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在有限的链环上重根循环和负循环码
摘要：我们表明，在一个有限的链环上的重根循环码通常不是主要生成的。 如果环是具有2的幂的特征的伽罗瓦环，则主要产生重复的根环形码。对于任何其它有限链环，它们通常不是主要生成。 我们还证明了在有限链环上重根循环和负循环码的结构，基数和汉明距离的结果。
1 介绍
大多数作者从一开始就研究循环码在整个领域的研究，假设代码的长度n不能被域的特征p整除。这确保了xn-1，并且因此任何循环码的生成多项式将不具有多个因子，因此在扩展字段中没有重复的根。循环码，其中p|n被称为“重根循环码”，并且已经在[7,20,12]中进行了研究（严格地说，只有其中p|n和生成多项式具有多个因子的代码被称为重根码，但在这里，我们将使用该术语来指代所有带有p|n的代码）。我们将调用“单根循环码”代码，n不能被p整除。
过去几年来，在一个有限的环而不是一个领域的循环代码已经进行了广泛的研究，出于[10]。在本文中，R将表示一个有限的链环（例如，，整数环的一个素数p的幂或伽罗瓦环），R的剩余字段和p是R的特征。长度为n的循环码 R是R=R[x]/lt;xn-1gt;中的一个理想。 在[6,11]中描述了这种码的结构，对于R =，在[17]中更常见的是有限链环。再次，在上述论文中假设n不能被p整除，即我们正在处理简单的根循环码。所有证明都必须使用这个假设，证明技术不能直接适应于p|n的情况。
对无限循环的重复循环码进行了较少的研究。使用格尔内基技术，在[19]中得出了有限链环上循环码的结构（涵盖单根和重根的情况）。使用不同的技术，在[14,15]中证明了R[x]中理想结构的类似结果。在[1,2,4]中研究了不同特定情况下的Z4上的重根循环码。
长度n超过R的负循环码是Q= R[x]/lt;xn-1gt;中的理想。再次，通常假设p不分为n，并且我们将根据p是否划分n来区分重根和单根负循环码。对于R = Z4，在[21]中已经研究了单根负循环码，在[5]中已经研究了重根负循环码。
在本文中，我们正在研究关于有限链环R上的重根循环和负循环码的几个问题。主要结果在第3节定理3.4中。我们发现，当p|n，R不是主要理想环时，这意味着对于任何n个p的倍数，存在长度为n的不是主要生成的重根循环码。这与单根循环码的情况形成对比，单根循环码总是主要生成的，参见[6]。单根负循环码始终是主要生成。对于重根负循环码，情况稍微复杂一点：我们发现，当R是伽罗瓦环且p = 2时，Q是主要的理想环，但在所有其他情况下，它不是最重要的。证明这些结果的主要成分是[8,9]的定理，我们以略微一般的形式和简单的证明来回顾。对于R = Z4上偶数长度代码的特定情况，我们的结果表明，重根负循环码总是主要的，而重根循环码不是。因此，我们检索[1,2,4,5]的结果。
在其余部分中，[19]中描述的单根循环码的结构，基数和汉明距离的结果（参见[6,11]）被概括为包括单根和重根循环码。即在第5节中，我们确定一个生成矩阵和一个循环码的基数，在第6节中表明一个重根循环码在R上的汉明距离等于一个显式构造的重根循环码的汉明距离码在R的残留字段中。在证明这些结果时，我们利用[19]中导出的循环码的格尔内基，并在第4节中回顾。[14,15]中描述的规范生成系统也可以使用。
最后，在第7节中我们表明，第4,5,6节的结果也适用于负循环码。
2 符号
在本文中，R将表示一个不是域的交换无限链环。回想一下，有限链环是一个有限的环，其理想是线性排序的。有限链环的实例包括（整数残基模数为素数，具有整数，age;1）和伽罗瓦环。 本文中使用的R的主要特性如下（参见例如[13,22]）：
命题2.1有限链环R是具有最大理想N(R)的局部主要理想环，R的幂零根基； R N(R)的元素是单位。 令gamma;是N(R)的固定生成，nu;是gamma; i.e的零电压指数，即gamma;nu;= 0的最小正整数。
（i）R的不同适当理想是lt;gamma;igt;,i = 1，...，nu; -1。
（ii）对于任何元素risin;R {0}，存在唯一的i和单位u，使得r =，其中0le;ile;nu;-1，u是唯一的模gamma;nu;-i。
（iii）对于任何risin;R，如果rgamma;i= 0则risin;lt;gamma;nu;-igt;。
从现在开始，gamma;和nu;将与命题2.1相同。我们将通过R=R/lt;gamma;gt;表示R的残差字段，并用素数p表示R的特征。回想一下R的特征将是p的幂。
我们还将表示从R到的规范投影下的元素risin;R的图像。该投影自然地延伸到从R [x]到[x]的投影。
在R=R[x]/lt;xn-1gt;中，长度为n的循环码R是理想的。 在R=R[x]/ lt;xn 1gt;中，长度为n的负循环码R是理想的。
如果在其分解中没有多个不可约因素，则域上的多项式被称为无方块。一个多边形的无广义部分是一个域的多项式，它是所有不同的不可约的因素的产物。
3 有限链环上的重根循环码不是主要生成
一个域上的循环码和负循环码（不管是单根还是重根）总是主要的理想，并承认作为xn -1（或分别为xn 1）的除数的生成。 在[6，定理6的推论]中显示，上的单根循环码总是主要理想，但并不总是承认为xn -1的除数。 使用相同的技术，结果可以推广如下（[17，定理4.6]，参见[8]）：
定理3.1令fisin;R[x]是一个首一多项式，使得f是无平方的。 那么R[x]/lt;fgt;是一个主要的理想环。
因此，单根循环和负循环码R是主要生成的。对于重根循环码，已经在[1]和[4]中证明，对于R = Z4和n = 2e或n = 2k，其中k奇，R不是主理想环。
为了检查一般情况，我们需要以下定理，这是[8，定理4]的概括。 另见[9，定理2]。我们简化了证明，并将其包含在附录中，以获得完整性。
定理3.2（参考[8,9]）令fisin;R[x]是一个首一多项式，使得不是无方的。令g，hisin;R[x]使得和是的无平方部分。用uisin;R[x]写入f = gh gamma;u。 那么R[x]/lt;fgt;是主要理想环iffne;0，和是互质的。
注意，在原始定理（[8，定理4]和[9，定理2]）中，多项式g，h，u以独特的方式构建，构造依赖于特定环的结构，而这里我们允许对于多项式g，h，u的任何选择，只要它们满足定理中提到的较松散的属性即可。
推论3.3 用定理3.2的符号，如果f和h在R [x]中有一个非平凡的共同因子作为多项式，则R[x]/lt;fgt;不是主理想环。
证明：如果= 0，通过定理3.2，R [x]/lt;fgt;不是主理想环。 所以让我们假设ne;0。令disin;R [x]是f和h的非平凡公约数。 用f1,h1isin;R[x]写入f = df1和h = dh1。 我们有df1 = gdh1 gamma;u，因此gamma;u= d（f1 -gh1）。 这意味着= 0，这意味着= 0，因为dne;0。因此，我们可以为一些u1isin;R[x]写入f1-gh1 =gamma;u1。 那么gamma;u=gamma;du1，所以=。 因此，和不是互惠的，因为他们有一个共同的因素。 通过定理3.2，我们现在可以推断出，R[x]/lt;fgt;不是主理想环。
定理3.4 让R成为一个有限链环，p是其残留域的特征。 令R=R[x]/lt;xn-1gt;和Q=R[x] /lt;xn 1gt;。 如果p|n则：
（i）R不是主理想环。
（ii）如果pgt; 2或如果p = 2且R不是伽罗瓦环，则Q不是主理想环。
（iii）如果p = 2且R是伽罗瓦环，则Q是主理想环。
证明。 由于p|n，对于某些bge;1和pk，我们可以将n写为n = kpb。 在[x]中，我们有：
因为equiv;0（mod p）对于所有的0 lt;ilt; pb和= 1如果p是奇数并且= 1 = -1如果p = 2。
（i）将f = xn -1，g = xk -1和h = 与f，g，hisin;R[x]进行比较，我们得到=，是无平方的一部分。请注意，xk -1在R[x]中除以f =-1。因此，xk -1是f和h的常见因子，所以通过推论3.3，R不是主理想环。
（ii）和（iii）将令f = xn 1，g = xk 1和h =在f，g，hisin;R[x]条件下。 我们有=，是的无平方部分。
考虑第一种情况pgt;2.由于pb是奇数，因此xk 1是f = 1的因子。因此，xk 1是f和h的常见因子，因此推论3.3 Q不是主理想环。
现在假设p = 2，有一个uisin;R[x]，使得f = gh gamma;u。 我们确定gamma;u：
通过库默定理，我们知道除了所有的i=1,hellip;,2b-1可以被4整除，除了，它能被2整除，但不能被4整除。因此，gamma;u=2t 4为一些奇整数t和一些wisin;R [x]。 如果R是伽罗瓦环，gamma;= 2，则。很明显，与是互质的，因此通过定理3.2，Q是一个主理想环。
假设现在R不是伽罗瓦环。 通过[13，引理XVII.4]，任何有限的链环R包含伽罗瓦环T = GR（pa，r）和gamma;s= pv对于某些sge;1和visin;T[x]单位。 此外，当R不是一个可以显示sge;2伽罗瓦环时，我们有p = 2 =gamma;sv-1，所以gamma;u=gamma;sv-1t gamma;2sv-2w。 因此，= 0和由定理3.2，Q不是主理想环。
对于重要的特殊情况R = Z4，定理3.4变为：
推论3.5如果n是偶数，则Z4 [x]/lt;xn 1gt;是主理想环，并且Z4 [x] /lt;xn-1gt;不是主要理想环。
因此，在Z4上的所有重根负循环码都是主要的。 对于任何偶数，在Z4上存在不是主要的重根循环码。 因此，我们检索了[1，2，4，5]的结果。
4 有限链环上的循环码生成
[14,15]中描述了R[x]中理想的特定形式的生成。 [19]中描述了R[x]中理想的最小格尔内基的结构。 事实证明，两个概念相吻合。
我们记得下面的[19，定理4.2]，其描述了在R上的循环码的格尔内基。通常，R的元素用小于等于n的多项式来识别。
定理4.1 令Csub;R为非零循环码。 然后C承认一组发生器C =lt;gt;，其中0le;sle;v-1并且
（i）0le;j0lt;... lt;jsle;v-1
（ii）gi当i=0,hellip;,s首一
（iii）ngt; deg(g0)gt; deg(g1)gt; ...gt; deg(gs)，
（iv），对R [x]中的i = 0，...，s-1，
（v）。
此外，这组发生器是一个强大的格尔内基。
以下是[18，定理7.5]的直接后果：
命题4.2 令Csub;R为非零循环码。定理4.1中描述的格尔内基的基本原理并不一定是唯一的。 然而，基数的基数，其多项式的程度和指数j0，...，js是唯一的。
注释4.3注意定理4.1是单根和重根循环码的结构定理。 条件（iv）和（v）意味着|| ... ||。 对于我们在[19，定理4.3]中显示的单根情况，条件（iv）和（v）可以被更强的条件gs | gs-1 | ... | g0 | xn-1取代，从而检索结构定理[6]和[17]。对于重根码，条件（iv）和（v）通常不能改进：有一些代码，定理4.1中给出的形式的发生器没有属性gs | gs-1 | ... | g0 | xn -1（参见[19，实施例3.3]）。
5生成矩阵和有限链环上的循环码的基数
在[17，定理4.5]中，我们确定一个生成矩阵和一个单根循环码在有限链环上的基数。 结果可以推广到任意循环码（重根或单根），如下所示：
定理5.1 让C为定理4.1中的一组发生器给出的循环码。表示当i = 0，...，s和d-1 = n时di = deg(gi)。
（i）矩阵由对应于码字的行组成，i=0,hellip;,s和k = 0，...，di-1 -di -1是C的生成矩阵。
lt;
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