已实现波动率预测:综述外文翻译资料

已实现波动率预测:综述

关键词：已实现波动率，随机波动率，波动率模型

1、介绍

在过去20年里，金融计量经济学的文献一直专注于对波动性进行建模和预测。由于波动率作为一种风险衡量指标在资产配置、风险管理和期权定价中被广泛使用，而且由于它不能先验确定，在这种情况下，定义一个好的波动性指标变得极为重要。因此，大量的计量经济学文献都集中于估计潜在的条件方差。

在早期阶段，大部分波动率模型都是基于Engle(1982)和Bollerslev(1986)提出的(广义)自回归条件异方差模型，以及随机波动率(SV)模型。

鉴于高频数据的可用性越来越高，研究人员已经转移了他们的注意力基于这类数据的非参数波动性度量。Merton(1980)首次尝试使用高频数据来测量波动率，他指出条件方差可以计算为在足够高的频率采样的收益平方和。最近关于日内数据信息内容的理论发现激发了大量关于波动率非参数度量的性质的文献。事实上，Andersen、Bollerslev、Diebold和Ebens(2001)表明，基于更高频率数据的事后波动率成功地衡量了潜在的回报率波动性。Barndorff-Nielsen和Shephard (2002a,b)基于二次变异理论，提供了使用已实现波动率作为潜在波动率代理的理论基础。这样，波动率就可以被观察到，并可以通过传统的时间序列模型直接建模。

本文旨在回顾已实现波动率（RV）的理论基础和实证应用。与已经发表的关于RV的评论相反，本文主要关注已实现的波动率模型的实际应用，并特别提到预测性能。为了对RV模型进行全面的综述，本文还提到了已实现的GARCH模型、MIDAS模型和非线性波动率模型，这些模型在同类论文中从未涉及。Poon和Granger(2003)、Andersen、Bollerslev、Christoffersen和X.(2006)、McAleer和Medeiros (2008b)以及Bandi和Russell(2006)也回顾了RV文献。然而，前两篇文章没有考虑微观结构噪声，而另外两篇文章则侧重于理论性质而不是经验应用。我们的目标是对RV预测的相关模型提供一个全面的概述，以启发可能的替代模型，克服这一特定的计量经济学文献中仍然存在的缺陷。

本文还概述了波动率预测、评估和比较的研究进展。我们分析了独立度量、两两比较检验，如Diebold和Mariano(1995)、West(1996)和Giacomini和White(2006)提出的检验，以及多种比较方法，如Hansen、Lunde和Nason(2011)提出的模型置信集。在大多数预测精度的直接方法中，预测的评估依赖于统计损失函数的排序。在本文中，我们讨论了在单一变量和多元变量框架下的一些可容许损失函数的性质。

本文分为以下几个部分：第一部分概述了波动率定义的理论基础；第二部分是对基于预期和瞬时波动率函数形式的参数模型的全面回顾。第三部分关注非参数波动率建模方法，重点关注已实现波动率及其实证应用，而本文的最后部分讨论了预测评估方法。

1.1理论基础

众所周知，在金融市场上，谈判发生的时间间隔极短，股票价格可能被模拟为连续的过程。假设p(t)是对数价格的单变量过程，定义在一个概率空间(Omega;， I, p)中，在连续时间上的一个区间[0,t]上演化，其中t是一个整数，全部可用信息由(It)tisin;[0,t]sube;I给出。

假设没有套利且第一时刻有限，价格过程属于一类特殊的半鞅，如Back(1991)和Shiryaev(1999)所定义。半鞅类在计量经济学中特别相关，因为它包括鞅和Leacute;vy过程(另见Protter(1992))。具有有限均值的对数价格过程p(t)是一个半鞅，如果它可以分解为一个鞅和一个局部鞅的和，局部鞅可以进一步分解为一个连续过程和一个跳跃分量的实现:

p(t) = p(0) A(t) M(t) = p(0) A^C(t) ∆A(t) M^C(t) ∆M(t), (1.1)

其中A(0)equiv;M(0)equiv;0,A^C(t)和M^C(t)为连续过程的实现，∆A(t)和∆M(t)为相对跳跃分量。

如果区间[tminus;h,t]内的复合返回，对于0le;hle;tle;t定义为

r(t,h) = p(t)minus; p(tminus; h); (1.2)

且[0,t]中也可以表示为

r(t) equiv; r(t,t) = p(t)minus; p(0), (1.3)

由此可见,

r(t,h) = p(t)minus; p(0) p(0)minus; p(tminus; h)

= r(t)minus;(p(tminus; h)minus; p(0)) (1.4)

= r(t)minus; r(tminus; h).

进一步假设资产价格遵循一个有限且几乎肯定是严格正的过程，因此p(t)和r(t)在[0,t]上定义良好，并且r(t)仅在[0,t]上有可数的跳跃点。

假设价格和回报过程的平方是可积的，caacute;dlaacute;g版本的过程由下式给出：

r(tminus;) equiv; (1.5)

r(t ) equiv; (1.6)

r(t) = r(t ) a.s. (1.7）

累积回报过程中的跳跃量是：

∆r(t) equiv; r(t)minus; r(tminus;), 0 le; t le; T. (1.8)

一般来说在连续点上，∆r(t) = 0

P(∆r(t) ne; 0) = 0 t isin; [0,T]. (1.9)

这并不意味着跳跃一定是罕见的。在任何离散的时间间隔内都有可能发生（可数）无限次的跳跃——这种现象被称为爆炸。

作为鞅分解的结果，返回过程等于：

r(t) equiv; p(t)minus; p(0) = micro;(t) M(t) = micro;(t) M^C(t) M^J(t). (1.10)

瞬时收益分解为一个可预测的有限变分过程micro;(t)和一个局部鞅M(t)，而局部鞅M(t)又进一步分解为一个连续样本路径、无限变分局部鞅M^C(t)和一个补偿跳跃鞅M^J(t)。因此，瞬时回报被分解为预期回报成分和(鞅)创新。

1.2波动率:定义和理论

波动率是指一段时期内资产回报的非预期可变性的指数。在本节中，我们分析了波动率的不同定义以及它们之间的关系。

对于每一个半鞅X(t)和一对半鞅X(t)和Y(t)，对于tisin;[0,t]，过程的二次变分和协变可定义为：

[X, X]_t = X(t)²-2 (1.11)

[X,Y]_t = X(t)Y(t)minus;- (1.12)

其中caacute;dlaacute;g过程的积分，X(sminus;)e Y(sminus;)，是明确定义的。由此得出二次变分[X, X]_t是一个增长的随机过程。

半鞅的二次变分具有以下性质:

1. 如果tau;_m是[0,T]的一个分割，对于 0 =tau;_m,0 le; tau;_m,1 le; ··· le; tau;_m,m = T，使m→infin;时， sup_jge;0(tau;_m,j 1minus;tau;_m,j) →0则

(1.13)

其中tand;tau;equiv;min(t，tau;)且收敛一致。二次变化过程表示X(t)在[0,t]时间区间内(累计)实现的样本路径可变性。

1. 如果X(t)和Y(t)是平方可积半鞅，则X和Y在[t - h,t]中的协方差由：

=E([X,Y|)-[X,Y (1.14)

1. 若(1.1) A中的有限变分是连续的，则有

[X _i, X _j]_t = [M _i,M _j] = [, ] (s)(s) (1.15)

性质（iii）表明连续有限变分过程中的二次变分为零，因此平均分量与二次变分无关。如果在不丧失普遍性的情况下，假设对数价格遵循扩散过程

d p(t) = micro;(t)d t sigma;(t)d W(t), (1.16)

其中W是一个Wiener过程，micro;(t)是一个有限变量可预测过程，而sigma;(t)是一个严格正可平方可积过程，因此：

d p(t) = (1.17)

那么在区间[t - h,t]内的复合收益由以下公式给出：

r(t,h) = (1.18)

因此，二次变分可计算为：

(1.19)

这个量是定义已实现方差所必需的，也称为积分方差。

二次方差对于定义名义波动率至关重要，由实际方差量化。名义波动率是回报率可变性的自然事后表达（Andersen、Bollerslev、Diebold和Labys（2000））。名义波动率等于收益率序列的二次变化，并且在[tminus; h、 t]时间间隔等于：

(1.20)

令I_t表示r_t到t为止的可用信息，在上式中，[tminus;h,t]上的条件波动率(或期望波动率)可定义为： (1.21a)

(1.21e)

当A_h/B_h几乎肯定收敛到一个有限常数时，定义A_h = O_a.s (B_h)，即h→0。我们得到方程(1.21c) = O_a.s.(h²)，方程1.21等于O_a.s（h²），方程1.21d等于，方程1.21e等于O_a.s（h3^/2）因此，条件方差可以写成：

(1.22)

这意味着，当micro;(s) = 0或micro;(s)相对于I_{t - h}可测时，条件

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