第五章 线性系统外文翻译资料

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第五章 线性系统

大多数dsp技术都是基于一种被称为叠加的“分而治之”策略的。具体来说，叠加是指信号被分解成一些简单的部分，每个部分单独处理，再把各部分的处理结果叠加起来。此方法的优点在于可把复杂的问题分解为一些简单的问题来处理。叠加的方法只能应用于线性系统，该术语意味着此类系统需复合一些与线性有关的的数学法则。幸运的是，大部分在科学工程中遇到的应用问题基本都属于这一类。本章将介绍DSP的基础：系统的线性意味着什么，把信号分解成简单部分的各种方法，以及叠加所提供各种信号处理技术。

5.1信号与系统

信号是一对种参数如何随着另一种参数的变化而变化的描述。举例来说，在电路中，电压会随时间变化，或在一个图像里，亮度随空间坐标变化。系统是对每个输入信号都产生一个输出信号的过程。连续系统的输入输出信号都是连续的，例如模拟电路。离散系统的输入和输出都是离散的，例如处理存储在数组中数据的计算机程序。

命名信号有一些规则。这些规则在DSP中并不总是被遵循，但他们是很通用的。应该记住。如果数学中没有含义明确的符号。那一定是很混乱的。首先，连续信号使用圆括号。如x（t）和y（t）；而离散信号使用方括号，如x[n]和y[n]。第二，信号要用小字母，频域中使用大字母，这在以后的章节中讨论。第三，信号的命名通常是用来描述信号所代表的参数。例如，随时间变化的的电压可能被称为v（t），每个交易日都在改变的股票市价叫做：p[d]。

通常我们会在不知道确切参数的情况下讨论信号与系统。这就像在代数里用没有赋予任何物理意义的的变量x和y来代替变量一样。这也是命名信号的第四套规则。如果不可以用更多的描述性名称，离散系统的输入信号一般表示为x[n]，输出信号表示为y[n]。对于连续系统则用x（t）和y（t）表示。

有许多理由促使我们想要了解一个系统。比如，你可能想设计一个系统用于消除心电图中的噪声，或用于锐化一个模糊的图像，或用于消除录音里的回声。在其他情况下，系统可能有失真或干扰的影响，需要定性描述或定量测量。举例来说，当你打电话时，你希望对方听到你的声音是不失真的。不幸运的是，输入信号通过传输线后，输出信号都会产生一些失真。如果了解了传输线是如何改变信号的，就可以设法补偿。推广到其他情况，系统可能也代表了你想要研究分析的一些物理过程。雷达和声呐都是这方面的例子，即通过比较发送信号和反射信号，来探测一个远程对象的特点。在系统理论方面，问题在于找到一种合适的系统模型可以把发送信号转变为接收信号。

乍看起来，了解世界上所有可能的系统似乎是一项艰巨的任务。所幸的是，大部分实用的系统都可以归为一类，即线性系统。这是极为重要的一点。因为，如果没有线性系统的概念，我们就必须单独研究各个系统各自不同的性质。对于许多无关系统的特点，我们可根据性质相似性，统一归为线性系统，整体进行研究。我们首先要的任务是弄清楚系统的线性是哪些性质，以及它是如何融入日常的电子产品、软件和其他信号处理系统概念中的。

5.2 线性的要求

一个系统如果满足两条数学性质就被称为线性系统，即满足：齐次性和可加性。如果一个系统同时满足这两种性质，就可以证明这个系统是线性的。同样，如果一个系统不满足其中一条性质或两条都不满足，那就证明这个系统是非线性的。第三个性质：位移不变性，不是线性系统的必备条件，但对于大部分DSP技术，它是一种必需的性质。当你看到线性系统这一术语被用于DSP时，应该先假设它具有位移不变性，除非有其他特殊原因。这3个特性构成线性系统理论的定义和应用的数学基础。在本章的后面，我们用更直观的方式了解线性。现在让我们体会一些这些数学特性。

齐次性意味着输入信号振幅的变化会导致输出信号振幅的相应变化。用数学来解释，就是当输入信号为x[n]时，输出信号为y[n]，那么当输入信号为kx[n] 时，输出信号就为ky[n]，此关系对于任意输入信号和常数k都成立。

一个简单的电阻器提供了齐次性和非齐次性很好的例子。如果系统的输入是加在电阻上的电压v（t），系统的输出是电阻上的电流i（t），那么这个系统就是齐次的。欧姆定律可以证明这一点，如果电压增加或减小，则电流也会相应的增加或减小。现在，考虑另一个系统，输入信号是加在电阻上的电压v（t），系统的输出是电阻上消耗的功率p（t）。由于功率正比于电压的平方，所以如果输入信号增加2倍，则输出信号增加4倍。这个系统是非齐次的，因此也不是线性的。

假设一个系统的输入信号为x1[n]，输出信号为y1[n]。当输入另一个信号为x2[n]时，系统的输出信号为y2[n]。如果输入信号为x1[n] x2[n]，输出信号是y1[n] y2[n]，且对所有可能的输入信号都成立，我们就说这个系统具有可加性。也就是，输入信号相加，会导致各自对应的的输出信号也相加。

可加性的定义。如果把一个系统的两个输入信号相加而不会影响，我们就说这个系统具有可加性。假设一个系统的输入信号为x1[n]，输出信号为y1[n]。假设输入另一个信号为x2[n]时，系统的输出信号为y2[n]。那么输入信号x1[n] x2[n]将产生输出信号y1[n] y2[n]。

位移不变性是指输入信号的位移对于输出信号不会产生影响，只会使输出信号产生相应的位移。更正式的说法是，如果输入信号为x[n]时，系统产生的输出信号为y[n] ，那么对于任意的输入信号和常数s，都有输入信号为x[n s]时输出信号为y[n s]成立。要特别注意这些位移的数学表示法。这将在第6章中用到。通过给变量n加上常数s，可以使波形在水平方向上超前或者滞后。例如当s等于2时，波形左移两个样点；当s等于-2时，波形右移两个点。

位移不变性很重要，它表明系统的性质不随时间的改变而改变。也就是说对于此类系统，如果输入一个尖峰信号将在输出端产生一个响应信号，则在其他时刻输入尖峰信号，也将得到同样的输出响应信号。你所遇到的大部分系统都具有位移不变性。这一性质很好，因为如果系统的性质随时间或其他自变量的改变而改变，我们将很难处理。举例来说，假设你已经设计出了一种数字滤波器，以补偿电话传输线对语音信号的损伤。滤波器使声音听起来自然易辨。使人感到惊讶的是，冬天来临时电话传输线的性质随温度改变而改变。而此时补偿滤波器已不在适合，起不到很好的作用了。这种情况可能需要一种可以适应条件变换更复杂的算法。

为什么齐次性和可加性可以作为线性的判定标准，而位移不变性只作为一个附加的性质？因为线性是一个非常广泛的概念，它不只是包含于信号与系统领域里。举例来说，一个农民卖橘子2美元一箱，苹果5美元一箱。如果农民只卖橘子，那他十箱会卖20美元，20箱会卖40美元，这种具有齐次性。如果他卖20箱橘子和10箱苹果，将获得90美元，这种单独卖两种水果再把钱数相加结果是一样的，即交易具有可加性，同时具有齐次性和可加性，这种销售过程就是线性的。然而，没有信号的参与，这也不是个系统，位移不变性也就没什么意思。位移不变性可以被认为是包含于系统和信号的线性的一个附加性质

5.3静态线性和正弦保真性

齐次性、可加性和位移不变性很重要，它们提供了定义线性的数学基础。不幸的是，只有这些性质还并不能给大多数科学家和工程师提供一个究竟什么是线性的直观感觉。静态线性和正弦保真的性能可以提供一些帮助。从数学角度看这不是特别重要，但它们涉及我们如何体会和理解线性系统。这一点应尤其注意。

静态线性定义了当信号不发生变化时系统的行为表现。线性系统的静态表现很简单：输出是输入乘以一个常数。也就是说，所有的输入值对应的输出值在一条通过原点的直线上。

所有的线性系统都具有静态线性的性质。反之通常也是对的，但并非总是如此。有些系统是静态线性的，但随着信号的变化就不再是线性的，但是有一些通用的系统只用静态线性特性就可以很好的理解，在这些系统中输入信号是静态或变化的都没关系。这些被称为无记忆系统，因为输出信号只取决于输入信号现在的情况，和此前的情况无关。举例来说，电阻中的瞬时电流只取决于通过电阻的瞬时电压，而和信号的变化情况无关。如果一个系统是静态线性的，也是无记忆的，那这个系统肯定是线性的。这为我们提供了一种理解简单系统具有线性的重要方法。

线性系统的一个重要特性是它对正弦曲线的响应特性，也就是一种我们叫做正弦保真的特性。如果一个线性系统的输入波形是正弦波，那么它的输出波形也是正弦波，并且频率是完全一样的。正弦波是唯一具有这一性质的波形。例如，当线性系统输入方波时输出波形不一定是方波。尽管输出正弦输出也一定是正弦，但两波形的幅度和相位可能是不同的，这和我们熟悉的电学理论是吻合的；电路可以由它的频率响应来描述，就是电路的增益和相位随频率变化的图形。

现在反过来考虑一下：一个系统输入是正弦波形，输出也是正弦波形，那么这个系统就一定是线性的吗？答案是否定的。但例外情况虽然罕见，却会通常很明显。举例来说，一个系统中暗含一个小妖，可以诱导你，这个小妖拥有可以观察输入波形的示波器，并具有用于产生输出信号的正弦波发生器。当输入正弦波时，这个小妖立刻测得输入波的频率并调整其信号发生器产生相应的波形。当然，这个系统显然是非线性的，因为它不具有可加性。为表面这一点，给系统输入两个正弦波信号，这个小妖只能对其中一个输入波进行响应并产生相应的输出波形。这一例子并不是大家可能认为的假象的，多数镇相环就采用这种工作方式。

为了更好的理解线性，可以想象一个技术人员正在设法确定一个系统是否是线性的。其在系统的输入端放置了一个正弦波发生器，在输出端放置了一个示波器。输入正弦波信号，技术员可以观察输出端是否也是正弦信号。例如，输出波形不能缺少顶部和底部，上半部分和下半部分不能有区别，波形过零点时不能有失真等。接下来，技术员将更改输入波形的振幅，并观察对输出信号产生的影响。如果系统是线性的，那么输出信号的幅度会随输入信号的幅度发生相应的变化。最后，技术员会改变输入信号的频率，确认输出信号的频率是否随输入信号频率的变化而变化。由于频率发生了变化，有可能会使输出信号的幅度和相位改变，但在线性系统中，这些是完全允许的。在某些频率输出甚至可能是0，即零振幅的正弦信号。如果技术员确认完这些事情，就可以得到结论，这个系统是线性的。虽然这一结论不是经过严格的数学证明得到的，但可信度却很高。

5.4 线性和非线性系统的例子

表5-1提供了常见的线性和非线性系统的例子。查看表哥时，要牢记数学家关于线性的确认方法（齐次性，可加性，位移不变性）和多数科学家和工程师所用的非正规的方法（静态线性和正弦保真性）

线性系统的例子

波传播 例如声波和电磁波

电路 由电阻、电容和电感组成的

电路 如放大器和滤波器

机械运动 各种零件、弹簧和阻尼（减震器）的相互作用

以差分方程描述的系统 电阻-电容-电感网络组成

乘以一个常数 也就是放大或衰减信号

信号的变化 回声、共振和模糊图像

单位系统 输出总是等于输入的系统

零系统 不管输入什么输出都为零的系统

微分和积分 一阶差分的模拟操作和离散信号的累计求和

微小扰动 来自另一个非线性系统，例如，由完全偏置的晶体管放

大一个小信号

卷积 一种数学运算，输出信号的每个值都是输入信号乘以某些加权系数再求和的结果

递归 和卷积很相似的一种运算。区别是：当前输出值是所计算出的前一个输出值加上此刻的输入值

非线性系统的例子

非正弦保真性系统 峰值检测、产生矩形脉冲、正弦波变换为方波、倍频等

常见的电子失真 削波、交越失真和转换传真

乘法 一个信号乘以另一个信号，例如调幅和自动增益控制

迟滞现象 铁中的磁通密度随密度磁场强度的变化，或在橡胶中机

应力随张力的变化

饱和 如运算放大器和驱动超过极限载荷的变压器

阖值系统 举例来说，数字逻辑门或足以粉碎岩石的强烈地震

5.5 线性的特殊性质

线性具有可交换性，是适用于由两个或更多的系统构成的组合系统的性质。设想两个系统串联-前一个系统的输出作为后一个系统的输入。如果每一个系统都是线性的，那么它们结合在一起也是线性的。可交换性表明级联的系统的顺序可以随便安排而且不会影响组合系统的性能。在电路中也许会用到这一原理。例如，一个电路有两部分，一个是放大，一个是滤波。先放大在滤波，还是先滤波在放大，哪种方法更好？如果两部分都是线性的，那么二者的顺序的调换不会造成什么不同，最后的结果都是一样的。请记住，实际中的电子元件都可能具有使顺序变得很重要的非线性效应，例如 干扰、直流偏移、内部噪声、转换速率失真等。

为了理解多输入输出系统的特性，考虑以下实验。首先在一个输入端输入一个信号，而在其他的输入端输入0.这将使多个输出端口输出相应的信号。接下来在一个输入端口输入另一个信号，像前一次一样，其他的端口输入都为零。第二次的输

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