多项式矩阵分解框架中的宽带到达角估计方法外文翻译资料

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多项式矩阵分解框架中的宽带到达角估计方法

Stephan Weisslowast;，MOhamed Alrmahlowast;，Sangarapillai LambOtharandagger;，JOhn G. McWhirterDagger;和MOstafa Kavehsect;

lowast;英国苏格兰格拉斯哥斯特拉斯克莱德大学电子电气工程系

dagger;拉夫堡大学电子电气与系统工程学院，拉夫堡，英国勒芒郡

Dagger;英国威尔士加的夫卡迪夫大学工程学院

sect;美国明尼阿波利斯明尼苏达大学电子与计算机工程系

摘要：宽带到达角估计算法是基于相干信号子空间（CSS）的方法，其中聚焦矩阵适当地将矩阵的对偶矩阵与窄带频率数的协方差矩阵相匹配。在本文中，我们分析了多项式协方差矩阵分解框架中的自动聚焦方法，并将其与最近提出的两种多项式多重信号分类(MUSIC)算法进行比较。该分析与数值模拟相辅相成。

1、介绍

在文献[1]中提出的相干信号子空间（CSS）技术是一种使用窄带测向算法（如MUSIC）来估计频谱重叠宽带源到达角的有效方法。CSS的一个基本特征是它将窄带协方差矩阵连贯地组合在覆盖源所占频带的不同频率点处。在最简单的形式中，CSS通过聚焦矩阵对阵列数据进行预处理，使感兴趣的源出现在阵列的侧边附近，所有时间频率的阵列响应向量近似一致，可根据感兴趣的到达方向的信号(DOA)来构造聚焦矩阵。

从这一开始，CSS算法的漫长进化就可以看到，例如[2]，[3]，包括最近提出的自动对焦方法[5]。在此方法中，聚焦矩阵直接由阵列的时空协方差矩阵计算，而不需要明确的关于DOA的知识。

与CSS不同，当宽带方法巧妙地绕过窄带处理时，一种基于多项式时空协方差矩阵的EVD算法[8]最近引入了宽带MUSIC算法[7]。 这些多项式MUSIC算法直接适用于宽带阵列数据，它利用了由多项式EVD产生的信号子空间的思想[8]。 虽然这种方法似乎不同于CSS，但本文的目的是通过用多项式矩阵分解表示自动聚焦方法[5]来突出相似之处。

在第二节我们定义了一个宽带转向矢量、多项式时空协方差矩阵和多项式EVD，并对第三节的自聚焦宽频方法进行了综述。基于[5]的自动对焦方法的MUSIC的公式，与[7]中的两个多项式MUSIC算法相关联。在第四节中包含两个说明的模拟，第五节是结论。

2、系统模型

基于在II-A中描述的宽带阵列的信号模型， II-B定义了一个多项式时空协方差矩阵。

A:宽带转向向量

全向m元传感器阵列位于位置 在中收集宽带数据向量。对于第l个远场源，该阵列经历具有正常的平面波阵面。我们只对传感器信号之间的相对延迟感兴趣，这样，在没有衰减的情况下对x[n]的贡献是：

(1)

使用宽带导向矢量

(2)

正常的延迟，是采样周期，c是介质中的传播速度，是第l个信源慢向量。向量v[n]将空间和时间不相关的噪声与协方差相加到（1）的模型中。指由k和方位角phi;及仰角确定的宽带导向矢量。

B: 时空协方差矩阵和多项式EVD

收集M元素宽带阵列数据向量，它的时空协方差矩阵由下式给出

(3)

其与交叉功率谱密度（CSD）矩阵R(z)·-◦R[tau;]形成变换对，

(4)

CSD矩阵是仿埃尔米特的，即R（z）= = (1/)。基于(1)和·-◦（z），它也可以表示为:

(5)

其中是第l个信源的功率谱密度（PSD）。

多项式EVD[8]通过一个准谐振Q(z)解耦R(z), 使得

(6)

是对角化的，并以PSDs为主要特征。。下面，我们使用这个分解框架来表达CSS方法。

3、相干协调和自动聚焦矩阵

A.相干信号子空间方法

基于时空协方差矩阵的k点DFT，

(7)

其中 CSS方法是基于协方差矩阵

(8)

通过单位和频率相关的聚焦矩阵在频率单元上相干组合而获得。在[5]的“自动聚焦”方法之后，对于参考频率，适当频率仓协方差矩阵的EVD产生

(9)

为频率仓k,k=0hellip;(K-1)提取的模态矩阵一起，构造了自动对焦矩阵

(10)

因此，在(8)中的相干协方差矩阵可以由对角化提供

(11)

是(8)中的特征值。

B.通过CSD矩阵和PEVD自动聚焦方法

利用（7）的EVD在参考频率处获得的模态矩阵，聚焦矩阵可以被定义为一个准酉矩阵。通过对傅里叶变换(即K→infin;)的积分来代替(8)中频率总和。

(12)

(13)

由于单位矩阵Q(z)对角化为R（z），积分中的参数是(6)的多项式EVD，结果是一个功率谱密度的对角线矩阵，是对·-◦ 零滞后的评价。因此

(14)

用CSD矩阵的多项式EVD表示相干协方差矩阵。

假设（7）中的DFT是（12）中傅里叶变换公式的足够精确的表示，则（11）和（14）等价于。 此外，PEVD的CSD矩阵提供了一个单位频率Q(z)，导致频率连续的自动聚焦矩阵。

4、宽带到达角估计

1. 基于自动聚焦的MUSIC算法

在相干协方差矩阵的基础上，标准MUSIC算法可以通过在参考频率上的一组转向向量来探测噪声子空间。

如果特征值显示R线性独立源，则最后的M-R列包含在

跨越相干协方差矩阵的仅噪声子空间。扫描方位角和仰角可以在参考频率的范围内对MUSIC频谱进行评估。

(15)

1. 多项式时空谱MUSIC

对于多项式MUSIC算法，在[7]中提出了空间和空间谱的方法。这两个版本都要求从给定的识别R源的多项式噪声子空间。

(16)

多项式空间谱(PSS)MUSIC是基于对PSD型函数的逆运算，

(17)

对线性无关R源进行的数目估计与(11)自动对焦(AF)和(14)多项式估计的方法是一样的，然后以作为参考频率对Q(z)估计。

(18)

因此，相干信号子空间谱估计的自动对焦方法等价于在参考频率为时对用多项式进行空间谱估计。

为了获得由PSS-MUSIC与自动对焦方法提供的阵列数据的相同空间谱特征，可以计算不同参考频率下的不同模态矩阵序列，对所有这些(15)进行估计。

1. 多项式空间MUSIC

多项式空间(PS)MUSIC估计[7]将PSD与(17)的分母相结合, 提供幂项:

(19)

PS-MUSIC谱是由(19)的倒数给出的，

(20)

如果(19)中的积分近似于离散频域的总和，即

(21)

(21)是所有可能的参考频率时的分母项之和，在（14）中证明了输入到（21）中的单位矩阵Q(z)是一个空间-时间协方差矩阵。

5、数值模拟

A.实施方面

在[9]中已经证明了，即使由FIR滤波器组成的精确分解不存在，在(6)实现光谱混合的多项式EVD可以近似于FIR单位矩阵。因此，在这里，我们依赖于二阶顺序的最佳旋转(SBR2)算法[8]，它迭代地接近于(6)的分解，并且已经被证明是收敛的，因此迭代的次数将决定对角化和光谱估计的精确程度。

宽带转向矢量利用截断的SINC函数构造分数时滞滤波器，这可以通过一个锥形窗来大大改善。

作为一个简单的问题，单个源发射不相关的高斯信号。在一个无噪声的环境下，这个信号由从纵向位置在空间和时间上的严格采样数组m = 4元收到，使光源的宽带方向向量为

(22)

提供一个时空协方差矩阵:

(23)

因为R(z)有一个秩，大量的对角化分解存在一种可能性

(24)

TDFT是一个正规的、单一的M点DFT矩阵,对于(17)中的PSS-MUSIC，图1(a)中的频谱出现最终确定了源的DOA。在宽带阵列中，在较低的频率下，固定光圈降低了空间分辨率，无法分辨直流的来源。

对于给定参考频率自动聚焦可以证明

用来自的EVD零空间，估计K=64参考频率时MUSIC频谱，图1中，这导致了一个与PSS-MUSIC非常密切相关也有不同点的频谱。误差达到最大值10dB时，其中PSS-MUSIC谱在数值上是最敏感的，即在 且时，这可以归因于实现宽带方向矢量的错误性。注意到宽边的普通宽带转向矢量, 图1(b)中的误差是可以忽略的。

由于时空协方差矩阵的存在，SBR2可以立即得到精确的PEVD，在图2中给出了PS-MUSIC的精确结果。在一个参考频率范围内，MUSIC被显示出来，并且在一定的参考频率范围内，与PS- MUSIC相比，结果有些衰减。

C. 现实的情形

对于一个更现实的场景，我们考虑一个M = 8元素数组，它由三个互不相关的高斯分布的相等功率源混合而成。

来自三个方向的30DB不相关高斯噪声。图3显示了PSS和CSS-MUSIC谱，在后一种情况下，计算在小的分数带宽上的一组参考频率。在光谱范围内所有来源都是未知的，如图4所示，在 时AF-MUSIC提供更高的分辨率，在重叠区域外，性能下降。PS-MUSIC在图4中提供了比自动对焦更低的分辨率，在整个谱估计中不需要任何先验的光谱知识。

6、总结

将多项式MUSIC算法与最近提出的自动聚焦(AF)方法进行比较，这种方法属于相干信号子空间方法的范畴。利用多项式时空协方差矩阵及其多项式特征值分解框架中的AF法，并在充分近似傅里叶变换的假设下，证明了多项式的空间谱MUSIC算法等同于AF法, 而多项式空间MUSIC算法则与一组参考频率的AF项的总和有关。

数值模拟表明，多项式的MUSIC方法与已知或容易确定的准确PEVD的方法相似。对于更现实的场景，把AF限制为合理的分数带宽将为多项式MUSIC算法提供更高的分辨率;然而，后者并不依赖于先验的光谱信息，并且可以通过有效的结果来计算整个带宽。

7、致谢

s . Weiss, s . LambOtharan和J.G. McWhirter的工作得到了英国工程和物理科学研究委员会(EPSRC)和国防科学与技术实验室(Dstl)的支持，合同EP/K014307/1。

REFERENCES(略)

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