确地估计所有信号的DOA的数值。

图5.通过不同算法获得的空间谱。

在-53°，-18°，6°和27°的不相关信号，SNR为-10 dB。

4.2 相干信号的DOA估计性能

为了研究基于SSR的算法在相干信号的估计中的性能，实施了以下的实验。在同一实验的实验条件完全相同的情况下，快照数为1024。假设有三个远场窄带相干信号，它们分别来自-63°，7°和48°。图6则描绘了基于SSR的算法和基于MUSIC获得的空间谱的情况。

显而易见：没有经过任何的处理，MUSIC对于相干信号的DOA估计是没有用的。无论如何，基于SSR的算法仍然具有较高的估计精度。

4.3 DOA估计精度分析

本次实验分别基于实验1和实验2。此时信噪比的范围从-10dB到20dB以步进为5dB进行变化。在每个SNR下，我们进行了1000次的蒙特卡罗实验。并且两种算法的DOA估计精度数值已经被计算出来。图6则显示了基于MUSIC和基于SSR的算法的均方根误差的曲线情况。图7就清楚地表明了，基于SSR的算法对于相干信号和非相干信号具有很高的估计精度。即使在低信噪比的情况下，基于SSR的算法的方法仍然具有较高的估计精度。DOA估计的RMS值低于1°，展现了非常优越的工程应用价值。

图6.通过不同算法获得的空间谱。

相干信号源在-63°，7°和48°，信噪比为10 dB。

图7. DOA估计与SNR的RMSE

五．结论

一般来说，信号稀疏分解的理论在DOA估计的应用中是一个全新的方向。本篇文章对信号空间模型的稀疏表示和求解的方法进行了讨论。并且用许多实验来证明使用基于SSR的算法来进行DOA估计的可行性。但是还是有很多其他的问题需要进一步的研究和探索，比如在宽带信号DOA估计中建立一个完整的字典。

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