基于多属性群决策过程中最小调整的共识原则外文翻译资料

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基于多属性群决策过程中最小调整的共识原则

Bowen Zhanga, Yucheng Dongb

摘要：在本研究中，我们提出了两种基于优化的共识规则，称为最小调整的共识规则，用于多属性群决策（MAGDM）问题。这两个共识规则之一是最小化原始和调整的偏好之间的距离，另一个旨在最小化调整的偏好值的数量。根据提出的协商一致规则，我们进一步提出了多属性群决策问题的交互式共识达成过程。最后，我们用一个说明性的例子来阐述该方法的实现过程。

1. 引言

多属性群决策（MAGDM）在现实世界中起着重要的作用。 已经提出了大量的方法，理论和应用来解决MAGDM问题。一般来说，群体决策（GDM）模型可以分为两个步骤：共识过程和选择过程[2]，[3]。通常，共识意味着全面一致的协议。 但是，完全的同意在现实生活中是不必要的。 因此，提出了软共识度并将其应用在共识过程中[4] [5] [6]。在过去几十年中，很多研究侧重于群决策问题达成共识[2][3]，[6] - [13]。基于完整的语言框架，Herrera等 [8]提出了异构GDM问题的理性共识模型。 Herrera-Viedma等 [2]提出了具有不同偏好结构的GDM问题的共识模型。 Mata等 [9]提出了多粒度模糊语言环境下的GDM问题的适应性共识支持模型。 最近，Cabrerizo等人 [10]分析了模糊群决策问题中的不同共识方法，并讨论了其优缺点。在达成共识的过程中，决策者需要调整意见，提高共识水平。最重要的问题之一是如何尽量减少调整值，调整值反映出每个决策者初始意见与调整意见之间的偏差。 因此，Dong等 [14]提出了一个共识算子这个共识算子为GDM问题提供了一个备选的共识模型，以最大限度地减少初始意见和调整意见之间的偏差。 此外，Ben-Arieh和Easton [15]和Ben-Arieh等人人。 [16]提出了一个共识成本的新概念，改变每个决策者意见1单位距离的单位成本是不同的。他们还提出了几个最小成本共识模型，该模型主要致力于最小化共识成本。 最近，张等人 [17]扩展了最小成本共识模型，并提出了一种新颖的框架，以实现集结算子下的最小成本共识。在本文中，我们提出两个对MAGDM问题进行最小调整的共识规则。 与现有关于最小调整共识模型的研究相比，我们的共识规则主要可以弥补两个不足：

1. 现有的最小调整共识模型，如[14]，[16]，[17]，主要关注信号属性的GDM问题，Ben-Arieh和Easton [15]提出了最小成本共识模型来评估由多个标准替代信号。 在这项研究中，我们提出了关于MAGDM问题最小调的整两个共识规则。

（2）现有的最小调整共识模式集中在最小化原始和调整后的偏好之间的距离。 然而，我们的共识规则之一是尽量减少调整的偏好值的数量。

本文的组织结构如下。 在第2节中，我们介绍有关MAGDM问题的基础知识。 然后，第3节提出了对MAGDM问题的最小调整的两个共识规则。在第4节中，基于第3节中提出的共识规则，我们提出了MAGDM问题的交互式共识达成过程。 在第5节中，提供了一个说明性的例子。 最后，第6节介绍结语。

1. 基础知识

本节介绍了MAGDM问题的一些基本概念。

令表示一组不同的可供选择，表示一组属性以及表示一组决策者。令表示决策者给出的决策矩阵，表示对于选择方案x关于属性a的偏好值。是属性的权重，非负并且和为1。是决策者之间的关联度权重，非负并且和为1。

我们可以把决策者的决策矩阵标准化为相应的标准决策矩阵。

对于收益属性：

对于成本属性：

集结算子经常被用来集结个体意见。加权平均算子是群决策问题中最重要的集结算子。一个n维的OWA算子是 一个函数。

是中第i个 最大的元素

群决策矩阵可以通过OWA算子集结决策者意见得到：

令表示替代者的评价值。然后，通过加权平均算子集结所有的属性，我们可以得到：

因此，我们可以通过评价值对所有替代者排序。

为了测量每个个体的标准化决策矩阵和群决策矩阵之间的相似度，Xu [18]介绍了以下距离公式：

表示的相似度。在本文中，用表示共识阈值。如果，那么所有的决策者都达到了所需的共识水平并且共识达成过程完成。

1. 多属性群决策问题中基于最小调整的共识规则

3.1 共识规则1：初始意见和调整意见之间的最小距离

令表示决策专家调整后的决策矩阵，通过集结调整后的个人决策矩阵得到。共识规则1是最小化初始意见和调整意见之间的距离。那么，共识规则1可以构造如下：

将模型（5）表示为P1。 在模型（5）中，所有决策者都需要达到给定的共识水平，OWA算子用于将调整后的个人决策矩阵集结到群决策矩阵中。为了方便P1的求解过程，我们引入了定理3.1。

定理3.1：是一组实数，是当，Y的转置。如果满足如下约束

那么可以获得。

证明：基于[19]的相关研究，定理3.1中的约束（6）和（8）保证zi的最大值是Y的第i个最大元素，定理3.1中的约束（7）和（9）保证 zi的最小值是Y的第i个最大元素。然后，我们可以得到定理3.1中的约束（6）〜（9）可以保证zi是Y的第i个最大元素。因此。 这完成了定理3.1的证明。

通过引入四个变换的决策变量：可以将P1等价地转换成以下混合的0-1编程问题：

将模型（10）〜（22）表示为P2。 约束（11）〜（13）保证和约束

1. 〜（17）保证。 基于定理3.1，约束（18）〜（21）可以保证是的第k个最大元素。 因此，P1可以等价转换为P2。

3.2共识规则2：最小化调整偏好值的个数

共识规则2旨在尽可能减少调整的偏好值个数。 我们引入0-1变量来计算调整后的偏好值的数量。 如果偏好值在共识过程中发生变化，则。否则，。 那么，共识规则2可以构建如下：

将模型（23）表示为P3。 P3可以等价地转换成以下程序问题：

将式（24）表示为P4。 由于，我们可以得到：如果; 并且如果或1。

然而，很显然，当时，可以最小化目标函数。 因此，最优

P2和P3的解决方案是一致的。 为了方便P3的解决过程，我们引入了Berthold等人提出的以下引理。 在[20]。

引理3.1。 如果混合0-1编程中的约束包含具有线性项的二进制变量x的乘积

其中y i（1,2，...，n）是具有有限界限的变量，该乘积可以由新的变量z和以下线性约束代替：

基于引理1，P4可以等价转换为以下混合0-1编程问题：

将式（26）〜（40）表示为P5。 约束（27）〜（29）保证和约束（31）〜（33）保证。 基于定理3.1，约束（34）〜（37）可以保证是，...，T的第k个最大元素。 基于引理3.1，（38）和（39）保证。因此，P4可以等价地转化为P5。

1. 基于提出的共识规则取得共识的过程

一般来说，“共识”第1和第2条获得的最优调整意见值y应该被视为专家用来修改其个人意见的决策援助。 因此，在本节中，我们提出了基于共识规则1和2的MAGDM问题的交互共识达成过程。这种交互共识达成过程的主要思想是允许决策者基于共识规则提出的调整建议，有更大的灵活性来修改其意见 。

共识达成过程的细节在以下算法中描述。

算法1：

输入：标准化矩阵（1,2，...，），共识阈值，最大迭代次数max_rounds 1，决策者w的相关权重向量。

输出：调整后的个人决策矩阵，群决策矩阵，代替数量L;

步骤1：令L=0和

步骤2：计算群决策矩阵和共识指数。如果或者，那么进行步骤4.否则进行步骤3.

步骤3：考虑第L轮的个人决策矩阵，并且利用共识规则1计算最优个人决策矩阵。进行步骤2.

步骤4：令和。输出调整后的个人决策矩阵，群决策矩阵和替代的数量。

步骤5：结束。

备注1.在算法1中，我们用步骤4 *代替步骤4。 我们可以获得一个新的算法，算法2。

步骤4 *：考虑轮l中的（1,2，...）原决策矩阵，并利用

共识规则2（第3节中的P5）来计算最优（1,2，...，）。 让

转到步骤2。

1. 说明性例子

在本节中，我们以一个例子来说明达成共识的过程。 这个例子在[18]，[21]中使用。

在说明性示例中，替代品x i （1,2,3,4,5）将由三个决策者进行评估。 每个决策者根据八个不同的属性评估替代方案

我（1,2，...，8）。 让决策者的相关权重向量为w=（0.2,0.5,0.3）。 让0.15成为

共同阈值，属性权重向量为（0.10,0.08,0.12,0.13,0.17,0.15,0.11,0.14）。该

标准化个体决策矩阵列于表1-3。

表1标准化个人决策矩阵R1

表2标准化个人决策矩阵R2

表3标准化个人决策矩阵R3

步骤1.利用OWA算子将标准化个体决策矩阵R k k0（1,2,3）集结到群决策矩阵Rc0，并计算R k k0（1,2,3）和Rc0之间的相似度。0 0d R R（，）0.1230 1 c d R R（，）0.1672 20 0 c d R R（，）0.1388 30 0 c

步骤2.由于d R R（，）0.15 20 0 c，我们应用共识规则1（第3节中的P2）来获得最优个体决策矩阵0 0R R 11（见表1），R R 3 3 0 0（见表3）和R20（见表4）。

表4基于共识规则1的最佳个人决策矩阵R20

步骤3.为了促进共识过程，假设r r r ijk ijk ijk 1 0 0 0.5 0.5。 然后，我们得到以下调整1 0R R 1（见表1），R R 3 110（见表3），R21（见表5）和群决策矩阵1Rc，并计算R k k1（1,2,3）和Rc1之间的相似度。1 1d R R（，）0.1210 1 c d R R（，）0.1586 20 0 c d R R（，）0.1366 30 0 c

表5调整后的个人决策矩阵R2

步骤4.由于，我们应用共识规则1（第3节中的P2）获得最优决策矩阵11R R 11（见表1），R R 3 3 11（见表3）和R21（参见表6）。

表6基于共识规则1的最优个体决策矩阵R21

步骤5.假设（1,2,3），我们得到以下调整（1,2,3）（见表1，表6和表3）和群决策矩阵Rc2，并计算1,2,3）和之间的相似度。

步骤6.由于（1,2,3），所有决策者都达到了所要求的共识水平。 利用AW算子集结Rc2中的所有属性并获取评估值EV （i）（1,2,3,4,5）：

EV（1）=0.4930 EV（2）=0.2726 EV（3）=0.4785 EV（4）=0.7089 EV（5）=0.6152因此，最好的选择是x4。

1. 结论

考虑到最小调整，我们提出两个新的共识性规则。 主要内容如下

1.现有的最小调整共识模型主要集中在单一属性（或多标准下的单个替代）的GDM问题。 在本研究中，我们提出了对MAGDM问题进行最小调整的共识规则。

2.现有研究旨在尽量减少初始意见和调整后的偏好之间的距离。 然而，提出的两个共识规则不仅考虑最小化调整距离，而且还设法最小化调整的偏好值的数量。最后，基于提出的共识规则，我们提出了一个互动的共识达成过程MAGDM问题。 在取得共识的过程中，决策者可以基于最小调整共识的调整指导，灵活调整自己的观点。

致谢

本研究得到了中国国家科学基金资助项目（No. 71171160）的支持。

参考文献：

1. K. Yoon and C.L. Hwang, (1981). Multiple attribute decision making: methods and applications, Springer, Berlin.
2. E. Herrera-Viedma, F. Herrera, and F. Chiclana, (2002). A consensus model for multiperson decision making with different preference
structures, IEEE Transaction on Systems, Man, and Cybernetics Part A, 32 , 394 402.
3. E. Herrera-Viedma, F. Mata, L. Martiacute;nez, and F. Chiclana, (2005). A consensus support system model for group decision-making problems
with multigranular linguistic preference relations, IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 13, 644 658.<b

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