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Drucker-Prager/Cap模型与改良的Cam-Clay模型在药粉压模过程的数值模拟中的比较研究
H. Diarra, V. Mazel, V. Busignies, P. Tchoreloff
波尔多大学，CNRS，波尔多INP，巴黎艺术学院，I2M，UMR 5295，F-33000波尔多，法国
摘要
有限元数值模拟方法是模拟模具模压过程的常用方法。在制药领域，Drucker-Prager/Cap（DPC）模型是目前研究粉末机械性能中最常用的模型。本文介绍了另一个经典但不那么常用的模型，即改良的Cam-Clay (MC-C)模型。其主要优点是，相较于DPC模型，MC-C模型更容易确定模型参数。
MC-C模型的屈服面是一条椭圆曲线。将该模型与DPC模型进行比较，以评价其对粉末压缩特性的描述能力。对两种模型的参数进行了实验测试，并进行了仿真。通过实验对两种模型的参数进行了表征，并进行了模拟。
根据模型方程和压缩曲线图估计了粉末在压缩过程中的整体行为。研究了相对密度和轴向应力的空间分布，以比较粉盒（应力集中、低/高密度区域）的局部行为。在平面冲压机的作用下，两种模型得到的结果几乎完全相同，在使用凹面冲压机时也是如此。这意味着MC-C模型能够很好地描述药粉的模压成形过程。
关键词：药粉，模压，Cam-Clay 模型，数值模拟
1.介绍
在制药领域，数值模拟的应用越来越多常见，多用于模拟在模压过程中粉末的致密化[1-7]。在此过程中，粉体床承受较大的张力，通常采用有限元法(FEM)来模拟这种行为。在有限元法的建模过程中，用于模拟粉末压缩过程的唯象模型通常是椭圆模型[8,9]。这些模型使模拟粉末的体积缩减和硬化行为成为可能。
目前，Drucker-Prager/Cap（DPC）模型是描述模压过程中粉末的机械性能的最常用的模型[4-7,10-13]。结果表明，该模型较好地描述了内部应力、应变和密度等输出变量的分布。通过比较模拟压缩曲线和实验压缩曲线，证明压缩循环（压缩阶段和解压缩阶段）的模拟效果良好[2,4]。利用DPC模型分析了改变冲压机形状时变量的空间分布的差异[4,6,14–16]。LaMarche等人 [17] 建立了DPC参数与粉剂压实性能之间的关系，从而建立了DPC参数与片剂性质之间的关系。DPC模型适用于描述粉末压实过程中粉末的密度。
尽管如此，DPC参数的表征是冗长而乏味的，特别是要测试多个相对密度水平的情况下。事实上，其需要进行几个独立的实验测试：在给定的相对密度下进行的制备片剂的实验测试，以及至少两个失败测试以表征破坏线的参数 [4,18]。
此外，为了确定破坏线的参数，通常只通过进行两种试验:单轴压缩试验和径向压缩试验，当然一条直线穿过从这两次试验中得到的两点。尽管如此，当在上述测试中添加第三个测试（第三个点）时，这三个点没有成同一条直线[19]。这意味着故障线的确定是有问题的。因此，当应力状态接近破坏线（可能在松弛阶段和推出阶段发生）时所获得的数值结果必须被谨慎对待。最后，破坏线参数的表征不仅增加了实验测试的次数，而且还可以作为模拟的误差源。
这项工作的构思是提出一个使用简单、需要较少的实验测试进行参数表征的模型来替代DPC模型。选择的模型和DPC模型一样，都是椭圆模型，是改良的Cam-Clay（MC-C）模型[20]。该模型属于一类上限塑性模型，可以用来模拟体积变化和粉末硬化过程。结果表明，对于土壤[20]粉末、金属[21]粉末和陶瓷[22]粉末，MC-C模型都较好地描述了粉末在压缩下的力学特征。据我们所知，该模型从未用于模拟药物粉末的压缩过程。
然后，本研究的目的是使用Abaqusreg;软件[23]来比较DPC模型和MC-C模型，以确定MC-C模型是否能够很好地模拟药物粉末的压缩过程。对这两种模型进行了数值模拟，并比较了两种模型对平面片剂的模拟曲线。模拟曲线也与实验测试下的结果进行了比较。之后, 比较了两种模型测定的应力和相对密度在平面片剂和凸面片剂（双凸面片剂）中的空间分布，以确定MC-C模型的模拟是否仍然适用于复杂形状的压模过程。
2.药粉及压片机
2.1粉末
本研究选用无水磷酸钙（aCP）（Anhydrous Emcompressreg;，法国）作为模型化合物。为了进行压实试验，aCP与1%（w/w）的硬脂酸镁（德国Bad Muuml;nstereifel, Peter Greven, MF3Vreg;,）混合，以尽量减少粉末与压实工具之间的摩擦。在turbula混合器（瑞士Muttenz, Willy A Bachofen，T2C型）中进行混合，并将操作条件固定在50转每分下5分钟。颗粒密度用氦比重瓶测量，结果为2.786 g·cm-3[24]。混合物的体积密度约为0.70 g·cm-3。
2.2. 压片机
进行压实试验时，采用Stylcamreg;200R压实模拟器（法国Medelpharm, Bourg en Bresse）。这台压力机执行对称压缩，配有传感器（变形测量器），可以测量上方冲床、下方冲床和模壁上的压力。通过这种压片机，也可以测量上下冲头的位移。使用直径为11.28 mm的标准欧B圆冲床。有关这台单工位压力机运行的实验条件的进一步信息可以在其他地方找到[24,25]。
实验以在直接凸轮模式下每分钟10个压块的速度进行。这相当于压缩的总时间为150毫秒，而几乎与片剂出坯的时间相同。在压缩最大值的情况下，调整初始高度（填充高度）以获得在最大压缩下3.5毫米的最终片剂厚度。
3.有限元模型
数值模拟采用了Drucker-Prager/Cap（DPC）模型和改良的Cam-Clay（MC-C）模型。它们是弹塑性模型，其在p-q平面图中的示意图（其中p为静水应力，q为Mises等效应力）如图1所示。两种模型的屈服面都至少呈现出椭圆形的一部分。DPC模型的屈服面由一条直线和一条椭圆曲线构成（图1 A和B），而MC-C模型的屈服面仅仅被定义椭圆的一半（图1C和D）。这就减少了MC-C模型的参数个数，从而简化了模型参数的表征。
3.1. Drucker-Prager/Cap (DPC) 模型
在一般描述中，DPC模型由三个屈服面组成：由Fs定义的Drucker-Prager破坏线、顶曲面Fc（为椭圆的四分之一）和过渡面Ft。在本研究中，没有使用过渡面（确保顶曲面和破坏线之间的平滑过渡），并且将模型简化为两个屈服面[1,11] (图. 1A). 这两个曲面的方程表示为:
Fs(p,q)=q-p tanbeta;-d=0 (1)
(2)
式中，d表示粉末的内聚力，beta;是摩擦角，R表示椭圆的偏心率，Pa是与静水屈服应力Pb相关的演化参数。当粉末床被压模时，粉末发生弹性变形，直到应力状态达到顶曲面。然后粉末发生塑性变形，变得坚硬。如果应力状态超过破坏线，则粉末床发生软化现象(图1B).
3.2. 改良的 Cam-Clay (MC-C) 模型
如DPC模型一样，改良的Cam-Clay (MC-C) 模型也是一个弹塑性模型。在p-q平面图中，其屈服面形状为半椭圆。图. 11C和D显示了p-q平面图中MC-C模型的更详细的描绘。MC-C模型的屈服面方程（屈服函数F）定义如下：
（3）
在式(3)中，参数a是屈服面的尺寸，M是材料常数。在用DPC模型进行建模时，假定三轴拉伸中的流动应力等于三轴压缩[1,4,11]中的流动应力。这意味着参数t等于Mises等效应力q（t=q）。如果参数beta;小于1（beta;＜1），屈服面由两条不同的椭圆曲线组成。为了只用一条椭圆曲线来表示模型，参数beta;被固定为1（beta;=1）。因此，等式(3) 可以改写为：
(4)
如图 1C所示，粉末的行为由两部分组成：软化行为和硬化行为。这两种行为之间的连接点代表了一种临界状态，在这种状态下，粉末的力学状态是在没有塑性体积变化的情况下演化的。
要注意的是，这个屈服面仅取决于两个未知参数（M和a），因此两个方程是足以表征模型参数的。
在数值模拟过程中，采用Abaqusreg;软件所执行的硬化规律的分段线性形式。在这种情况下，静水屈服应力Pc取决于体积塑性应变εPvol
Pc=f(εPvol)and a=Pc/2 (5)
4.数值模拟参数的确定
4.1弹性参数：杨氏模量E和泊松比v
所有的模拟都使用了线性弹性。根据Mazel等人所描述的双重压实法，对弹性参数（杨氏模量E和泊松比v）进行了表征[24]。粉末在一定的压力下被压实，变成片剂（第一次压实）。在不排出片剂的情况下，对片剂进行第二次压缩（第二次压缩）。在第二次压实开始时，片剂发生弹性变形。假设材料是各向同性的，可以应用胡克定律。使用实验数据，可以通过绘制轴向应力和径向应力和片剂厚度的适当组合来确定弹性模量。考虑到粉末硬化时弹性性能的变化，必须确定不同相对密度下的杨氏模量和泊松比。
4.2 DPC模型参数的确定
对于给定的相对密度，至少需要三个实验测试来表征DPC模型的参数。要在给定的相对密度（即模压）下制作片剂，必须进行第一次试验。在试验过程中，测量轴向应力和径向应力，然后计算对应于该相对密度的静水应力p和Mises等效应力q。随后，在相同相对密度的片剂上进行两次失效试验，以继续表征DPC模型的参数。文献[4,18]中详细地描述了确定模型中所有参数的方法。
4.3MC-C 模型参数的确定
药物文献中没有详细描述MC-C模型参数的表征。然后，我们提出了详细的方法，用于确定模型的参数。此方法基于两个表达式。第一个是屈服面F的表达式（等式(4)）。第二个表达式是用塑性流动势相关的事实来确定的。
就等式(4) 而言，只需计算参数M和a，就可以用MC-C模型进行模拟。如前所述，如要确定这些参数，需要两个方程。首先，为了将M表示为p、q和a的函数，等式(4) 被重写：
(6)
其次，对于盖区的DPC模型，塑性流动势是相关的。因此，势能函数和屈服函数是相同的，p-q平面图可以叠加到εp-εq平面图上（εp是应变的静水压力分量，εq是应变的偏离分量）[18]。因此，当在给定应力水平上发生硬化时，塑性应变矢量的增量垂直于屈服面。εp-εq平面图中的两个分量是：
是轴向的塑性应变,是径向的塑性应变.
以刚性模具的固结测试为例，径向塑性应变相对于轴向塑性应变是可以忽略的，因此 / = 2/3。该计算表明，垂直于屈服面的斜率为2/3，与屈服面在同一点的正切为-3/2：
(7)
顶曲面
破坏线
破坏面
软化行为
硬化行为
硬化
硬化
图1 p-q平面图中DPC模型（A和B）和MC-C模型（C和D）的描绘：屈服面形状（左）和屈服面随相对密度的渐进（右）。
此外，利用屈服面方程，我们可以列出：
(8)
通过组合等式(7) 和 (8)，参数M的新表达式为：
(9)
通过等式(5), (6) 和 (9)，静水屈服应力pc计算如下：
(10)
已知给定应力状态下的对(p,q)，可以很容易地计算出所有参数(pc, a 和 M)。等式(10) 也可以通过使用Cunningham[1]和Han[4]等人提出的方法得到。
在给定的相对密度下，仅通过一次实验测试，得到了p和q的数值。事实上，使用仪器压力机Stylcamreg;200R，粉末在特定压力水平（相对密度）下受到应力。通过测量轴向应力(pax)和径向应力(pr)，计算出相应的静水应力p和等效应力q。将p和q的值代入等式(10)中计算pc.，然后计算参数a和M（方程组(5)和(6)）。
模型的参数取决于相对密度，但在用于模拟的软件中，静水屈服应力pc是体积塑性应变εp的函数。体积塑性应变表示为相对密度的函数。
(11)
式中，rho;和rho;0分别是相对密度和初始相对密度。从相同的实验测试中进行计算
相对密度
相对密度
粉体内聚力d （Mpa）
盖偏心率R（-）
泊松比v（-）
杨氏模量E（MPa）
图2 模型参数 A：不同密度下的弹性参数。B：DPC模型的粉体内聚力d和盖偏心率R。
图3 两种静水应力pb和pc随体积塑性应变εplt;
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