用连续场模型模拟晶粒生长外文翻译资料

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用连续场模型模拟晶粒生长

D.fan和L.-Q.chent

宾夕法尼亚州立大学材料科学与工程系，美国宾夕法尼亚州帕克大学

摘要 - 用计算机研究了二维（2-D）晶粒生长动力学基于连续扩散界面场模型的模拟。在这个模型中，一个多晶体微观结构由许多取向场变量描述，其时间和空间演变可以通过求解时间依赖的Ginzburg-Landau（TDGL）方程得到。发现时间平均晶粒半径R的依赖动力学定律:-= kt ，缩放时m = 2.0时，使用的锐界模型与大多数先前的模拟和理论结果一致。结果表明，Louat的功能可以合理地拟合晶粒尺寸从模拟中获得的分布。与一般认为4和5面的晶粒相反，在二维晶粒生长消失之前转变为三面，我们发现了4面的充分证据5面晶粒可以直接演变成无序材料区域，其尺寸大约为晶界厚度和与邻居的边界没有明确定义，然后消失。晶粒生长动力学对计算单元尺寸，离散网格、晶界宽度以及场变量的数量的依赖性太小。

1.介绍

晶体中的扩展缺陷，如多晶中的晶界，总是与正过剩自由能有关，因此热力学不稳定。结果表明，多晶中的晶粒生长总是以减小总晶界面积，从而减小晶界总能为目的。

晶粒生长由于其在控制各种材料物理性能方面的重要性，已经得到了广泛的研究[1，2]。结果表明，在所谓的定标区，微结构达到稳定状态，只有平均尺寸增加，而归一化尺寸分布与时间无关[3，4]。由于难以将拓扑特征直接纳入晶粒生长的分析理论[5-7]，利用计算机模拟来研究单相材料中的晶粒生长，引起了人们越来越多的兴趣。已经提出了各种各样的模型。这些模型包括边界动力学模型[8-lo]，顶点模型[11-13]，Potts模型[14-16]，Voronoi tellselation][17，18]，以及基于平均场理论的模型[19-22]。所有这些模型的一个共同特点是，它们都将晶界描述为具有零厚度的尖锐界面。

最近，我们提出了一种完全不同的晶粒生长模型，该模型假定晶界是有限厚度的扩散模型[23]这种扩散界面模型用许多取向场变量来描述多晶结构，这些变量区分了晶粒的取向差异，是空间位置和时间的连续函数。微观组织的总晶界能是场变量及其梯度的函数，类似于Alen和Cahn[27]关于有序合金中反相畴边界(APBS)的扩散界面理论。因此，我们称之为扩散界面场模型.这些场变量的时间演化以及微观结构演化和晶粒生长动力学用时间依赖Ginzburg-Landau(TDGL)方程描述。基于该模型的初步结果已在以前的短通信中在具有大量非守恒有序参数[23]和晶粒生长[24]的系统的有序动力学背景下作了报道。

因此，本文的主要目的之一是给出更详细的模型，并仔细研究所获得的晶粒生长动力学与计算单元大小和取向场变量数的关系。第二个目的是比较从这种扩散界面模型得到的晶粒生长动力学与其他模型，特别是从流行的Potts模型得到的晶粒生长动力学。此外，人们普遍认为，在二维晶粒生长中，4面和5面晶粒在消失之前会向3面转变。然而Fradkov[28]最近关于二维模型系统的理论工作和Palmer等人关于薄膜的实验工作[29]指出，大多数晶

粒在消失之前都属于同一拓扑类。因此，第三个目标是，在漫射界面描述中，考察单个晶粒的局部拓扑变化，并确定在消失之前，4和5面晶粒是否必须转变为3面晶粒。最终目的是严格检验扩散界面模型中引入的晶界厚度对晶界迁移动力学的影响。

2.扩散界面场模型

在扩散界面场模型中，由一组连续场变量描述任意多晶微结构，

eta;₁(r),eta;₂(r),hellip;hellip;eta;_p(r) (1)

其中（i=1,...p.)表示取向场变量，用于区分晶粒的不同取向；p表示可能的取向数。图4.1为二维取向场表示的微观结构示意图，例如，在由标记的晶粒中，的值是1， 而所有1的值均为零。

穿过晶粒eta;1和与它相邻晶粒的晶界时，eta;1值由1连续的变为0。在真实的材料中，晶粒的取向数是无穷大的，即p=infin;。然而在计算机模拟中只能处理有限数量的p。因此，必须研究取向场变量数对晶粒生长动力学的影响。

类似于Allen和Cahn[27]对APB的处理，我们用所有取向场变量及其梯度写出了非齐次系统的总自由能如下：

(2)

其中表示局域自由能密度，是场变量的函数；表示梯度能量系数。

晶界能的能量源于梯度能项，它仅在晶界附近是非零的。根据Cahn和Hilliard[30]的研究理论，取向i和j（ij)之间的晶界能 可以写为：

(3)

值得注意的是，除晶界区外，所有被积体都为零。对于给定的 ，边界能和厚度随 的变化而变化。越小，边界区域越薄，边界能量越小。稍后将更详细地讨论， 的唯一作用是在p简并势阱指定的不同晶粒之间提供明确的晶界.因为根据AllenCahn[27]的分析，在这种漫射界面描述中，边界偏移速度仅与边界的局部平均曲率成正比，并且与势函数无关。

由于取向场变量是非守恒量，它们的局部演化速率与总自由能的变分导数与局部取向场变量的变分导数成线性关系，即由Ginzburg-Landau方程控制，

(4)

其中L是弛豫系数，t是时间，F是总自由能。在(4)的右边，假定交叉项为零。这一假设的有效性尚待验证。在p=1的情况下，Ginzburg-Landau方程被广泛应用于非守恒序参数[31]的淬火体系的动力学模拟、反相畴粗化动力学[27]以及最近在纯材料中凝固的动力学[32]。

1. 平均曲率运动

在传统的界面运动理论中， 该边界速度V通常写为

(5)

其中B是流动性，是化学势跨越边界的每个原子的差异，是边界能，是原子量，和（1， ＆）是平均曲率。

如上所述，如果我们设置p = 1并替换自由能表达式（2）进入动力学等式（4），我们得到了演化的方程

假设APB宽度远小于域名大小，Allen和Cahn [27]表明了APB迁移速度由下式给出

（7)

式(7)的重要含义是APB运动仅由局部平均曲率决定，与局部自由能密度函数的特定形式无关。结果表明，对于各向同性晶界能和各向同性弛豫常数，扩散界面描述中的晶界也

平均曲率而移动，得到了与(7)完全相同的边界速度方程。

1. 局域自由能密度的构造

最后一节指出，为了模拟纯系统中的晶粒长大，自由能密度函数的精确形式对APBs和晶界的运动并不重要。对的主要要求是需要其在p维空间的(eta;1,eta;2,hellip;,eta;p)=(1,0, hellip;,0),(0,1, hellip;,0),hellip;,(0,0, hellip;,1)处有相同的p阶简并最小值。满足这一要求的简单公式是

(8)

这样很容易看出，在等式(8)的右侧的第一个求和式里的每一项都在eta;i=-1和eta;i=1处有两个最小值：-0.25。然而只有第一个求和式并不能满足要求，因为它使得在每一个eta;i等于1或-1的地方都会出现最小值，如在=(1,1,hellip;,1)处，这样将有2p个最小值。因此在等式(8)中加入交叉项的双重求和项。选择合适的gamma;，势能函数将满足我们的要求。为了确定如何选择gamma;，将式(8)重写成如下的形式 ： (9)

如果gamma;=beta;/2，那么对于任何的pgt;1，在满足=alpha;/beta;=1的位置将有无穷多个最小值。

P=2时这些点组成一个圆，p=3是组成一个球面，等等。对于gamma;lt;beta;/2，在每一个eta;_i等于1或-1时有2^p个最小值。对于gamma;gt;beta;/2，将在=(1,0,hellip;,0),(0,1,hellip;,0),hellip;,(0,0,hellip;,1),(-1,0,hellip;,0),(0,-1,hellip;,0),...，(0,0,hellip;,-1)处有2p个最小值。因此为了使满足要求，gamma;必须大于beta;/2。在晶粒长大的模拟中，这2个最小值中每一个都代表一个确定的晶粒取向。。给出了方程(8)，然后将总自由能F(方程(2)代入方程(4)，得到了动力学方程。

i=1,2,...,p (10)

1. 动力学方程的数值解

为了模拟晶粒生长动力学，必须在空间和时间上离散一组动力学方程(10)。在我们的模拟中，Laplacian由以下方程离散，

其中是离散网格大小，j代表站点i的第一个近邻，k代表第二近邻。对于时间离散，我们采用了简单的显式欧拉方程，

对于描述初始晶粒结构的的初始分布，可以通过数值求解方程(10)得到微观结构的时空演化。晶粒生长模拟可以从两种不同的方式开始：(1)输入预定义的初始微结构，或(2)通过给场变量(例如-0.001到0.001)分配小的随机值来生成液相，然后允许结晶发生，从而产生细小的晶粒微结构。在给定时间内有关晶粒结构的所有统计信息、平均生长速率、每粒个体的拓扑变化等。可以从计算机生成的微结构中得到。

1. 结果和讨论

本文所报道的所有结果都是在二维系统中进行的，我们对动力学方程中的参数假定如下：=1.0，=1.0，=1.0，=2.0，=1.0，对于i从1到p。沿两个笛卡尔坐标轴的网格大小被选择为2.0，积分的时间步长为=0.25。采用周期边界条件。选择两种不同尺寸的计算单元：512times;512和1024times;1024网格点，比较晶粒生长的尺寸依赖性。初始条件是通过给每个网格点上的所有场变量分配小的随机值来指定的，例如-0.001lt;(对于i)lt;0.001，模拟液体。所有的动力学数据都是从不同的初始条件(从具有不同种子的随机数发生器产生)开始的几次独立运行对定向场变量进行平均得到的。典型的512个网格点和8000个时间步长的模拟在Cray C-90中大约需要2小时。

6.1.微结构演化

为了使用取向场变量可视化微结构演化，定义了以下函数：

(13)

函数在晶粒中的值为1.0，而在晶界处的值则要小得多。如果用黑色和白色分别表示的低和高灰度表示这些数值，那么亮区将是晶粒，暗线将是微观结构中的晶界。图4给出了一个使用含有36个场变量的512times;512单元的微结构演化的例子。由于的初始值基本上为零，所以模拟的早期阶段对应于结晶，即在不同位置由体积自由能变化驱动的 值的增长。在很短的时间内，即200步左右的时间内，形成了一个清晰的晶粒结构，基本上消耗了所有的块体驱动力。进一步的微观组织演化是由与晶界相关的过剩自由能驱动的，从而导致整体微观结构尺度或晶粒尺寸的增加(图4)。稍后将讨论单个晶粒的详细拓扑变化。

6.2.晶粒生长指数

通过计算晶粒内的网格点数，直接从微观结构中计算出每个晶粒在给定时间步长下的面积， 晶粒尺寸R由面积A得到，假设所有晶粒都呈圆形，因此，A=。然后，通过对系统中所有晶粒的平均化，得到给定时间步长的平均晶粒半径。在一个512times;512细胞中，晶化后的初始晶粒数约为3000粒，10000次晶化后约有200粒。

平均晶粒半径随时间的变化对于512 x 512系统，如图5所示然后将数据拟合到等式 中; 通过多参数非线性最小二乘拟合常规提取生长指数m和系数ķ。 从初始阶段的数据，大约500到在装配之前移除了1000个时间步长。增长指数m几乎是显示的正好是2.0

6.3.粒度分布

从512 x 512系统得到的晶粒尺寸分布如图6所示。提出了几种描述晶粒尺寸分布的函数[2，4，6，7]。我们尝试将模拟得到的晶粒尺寸分布拟合为对数正态函数和广义Louat函数[6，7，16]两种理论分布。

对数正态分布可写为：

其中x=log(R/ )，是x的平均值，是分布的标准差。广义Louat函数[4，15]有一个形式：

（15）

其中是一个可调整的参数。用多参数非线性最小二乘拟合程序将对数正态分布函数和广义Louat分布函数拟合到模拟数据中(图6)。结果表明，对数正态分布在平均尺寸区域附近与模拟数据吻合较好，但在小尺寸区域和大尺寸区域有较大的偏差。此外，对数图中对数正态分布是对称的，尾部延伸到，而模拟数据是不对称的，并且在大尺寸区域有截断。Louat分布函数与整个区域的模拟结果吻合较好，在大约=0.85时得到了一个上界。然而，即使在相同的位置上，Louat函数的最大值也远低于模拟数据的最大值。虽然

上述结果大部分与蒙特卡罗模拟[14，16]的结果一致，但上限却有所不同。

有36个场变量的512 x 512系统的晶粒尺寸分布的时间依赖性如图7所示，用于不同的

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