偏微分方程的控制理论简介外文翻译资料

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偏微分方程的控制理论简介

Sorin Micu_ and Enrique Zuazuadagger;

Introduction

这些笔记是作者在过去的五年里在一些学校和博士项目中所教授课程的删节版。我们的主要目标是介绍一些现代的主要成果和工具偏微分方程可控性理论(PDE)。笔记是不是完整的。我们用最基本的材料制作特别选择考虑的问题。粗略地说，可控制的问题可以如下所述。考虑一个演化系统(用狭义或普通的术语来描述)的微分方程(PDE /ODE))。我们可以在预定的地方上对变化的系统通过适当的控制(系统方程等式的右边项，边界条件等)。

然后，给定一个时间间隔为和初始和最终状态我们必须找到一个控制，这样求得的系统的解可以符合规定的t = 0时的初始状态和t = t时的最终状态的要求。

这是控制理论中的经典问题，有大量的文献都详细地讨论了这个话题。我们参考了Lee和Mrcus[44]在有限维度系统方面的著作。我们也参考了Russell·[55]和Lions的关于PDE的可控性的论文，也称为分布参数系统。

在过去的二十年里，这个方向的研究非常密集，在这个短短的讲义里面如果要介绍所有已经取得的主要进展是不可能的。为此，我们选择了一些最重要的东西以及相关的介绍性材料，尽管并不是迄今为止最优秀的成果。感兴趣的读者可以从上面的参考文献和文章末尾的参考书目上在这个方向上学到更多。

在处理可控性问题时，首先要区分由ODE描述的有限维度系统和无穷维的由PDE所描述的分布式系统的问题。这个模型的问题，从有限维度系统和无穷维度系统的意义上来说，是很重要的，从控制理论的角度来说，这两种系统有很多的不同的性质([74])。

这些讲义大多处理与PDE有关的问题。然而,我们开始介绍有限维系统的控制理论工具，这是我们介绍一些基本问题的介绍性章节。这一理论已经发展在过去的几十年里，我们要处理非线性和不确定性。但这里我们给出了线性的可控性的最简单的结果有限维度系统，并专注于研究发明将会有用的PDE工具。正如我们所看到的，在有限维度的环境中，一个系统，当且仅当代数卡尔曼秩条件满足时是可控的。根据这个性质，当一个系统在一段时间内可以控制时，对于所有的时间也都是可控的。但在PDE的背景下，这一点不再正确。特别是,在波动方程的框架，一个以有限的形式传播速度的模型，为了控制性能，控制时间的需要足够大，以便控制的效果可以到达任何地方。在第一章，我们将发展一种控制问题的变分方法。

正如我们所看到的，当一个系统是可控的，就可以建立控制体系，通过在解的类上定义一个合适的二次函数伴随系统然后再进行最小化。该分析方法的合适变化就可以构建不同的控制方法。最小化的 –范数的系统的结果是光滑的。而最小化的 -范数是一种bang-bang的形式。求取这些函数的最小值的最主要的困难是证明它们是强制的。这个结论等价于观测方程的可观测性，观测方程是一种相当于方程控制性质的对应方程。

在第二章和第三章中，我们介绍了内部控制和边界控制的问题线性常系数波动方程的控制方法。并且我们讨论了各种变化，即近似能控性、精确能控性和零能控性，以及它的相互作用关系。再一次，精确可控性的问题是等效于伴随系统的可观测性，同时近似可控性等价于较弱的唯一性或惟一的推广属性。在第四章我们分析一维情况下通过傅里叶级数扩张而古典Ighman不等式是一个非常有用的工具来解决控制问题一维波动方程和粒子束方程。

在第五章和第六章中，我们分别讨论了热方程的内控制性质和边界控制性质。我们证明，作为HUM唯一性定理的结果，伴随热方程将对该属性进行处理在任意小的时间内的唯一性的推论。相应的多维热方程在任意小范围内近似可控时间和在任何开域中紧的控制性质的等式成立。我们还用傅里叶级数表示，在一维空间中扩展的零控制问题，可以简化为一个矩问题并且涉及一系列的实指数函数。然后我们构建一个双正交的基底列，显示系统在热方程成立的特殊的区间的任何时候都是零能控的。

正如我们在上面所说的，这些讲义是不完整的。感兴趣的读者可以通过研究文章[70]和[72]了解更多关于这个主题的知识。控制性质理论和与均匀化理论的关系可以参考[12]。我们参考[74]来讨论有PDE的相关的数值近似可控性。

1. 有限维系统的控制性质和稳定性

本章专门研究一些基本的有限维系统可控性和稳定性。前两个部分处理线性的情况。在第1部分中用代数卡尔曼秩条件讨论精确能控性。在第2部分中考虑了联合的观测系统。

在缺乏控制的情况下，系统是保守的，并且生成一系列的轨道。结果表明，如果一个选择好的反馈耗散项加入系统，该系统就可以保证均匀，并且保证指数稳定。这是一个已知的有限维系统的可控性和稳定性的特殊情况([65])。

1.1有限维线性系统的控制性质

令以及.我们考虑下列的有限维系统

（1）

(1)，A是一个的矩阵，B是一个的矩阵，并且是一个当中的向量。函数代表系统状态 以及代表控制。这两个函数都是只包含一个自变量t的n维和m维向量函数。显然的，在实际上面

。最要紧的目标当然是用尽可能小的m来控制整个系统。给定初始条件 以及向量函数 ,系统（1）有唯一解 ，在不考虑只差一个常数的情况下面，可以有下列的表达式给出

(2)

定义1.1：如果对于任意给定的初始函数和任意的终止函数

，存在 使得系统(1)的解满足 ,就说系统(1)在时间是精确能控的.根据这个定义，控制过程的目的在于,在时间T通过控制u对系统进行操作,控制系统的解x从初始状态到最终的。注意，m是进入系统的控制过程的数量，n代表受控制状态的状态数。作为我们之前提到过的东西，在应用程序中，我们想要做的是控制m尽可能小。当然，这可能会影响到控制系统的特性。稍后我们将会看到一些系统大量的状态可以只控制一个控件(但是为了使这是正确的，控制机制，即矩阵(m = 1)的矩阵(列向量)需要以一种有效的方式来选择根据矩阵的一个卡尔曼的秩条件，它将在第1.3节中给出，提供了可以控制的简单描述对控制矩阵B进行适当的选择的方法。让我们用两个例子来说明这一点。第一个是可控性不成立，因为系统的一个组成部分对它控制不敏感。在第二种情况下，这两个状态将由一个方法控制数量控制。

例子 1 考虑这个情况

那么这个系统

可以被写成

也就等价于

其中是初始状况函数。

这个系统是不可控制的，因为控制u没有在系统状态上起作用完全由初始数据决定的状态的的。因此这个系统是不可控制的。但是，我们可以控制第一个状态 的状态。因此，系统是部分可控的。

例 2：不是所有的系统有两个分量和一个标量控制的系统(n = 2,m =1)表现得像前面的例子一样糟糕。这可以通过分析这一点来观察，考虑控制谐振子

也可以写成

其中A和B分别代表

再一次，我们只有一个控制u对系统的两个分量x和y。但是，与例1不同，现在控制在第二个方程中起作用这两种成分都存在。因此，我们不能立即得出结论这个系统是不可控制的。事实上，这是可控的。事实上,任意的初始和最终的状态以及。显然可以构造一个规则的函数 使得

事实上，有无限多种方法来构造这些函数。我们可以例如，选择一个三次多项式函数z，然后定义.由方程的解x(4)与此控制和初始数据进行控制 与z重合，即x = z，因此满足控制要求，因此满足控制要求。

该系统提供了一个具有两个状态的系统示例(n = 2)只有一个控制(m = 1)是可控的。而且，这个例子显示控制u不是唯一的。事实上，有无限的控制和不同的控制使得控制轨迹满足控制要求。在实践中,选择最优的控制(在某种意义上来说是精确的)是一个重要的问题，我们也将讨论这方面问题。

如果我们定义可达集为={:存在使得x是方程(1)的解}

而精确能控性就等价于对于任意的都成立。

推论1.1：在精确能控性的定义当中对于任意的初始状态都可以被控制到任意的终止状态上。除此之外，由于系统的线性性质，再不失一般性的情况下面。我们可以假定

事实上，如果 ，我们可以知道

同样的我们可以定义

注意到当前仅当。因此，将解从变成等价于将从

变成零。

前面的评论激发了以下的定义：

定义1.2：系统(1)称为是零能控的，如果对于任意的初始函数 ,存在 使得。也就是

另一方面，备注1.1显示了精确的可控性和零能控性在有限维度线性的情况下，可控性是等价的系统。但这并不一定是非线性系统的情况，对于强时间不可逆转的无限维度系统，有很强的时间是不可逆的。例如，热方程是一个众所周知不完全可控的零-可控系统的例子。

• 1. 观测性质

精确能控性与不等式有着十分密切相关的关系，并且和相应的伴随齐次系统的性质也密切相关。这就是所谓的观察或可观测性的不等式。在本节中，我们将介绍这个概念和展示其与可控制性的关系。

令为矩阵A 的伴随矩阵。也就说这个矩阵需要满足对于任意的x,y

考虑如下伴随系统

注意到对于任意的，(9)可以在时间可逆性形式下面被解决并且有唯一解。

2.波动方程的内控制性质

在本章中，我们研究波动方程的内部可控性问题。控制函数被假定在给定域的一个子集上定义并起作用。边界可控性的问题也存在重要的应用，所以同样吸引了大量的注意力，将会在接下来的一章中讨论。在后面的例子中，控制作用在边界上定义解的域。

令是中的一个有光滑边界的有界集合，是的一个非空开集。给定 ,考虑下列波动方程：

（52）

在（52）中，是系统的状态，是支集在 上面的控制函数。我们的目标是通过改变 来变化系统。

众所周知，波动方程模拟了许多物理现象如弹性体的小振动和声音的传播。因为实例(52)为小振幅振动提供了很好的近似一种弹性的弦或柔性的薄膜占据该区域在暂留的时候。是控制函数代表了作用于振动结构的局部力。波动方程的重要性不仅在于它的存在模型是一大类振动现象，但也因为它是最重要的相关双曲偏微分方程。我们将会看到，双曲方程的主要性质，如时间可逆性和缺乏规则化效果，对控制有非常重要的影响问题。因此，研究波动方程的可控性是很有趣的这是连续力学的基本模型之一，同时，作为偏微分理论中最具代表性的方程之一的基本方程。

2.6 评论

在本节中，我们介绍了与精确和近似有关的一些事实可控性的属性。我们使用的变分方法

将这些属性减少到观察不平等和唯一的推广的齐次共轭方程的原理。后者将用非谐波傅立叶来研究来对第4章的某些特殊情况分析。

3.波动方程的边界能控性

本章专门研究了边界可控性问题波动方程。控制被假定作用于边界的一个子集

定义解的域。

令为中的一个有光滑边界的有界开集，是这个边界的子集，给定[Tgt;0]考虑

在这个方程中u表示系统的状态，

表示控制函数。我们希望能通过在上面进行变化来控制整个系统。

3.6 评论

在最后两部分中，我们给出了一些关于精确的结果以及波动方程的近似可控性。变分方法是我们经常使用来将这些属性减少到一个观察不等式的方法，这是一个单独的连续齐次方程的连续原则。让我们简要地说明一下这一独特的延续的证明原则(75)和(94)。Holmgren的唯一性定理(见[33])可以用来表示(75)(94)如果T足够大的话。我们指的是[45]，第一章和[13]讨论这个问题。因此，近似的可控制性是成立的T是足够大的。同样的结果也适用于具有解析系数的波动方程。然而，这个问题在波动方程的框架中并没有完全解决与低阶势。

4.傅里叶方法和一维波动方程的可观测性

在第2章和第3章中，我们已经说明了精确能控性问题，可以简化成为减少到相应的可观察性不平等。在这一章中我们更进一步的详细讨论和介绍了一些基于傅里叶分析的技术

在Ighamn不等式中，可以推导出几个可观察性结果的线性一维波动方程。我们主要参考Avdonin和Ivanov[3]这两篇文献完成这种方法的演示。

4.1

在本节中，我们将介绍两个已成功使用的不等式对许多一维控制问题的研究结果，更准确地说，是为了证明观察不平等而做的研究。它们概括了经典的Parseval等式的正交性序列。在过去的几年里面，在Paley的作品中研究了这些不等式的多种变体(见[53])。主要的是汉厄姆不等式(见[37])，有人给了一个漂亮的基本证明(参见下面的定理4.1和4.2)，从那以后，许多归纳总结可以被给出来了(例如，[6]、[58]、[4]和[38])。

5.热方程的内能控性

本章研究了热方程的内部可控性问题。控制函数被定义在解决方案的域的子集上执行定义。热方程的边界可控性问题将会是在接下来的章节中考虑。

5.1简介

设为当中的有界开集，是非空开子集，对于给定的,我们讨论的控制系统方程是：

(1)

这当中表示系统的状态，而表示支集在上的控制函数。

而则是指系统的初始状态是系统在T时刻的状态。

但就该热传导方程而论，在上的解是唯一的，而且连续的依赖于初始状态函数。热方程是许多扩散现象的模型。例如(137)提供了在一个特定区域里面对温度分布和演化系统的很好的描述。然后，控制函数表示本地化热量的来源。

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