蒙特卡罗近似最优投资外文翻译资料

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蒙特卡罗近似最优投资

L. C. G.罗杰斯*

P. Zaczkowskidagger;

统计实验室，剑桥大学2013年5月16日

摘要：本文建立了使用二元方法与蒙特卡罗模拟组合近似解决最优投资问题的方法。我们将尤其展示如何解决在不完全市场的高维度问题，这里传统方法由于维数的困扰阻碍而失败。

1、引言

从默顿和他的开创性论文的前期工作[6]和[5]，最优投资一直试图确定如何在面对不确定性时投资于金融市场。在接下来的二十年中，许多一般性结果得到了证明，并且许多解决问题的技术得到了发展。

推导解决方案的抽象形式是金融数学的一个伟大成就。但是，任何愿意用它们来指导他们做出投资决策的人会很快发现，它们通常是相当不能提供信息的。这是因为除了几个高度程式化的例子，具体数值答案在最优投资问题上是根本用不上的，主要是由于维数的困扰阻碍。参见[9]传统方法的调查和一系列的例子，答案可以被真正找到。

本文的目的是采取务实的态度。我们采取一个正面临着一个特定的市场，并有兴趣知道在特定的时间做好的事情的投资者观点。因此，我们希望能够在不计算该问题的整体价值功能的特定市场环境下，描述什么是良好的投资策略，而且我们要以边界条件目的形式，通过一个好的投资策略量化我们的意思。

*通讯作者：统计实验室，威尔伯福斯路，剑桥CB3 0WB，英国。

lcgr1@cam.ac.uk

dagger;统计实验室，威尔伯福斯路，剑桥CB3 0WB，英国。

这种观点让我们通过结合各种优化技术取得进展，当技术单独应用于困难最优投资问题时会失败。也就是说，我们将用庞特里亚金—拉格朗日方法来确定局部最优轨迹，最优投资问题双重配方派生最优轨迹界，并且蒙特卡罗技术逼近期望算。

结合这些相关的方法让我们去处理一个令人惊讶的大类问题，我们将展示对于扩散过程的因素驱动导致任何连续路径不完全的市场，如何找到近似最优的投资路径。作为该方法的有效性的一个例子，我们将提供几个数值例。我们将与基准默顿问题入手，继续前进到越来越难处理的数字和数学问题。

本文的结构如下，在第二节中，我们提出的一般问题和解决它的方法。第三节描述了方法中使用的算法。虑到默顿问​​题的例子，在第4节我们给出方法性能、非恒定的相对风险厌恶和最后一个多维且由扩散驱动的不完全市场的数值证据。第5节做出了总结。

2、扩散驱动的连续市场

我们将在一个有限域上的最优投资—消费问题，即资产的波动和漂移取决于一些因素的扩散进程的背景下提出方法。这将成为明显的是，一般的方法并不限定于这样例子，但它更容易在此更具体的设置来解释。我们也应当对流程和可能被放宽系数的全球李氏性能进行有界的各种假设，但简化了阐述和证明，其目的是透明度而不是极大性。

首先，假设X为满足一个Rk值扩散处理

dXt = sigma;X (Xt) dWt micro;X (Xt) dt equiv; sigma;X dWt micro;X dt, (2.1)

其中W是一个d维布朗运动，sigma;X ：Rk → Rk otimes; Rd和micro;X : Rk → Rk在全球范围李氏系数。

我们应考虑一个可以以无风险资产收益率rt equiv; r(Xt) 在市场投资的投资者，且正股的波动具有矩阵sigma;t equiv; sigma;(Xt)和漂移micro;t equiv; micro;(Xt)。在这里，r : Rk → R, sigma; : Rk → Rn otimes; Rd，和micro; ：Rk → Rn的有界可测函数。我们假定市场非简并性，即dge;n和该行sigma;的秩等于n。当n = d时，矩阵sigma;是可逆的，我们有一个完整市场的特殊例子。

有了这些假设，投资者的财富wt在时间t 作为

dwt = rtwt dt theta;t · (sigma;t dWt (micro;t minus; rt1) dt) minus; ct dt, (2.2)

1我们使用符号a · b表示两个向量a和b，和1为那些列向量的标量积。

其中正向量处理theta;t代表现金持有量在每个股票，ct表示代理的消费率。代理的目标在时间t是实现

其中U和ϕ是严格凹C2实用功能，满足Inada conditions2 ，A表示可容许消费组合对：

A = {（C，theta;）：c和theta;是previsible，Cge;0，对某个K lt; infin;, 'theta;t' le; K }。 （2.4）

备注（1）注意，函数phi;是整个R的上定义

（2）受理（2.4）的上述定义不是通常的one3。我们不希望（2.3）得到的上界在集合A中，但我们的目标是要拿出好的次优策略，这对我们现在的目的不要紧。可容许施加于消除倍增策略，其中，财富可能在时间T之前任意消极消失，但在时刻T高值结束。这里的假设排除了这一点，如果我们要到大的负财富在一定时间（0，T），sigma;, micro;和theta;有界性，阻碍我们恢复正的财富肯定时间T，以及由凹函数phi;进行处罚，然后使这成为一个不好的事情。

（3）如果因子扩散X状态空间的尺寸k不是非常小，不计算和存储的值函数V是可行的。我们在本文中开发的方法使我们能够无需计算v确定近似最优策略。我们将需要在U的技术条件，这是表达作为反边际效用I一个条件，定义为

Uc(s, I(s, z)) = z, (z gt; 0). (2.5)

我们需要假设：存在alpha;，Agt; 0，使得I（T，Z）le;A（1 zminus;alpha;）。 （2.6）

不平等必须保持所有的zgt; 0，所有的tisin;[0，T]。

我们现在准备陈述文件的主要结果，这使我们能够在价值上得到有效的蒙特卡罗界限，找到好的次优策略pathwise。证明使用类似于在[2]，[4]中，之后述提出在 [3]中更一般设置的二元参数。

2这些是limcdarr;0 Uc(t, c) = infin; = limwdarr;minus;infin; ϕ′(w), limcuarr;infin; Uc(t, c) = 0 = limwuarr;infin; ϕ′(w).的条件。

3一个通常强加与交易相关的财富过程中的非负性约束战略theta;。

定理2.1 假定kappa;是一个有界可预见过程，使得

micro;t minus;rt1minus;sigma;tkappa;t = 0， （2.7）

而zeta;解决线性SDE

Dzeta;t=zeta;t(minus;kappa;t dWtminus; rt dt). (2.8)

定义函数g by4

在tisin;[0，T]，Zgt; 0，Xisin;Rk，那么对于任意tisin;[0，T]，Zgt; 0，Wisin;R，Xisin;Rk，和有界可预见theta;，我们有不等式

而这个过程wtheta;是解决财富演进（2.2）与组合工艺theta;和消费过程

cs = I(s, zeta;s), (s ge; t). (2.12)

备注（1）在一般的矩阵sigma;是不连方，所以不可逆，但我们可以尝试找出kappa;通过取sigma;的伪逆，以满足（2.7）：

kappa;t = sigma;T (sigma;tsigma;T )minus;1(micro;t minus; rt1). (2.13)

t t

这可以如(sigma;tsigma;T )minus;1为界进行，实际上在这些问题通常施加的那种均匀椭圆率的条件。

（2）从凸双重功能ϕtilde;的定义，显然h是总是非负的。因为h占主导地位的上限和下限之间的差距，我们的目标应该是使H尽可能作为小。理想情况下，我们必须使得h为零，这就需要我们有

ϕ′(wT ) = zeta;T . (2.14)

如果我们要求，出现这种情况，那么问题就变得与（2.14）一个BSDE作为终端条件。因为它似乎尚未有解决在高维倒向随机微分方程的有效数值计算方法，这不会有什么帮助。实际上我们正试图用这种方法做的是放松身心的解决方案，我们构建命中终端条件（2.14），但是当我们不能满足终止条件，而不是估计我们做出错误的需求。

4功能Utilde; ，ϕtilde;是凸的双重功能，Utilde; (t, z) equiv; supx{U (t, x) minus; zx}， ϕtilde;(z) equiv;supx{ϕ(x) minus; zx}.

证明（1）上界 该过程zeta;是由（2.7）和（2.8）确定，在下文中，我们将假设将c从zeta;由（2.12）测定的。

考虑zeta;T wT的Itcirc;o扩张，我们有：

使用(2.7) 和(2.8).

我们宣称该随机积分具有零均值，并且为了建立这一点，就必须控制被积。处理kappa;，theta;，sigma;都由假说为界，所以我们需要对zeta;和W控制。由于zeta;满足线性SDE（2.8）有界系数kappa;和R，也不是很难建立一个绑定的E[(zeta; lowast;)p]。任何Tgt; 0，并为所有Pge;2，其中zeta;*equiv;SUP0le;sle;t|zeta;s|;参见，例如，[10]引理V.11.5。同样，我们可以结合E[(zeta; lowast;)minus;p]为任何在tgt; 0，和用于所有Pge;2，通过考虑zeta; minus;1线性SDE。剩下的工作就是要为wlowast;t建立一个类似的界限，其中w由（2.2）给出。唯一这种估计的问题部分是在控制C，但是这在这里的假设（2.6）到来时，因为zeta; minus;1被控制为前，和c是通过zeta;的一些功率限制。

因此，我们的结论是

我们可以将它添加平等（2.3），以find5

这是上部中（2.10）的约束。

5我们在第一步骤使用（2.12）。

（B）中下限 参数重用上限证明的元素。此时的任务是提出一些可允许的（C，theta;），并从中减少低级的约束。

给出的状态—价格密度过程zeta;如（2.8），我们的意图是使用方法c使其由（2.12）中所定义。这样做，我们看到出现在右手侧的积分项（2.17）等于

而且这（2.16）仍然由和以前相同的参数成立。对于任何有界可预见theta;，对（C，theta;）是可允许的，所以如果我们使用允许的那对，我们在（2.17）发现

当我们回顾G和H的定义（2.9）和（2.11）。

备注（1）对于任何有界可预见theta;，kappa;结果（2.10）定理2.1给出了价值函数双面界限。重要的是，G和H的数值可通过向前模拟从电流值估计。还值得一提的是，易学于方法不需要“模拟内模拟”，这大大增加了计算时间，我们将只是沿着一个轨迹的组合过程评估国家的价格和密度。所有我们需要做的是模拟足够多的样本路径来近似（2.9）的期望运营商和（2.11）。

（2）我们需要有在（2.10）的范围之间做比较量度。由于公用事业函被定义到仿射变换，我们的措施必须根据这些不变。因此，上限和下限之间的差不丰富。

然而，我们能想到放弃的初始财富alpha;w一小部分，并查找最小alpha;使得上限相当于(1 minus; alpha;)w ，初始财富

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