运动约束条件下机器人的时间最优与模糊连续轨迹规划外文翻译资料

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运动约束条件下机器人的时间最优与模糊连续轨迹规划

Huashan Liu a，Xiaobo Lai b,Wenxiang Wu c

a 中国 上海 201620 东华大学 信息科学与技术学院

b 中国 杭州 310053 浙中医药大学 信息技术学院

c 中国 杭州 310027 浙江大学 流体能量传输及控制国家重点实验室

论文信息

论文历史

2011年8月8日被接收

2012年8月12日修改版被接收

2012年8月30日被发表

2012年10月2日可在在线查询

Abstract

摘要

本文讲述的是一种可以提高机器人运用性能的高平稳轨迹规划方式。该方法的设计综合了笛卡尔空间高阶曲线及关节空间B样条曲线。

在满足精确地通过途径点的要求前提下，在笛卡尔空间轨迹规划中使用三阶曲线就可以使得末端执行器在初始位置及终止位置的速度及加速度可控制。在关节空间中使用七阶B样条曲线可以使得机器人的速度、加速度及加加速度取值有界并连续，起始位置和终止位置的速度、加速度及加加速度可以任意设置。同时，还讨论了最小时间优先的问题实验结果表明，该方式可以高效实现轨迹规划，并保证了机器人在平滑高效的轨迹规划下流畅地运动。

关键词：机器人 轨迹规划 曲线 B样条曲线 时间最优

1、 绪论

众所周知，在笛卡尔空间中（操作空间或者任务空间）[1-4]中的轨迹规划是非常直观的，机器人的末端执行器的运动路径和姿态都易于观察，尤其是在需要避障的操作空间中。但是，这种方式无法规避运动学上奇异点的问题第二中方式是在关节空间中进行轨迹规划[5-8]，它为机器人提供了非奇异性的工作空间，其通过插值函数获得的关节轨迹满足运动学和力学的约束条件。 另外，它还可以保证末端执行器通过所有的途径点。相比第一种方式，控制系统还可以更容易调整轨迹。但因为关节空间跟直角坐标空间映射不是直线关系，以此该方式无法保证确定的路径。作为轨迹规划中最具代表性的插值函数，多项式插值函数被大范围的接收。一般来说，插值的精度要求越高，就要使用越高阶的多项式，这样极有可能造成朗格现象和不稳定的收敛。为了消除这些不利因素，在很多实际运用中会采用分段插值。分段插值，作为一个特殊的函数，可以获得较好的收敛结果，但以此同时也会导致内部关节产生一些不可细分的点。以此，分段插值多项式至少需要两次细分来保证内部关节的连续性。样条函数，作为一种特殊的多项式插值函数定义，在解决插值问题时，具有计算简单，精度高及逼近复杂形状的能力强等特点。他们向于使用多项式因为可以得出相似的结果，但往往会采用低阶多项式，因为高阶多项式会导致朗格现象。

事实上，在关节空间的运动控制系统应该比笛卡尔空间更加注重末端执行器的节点曲线的平滑特性。为了生成足够光滑的关节轨迹并通过所有的内部节点，在一些典型的与规划算法中会应用不同类型的曲线，但大多数人不能获得满意的(如果曲线的一个节点发生变化，它只影响附近的节点，而不需要重新计算所有的轨迹)的轨迹(15 - 20)。B样条，获得较好的认同，在一些文献中被调用并且获得较好的平滑轨迹。特别地,汤普森和帕特尔[21]通过使用B样条开发了一种关节轨迹规划方法, ,但它旨在逼近而不是插值所需的关节轨迹离散序列。Saravanan、Ramabalan Balamurugan[22]提出了基于进化理论的最优轨迹规划的方法使用统一的三次B样条,在机器人关节加速度和模糊轨迹可以限制在他们的取值范围。Gasparetto和Zanotto[9]应用五次B样条去插值生成光滑的关节轨迹,该方法可以满足运动学约束,机器人关节的速度、角速度和加加速度。由同一作者(19、20)组成的目标函数两项(一个执行时间成正比,另一种是成比例的积分二次加加速度)是基于最小化的三次样条函数和五次B样条规划的最优轨迹。值得一提的是,考虑运动约束的实时轨迹生成问题[23],克罗格全面讨论由常数[24]和非常数的运动学行为约束[25]对机器人的影响。

机器人关节的加加速度过高可以激发机体结构的共振频率,产生振动,并减缓跟踪速度,以及影响跟踪精度,所以保持加加速度在一个相对小的绝对值有界区域是至关重要的。此外,如果保证了加加速度的连续性,由关节抖动对灵活性的影响将会很小。对平滑技术,可以发现在以往的相关研究中,这项工作中描述的方法确保在笛卡尔空间的轨迹是两次连续可微,而在关节空间,速度,加速度和加加速度都是连续的和有界的。此外,对于初始和结束的速度,加速度和加加速度，每个机器人的关节几乎可以根据需要任意配置。此外,考虑光滑性和效率,常用时间最优的轨迹规划。

本文的其余部分组织如下。第二部分详细介绍了在笛卡尔空间使用样条函数的轨迹规划方法。在第三节中,讨论了多阶B样条的一般公式,在此基础上,给出了在关节空间的轨迹规划。在第四节,给出了时间最优的轨迹规划。然后,在第五部分展示PUMA560六自由度关节机器人的实验结果。最后,在第六节中给出了一些结论。

2、卡迪尔空间的轨迹规划

给出一个插值样本的离散序列：如果存在s(t)由n段多项式组成

并且是常系数，k是多项式的阶数，满足以下条件

1. 插值属性，;
2. 连接曲线，;
3. (k-1)次连续微分，.

因此，s(t)是离散序列的k阶插值函数[26]。

在数学中，样条是一种特殊的分段多项式插值函数。在工程运用中，样条插值比多项式插值更常用，因为即使使用更低阶的样条插值所产生的误差也比多项式插值小。样条插值还具有一个较好的属性，可以避免在多阶多项式插值中的Runge现象。

为了使机器人末端执行器更加平滑地运动,我们在笛卡尔空间调用三次样条函数插值获得两次连续可微的轨迹, 加速度沿坐标x, (或y,z)表示的时间t不断变化。因此,函数的表达可以写成

是在闭区间内的一次多项式，我们假设的值在区间的边界处已知：,有

且.

通过计算（3）式的积分，我们可以得到三次样条函数在区间关于t的函数：

等式（4）中有n 1个关于s(t)的未知参数（），为了完整地表述样条函数，我们还需要为构建n 1个独立的等式。

特殊地，通过条件（iii）,我们可以得到

且有.

n的三次多项式组成的s(t),有(n-1)个内部节点,给我们（n-1）个像等式(5)形式方程。为了求解(n-1)个未知变量,我们还需要另外两个约束条件,可以通过不同的原因加上去。

条件1..

在卡迪尔空间中，这两个约束条件对于运动馆控制的意义是：我们可以按照实际需求设置速度的初始和结束值。一般地，我们设置.

通过这些限制，我们可以得到两个等式

且有.

从（5）和（6）中我们可以得到（n 1）阶线性等式，如下

从（5）和（6）中我们可以知道和是已知量，是未知量。

条件2.

为了完成本论文的目的，我们添加两个附加条件：

致使样条函数为自然三次样条并且保证了初始和结束加速度为零，以及沿着轨迹的两次可微平滑。

最后，通过变换，我们可以得到如下的线性等式

总的来说，插值算法在相等的时间间隔内完成，因此和总是被设置为=.

3.关节空间的轨迹规划

在关节空间轨迹的平滑度,直接影响执行器输出转矩的稳定性,在轨迹规划中起着至关重要的作用。多阶b样条具有良好的平滑度和地方支持,因此,最近经常用于轨迹规划。

通过逆运动学变换，我们可以通过卡迪尔空间的轨迹转换得到关节空间的轨迹p（关于时间序列的关节角度）：

其中表示时间时刻的关节角度。

为了方便表示和统一公式表达,b样条的定义域范围通常规范化为[0,1]。因此,通过累加弦长的方法,我们标准化时间变量来获得第K阶 b样条的。此外,在端点的轨迹参数可控,我们在每个端点扩展额外的节点k,即

当使用第k阶B样条函数来插入（n 1）个点,轨迹可以表示为：

其中是需要被解决的控制点；

是k阶B样条的基础函数，可以通过Cox-de Boor递归公式获得[27];是节点参数，其中i=0,1,hellip;n。

在（12）中，为了解决（n k）个控制点，我们已经有（n 1）个等式，还需要（k-1）个等式。这些等式可以通过两个端点的运动学约束条件获得。

一般来说,我们通常把带有边界条件的r阶导数为b样条的附加方程,其中r是一个自然常数。带有r阶的的b样条导数可以通过下面的公式获得:

显然,从(13),我们可以发现,k阶的B样得到的r阶导数可以表示为（k-r）阶的B样条函数。当r=1、2和3，导数分别代表机器人的关节速度向量V(t)，加速度向量A(t)和加加速度向量J(t),即

轨迹的两个端点的多样性是k，开始和控制点是相应的轨迹规划开始和结束通过点。因此，根据（13），我们可以得到

其中V(), V(), A(), A(), J(), J()分别表示关节空间中初始时刻和结束时刻被设置的角度速度，加速度，加加速度；和可以用控制点通过递归公式（14）得到。

特别地,k阶B样条曲线总是包含凸起的控制点。一般来说,越低阶的B样条，凸起属性越严重，即越B样条曲线越接近它的控制点。

因此,为了满足

其中表示第m关节的B样条第j控制点的速度、加速度和加加速度曲线；和表示第m关节的速度、加速度和加加速度。

因此,当使用七阶的b样条(k=7)进行关节轨迹插值,我们可以将式(18)~(23)作为6个附加条件，将(24)~(26)作为运动学约束,其中速度,加速度和加加速度在初始和结束时刻可以根据需要任意配置。通常他们都设置为零,以降低对灵活性的影响和提高机器人的各关节运动的流畅程度。

同样地,当使用五次b样条(k=5)，式(18)~(21)可以作为4额外的条件，式(24)~(25)可以作为运动学约束;当使用3次b样条(k=3)，式(18)、(19)可以作为两个额外条件，(24)可以作为运动学约束条件。

4．时间最优

时间最优是指在关节空间轨迹规划时，在给定的运动学约束条件下使用最小的执行时间,数学术语的表达式可以写成

其中,，每一个有个下界满足，N是机器人末端执行器的自由度。分别是样条等式计算得到的速度、加速度、加加速度与所给的机器人末端执行器第m个关节的速度、加速度、加加速度的最小上界的区别。

为了使非线性的约束条件最优化，我们采用

然后，根据和，我们节点向量的初始值为

序列二次规划(SQP)算法,它的特点是超线性收敛,适用于解决式（27），将非线性约束线性化。设计一个拉格朗日函数:

其中是拉格朗日算子，。f(x)和在C(x)中定义为（27）.

如果存在一个特定的点x *使拉格朗日函数的斜率。即,那么x *是k – t点,即(27)的解。通过牛顿迭代方法[28],我们获得k 阶的SQP方法的子问题:

其中是拉格朗日函数的海赛矩阵的近似值。

k 阶的SQP方法的子问题的解为，且还会生成一个K-T的等式

我们可以适用SQP方法解决时间最优问题，分以下三个步骤[28，29]：

步骤1：通过（32）求解，令,计算得到海赛矩阵；

步骤2：通过（32）求解,如果，则中断,否则令,其中是的补偿函数；

步骤3：计算,然后通过Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno[29]方法更新海赛矩阵:

令k=k 1,返回步骤2.

重要的是,精确补偿函数P(x,) 在实际应用中并不总是可微的,以它为价值函数可能产生Maratos效应[29],从而影响算法的收敛性。为了解决这个问题,我们添加一个二阶校正步骤：

用替代,其中为

其中和如（33）中定义。

通过求解改进SQP问题,得到相应的数值解。当足够接近最优解,在步骤3中得。

最后,按照上面的步骤先后,时间向量x 收敛于最优值,那么得到最小执行时间f（）。

5.试验结果

为了验证方案的有效性，我们在6自由度链式机器人PUMA560平台上实现实验测试(图1)，D-H参事如图2

和D-H参数以及各关节角的工作范围如表1所示。轨迹规划的任务是跟踪一个在在XY平面上叫做QS的鹰状闭合轨迹 (图3),这是由136个离散特征点组成的。以QS鹰的特征点为采样点(纵坐标值设置为Z=303毫米),我们实现笛卡尔空间和关节空间的轨迹规划方法。注意,保证QS鹰的轮廓的紧密性,添加一个点表示起始点和结束点也很重要。,总共137个样本,让第一个和最后一个采样点重合。QS鹰轨迹规划的流程图如图4所示。

通过成功计算SQP方程,我们得到了最优的跟踪测试执行时间68s。

特别地,当在笛卡尔空间进行轨迹规划,我们在第2部分案例2中采用自然三次样条曲线,确保初始和结束处QJ-I终端执行器的加速度为零。插值轨迹(包括沿着X / Y轴的681个离散点)及其导数的二阶如图所示5、6和7所示,这表明位移,速度,加速度对于时间t在沿坐标轴X / Y上都是连续的。

然后,在关节空间实现轨迹规划时,我们应用七

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