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分配位置和切向速度的机器人轨迹规划方法

摘要

本文提出了机器人轨迹规划的技术。

这个技术主要包括通过在各个关节设定路径和预期路径的几何形状控制机器人末端执行器

这是当末端执行器通过每个路径点时，通过设定系统的关节变量qi和关节速度的维度给控制系统实现的。

用这种方法，如果一个路径被用一个相同数量的关节所定义，该技术相对于那些传统的点到点控制技术来说，可以实现更精确的路径。

最后，给出了一些例子是在给定相同的轨迹下不同的轨迹规划方法的对比和用在一个复杂表面上的例子。

介绍

轨迹规划涉及到建立机器人末端执行器从起始位置到终止位置的运动、几何路径的定义以及运动定律。

正确的轨迹规划是非常重要的，因为轨迹可以通过一个不收执行机构限制或引起机械应力引起结构破坏的闭环运动控制系统来执行。

轨迹规划必须在工作空间中定义，被追踪的路径必须把关节和内外部约束考虑在内。在对机器人做轨迹规划时的主要准则为：

1. 生成的轨迹必须计算简单、可快速生成。
2. 关节位置和速度必须是关于时间的连续函数。例如，我们希望在瞬间从一点到另一点。这表明这个运动会产生一个无穷大的速度，这是不可能的。这和不连续的关于时间的速度函数是一样的。
3. 必须减少不良的效果，例如，定义的路径为不规则的歪曲路径。

机器人是用来完成要求的复杂和困难的工作，通常是高度非线性的运动，要求达到一个特定的目标通常是一个艰巨的任务。在运动规划中，有两个类型的运动控制经常被广泛使用：点到点控制（PTP）和连续（CP）路径控制。

点到点运动是当机器人通过设定的路径一种运动类型。这是最一种常用的运动规划方法[1-3]。在连续运动控制中，机器人末端执行器的速度和位置在每个关节轨迹中被预测估计。

运动可以通过几个决定机器人范围的优化准则来设计规划。在一些领域，运行时间是很重要的[4]，在其他领域，消耗的动力是很重要的[5]，还有一些领域希望获得非常平滑的运动轨迹。

点到点的运动规划或者最短时间准则可能会导致不必要的振动。为了实现平滑的运动和在工作空间、关节空间中的追踪，已经提出了一些方法，例如利用三次、四次、五次多项式的梯形或样条曲线方法，如Broquere等在一些方法上提出的观点[6,7]，他们认为一些技术可以保证加加速度和速度的降低以得到一个更平滑的轨迹。在任何情况下这些技术可以在关节空间中修正速度。

Broquere等提出的方法[6,7]是基于在工作空间中设定轨迹的数据，我们提出的方法也包括这个问题。但Broquere考虑速度和加加速度计算了一个最优的轨迹，而我们提出的这个方法是在每个设定的期望路径的关节点用几何相切来得到的，末端执行器沿着期望的几何切向运动。

宽轨迹规划和在这些课题上的一些假设可以找到[8,9]。

在目前的研究中，只连续地控制运动被用来实现运动轨迹的平滑，基于末端执行器的实际路径几何数据，设定机器人末端执行器的速度和位置来控制它们。

传统的运动规划方法：点到点规划

在工作空间中的机器人末端执行器的轨迹规划涉及应用机器人关节的相对运动规律。在点到点运动中，执行器必须在规定的时间内从关节变量的起始状态到最终状态。在任何情况下都要记住运动和速度的一定是关于时间的连续函数，这显然是由于机器人的任何一部分可以遵循一个包括不连续的运动或速度的运动定律。由此产生的轨迹由初始位置和最终位置的一个线性段和两个抛物线段连接组成，如图1所示。

图1 点到点运动

控制系统用设定的可达位置来生成参考的轨迹，满足相应轨迹的速度和加速度来实现相应的速度。一般地，全部轨迹的时间是一定的。

独立的时间间隔tc，（tf-tc）-tc和tf-（tf-tc）可以被独立地选择，它们的总和等于全部的运动持续时间，满足速度和加速度之间的关系。如果不满足，三个时间可以被相等的时间锁代替，即三分之一的总时间[1,10-12]。

所选择的加速度qc满足以下关系：

|qc|=4|qf-qi|/tf² （1）

轨迹不以一个恒定的速度段为特征，只有加速和减速段。这是一个三角形速度剖面。

对更复杂的应用场合，设定一系列的点来拟合几何路径来保证更好的轨迹控制效果是一个好办法，在避障和大曲率的地方，关节在关节空间的几何轨迹中被设置的更密集。正确的关节空间维度用来根据关节配置来计算。因此，主要的问题就是末端执行器在特定的时间内生成N个特定的以及可以到达的路径点。

有N个约束的各关节变量对应N个可达位置。由此我们可以考虑用N-1次多项式来产生一个参考轨迹给一般关节。然而，这个方式有很多的缺点：

1. 不能分配初始和最终速度。
2. 随着多项式次数的增加，它振动的阶次增加以及这会导致执行器的轨迹不自然。
3. 数值的精确性用来计算一个多项式的阶次的升高和降低。
4. 一旦定义了系统的约束微分方程，问题就很难解决。
5. 多项式系数取决于所有设定的关节：这意味着，如果我们想改变其中一个关节的路径，他们全部会被重新计算。

这些缺点可以解决，如果考虑一个合适的低阶插值多项式，插值点而不是单一地用一个高阶插值多项式。

最明显的选择是对每个关节所定义的路径重复相同的模式（如图1所示）。这导致速度剖面中如图2位置如图3所示。

图2 通过一系列点的速度-时间运动曲线

图3 通过一系列点的位移-时间运动曲线

在上面的图中可以看出，尽管轨迹通过期望的路径点，而速度值在每一点为0。很显然，这将导致末端执行器不连续的运动。

对于这个问题，一个经常被使用的算法通常用来解决相邻速度重叠的问题来让一点和下一点的速度不会减少为0，以此保证轨迹通过点本身。这是判断已经通过的点来生成速度剖面产生的方式来实现的。图4表明了它的产生方式。

图4

通过在（i-1）n个点结束之前预测一个时间间隔内t的第n个点，可以得到一个新的速度。连接两个梯形速度作为结果。这保证了当通过一点到下一点时，可以得到一个有规律的速度模型，且该速度不会减少至0。然而，当实验时，通过路径点如图5所示时会有问题。如果我们想确保执行器可以达到的独立的路径点，我们必须确保在速度曲线相等于要求速度，这个速度必须因此适应速度和加速度。

分配轨迹位置和切向速度的规划

通过在前面段落陈述的，我们可以看出，如果关节被简单地设定到路径中，末端执行器会取决于N个关节的运动。这个情况在图6中得以说明。

图6 起始点到目标点的路径

在图中，有标记的路径表示连续的线，路径有效地在两点之间用来分配路径，这用虚线来表示。

假设末端执行器不止要通过设定的路径点，还要在每个点上。末端执行器的速度必须有路径所期望的几何切向方向。在这种情况下，路径可以有效地遵循，如图6中的虚线所示。路径将不会因此发生显著的变化。

在Di.M.E大学，一个轨迹规划技术已经通过一个更进一步地对关节运动定律约束用于提高轨迹的生成效率。具体地说，除了通过点以外，切向的路径被追踪设定于每个位置。在关节空间，这包括了设定关节所需要的速度。

开发上述轨迹规划技术，通过分配速度矢量qi来给每一个轨迹指向控制系统除关节变量qi以外，每个关节固定于分配的轨迹上。

步骤如下：

1. 在分配末端执行器给定的被执行轨迹，一系列的点被确定在轨迹上。它应该被注意到到最大数量的点取决于末端执行器的速度和控制系统采样频率的最大值。
2. 对于这些点，所有关节瞬时的位置值可以计算出来，而且逆运动学问题也能被解决。
3. 由于速度向量V是分配到每个轨迹点在大小和轨迹的切线方向，每个轨迹点上关节速度的值可以用正向运动学中的雅可比矩阵很简单的计算出来。

因此获得了送至控制系统的每个机械臂关节的位置和速度值。通过这种方法，每个伺服电动机会跟随一系列的运动，通过即时运动，让末端执行器通过轨迹上的每个点，为其分配相应的速度大小和切线方向。

上文中提到的方法，可以叫做切向速度规划方法，实际上，不仅在连续的两点之间进行多项式插值，还在它的一阶导数函数上进行插值，必须满足每个关节的值被设定在轨迹规划时被设定。

用这种方法的末端执行器会离开每个点，而且会沿着路径的切线方向达到下一个点。

3.1切向轨迹规划方法的关节运动定律

参考点的参数作为独立的关节输入，在这种情况下：

1. 关节变量q的位置必须可以达到，通过独立的执行器关节来描述期望的在工作空间中的轨迹。这些问题可以求出决定末端执行器关节独立位置的正向运动学和逆向运动学，以此得到选择关节在工作空间中的几何轨迹。
2. 通过上述关节变量q的速度，这些关节速度来自于速度在工作空间中大小和方向上的表达，决定执行器的雅可比，可以用于决定速度和末端执行器之间的联系，以及对应执行器关节的速度。
3. 上述运动的时间间隔依靠在工作空间中特定的末端执行器速度时间定律。

为了在工作空间中生成从一点到下一点的速度值，我们决定将相应的时间间隔划分成三等分。因此，用时间间隔t来跟随点p（i-1），相应的时间为t（i-1），到一点pi，相应的时间为ti，每个时间间隔为t/3。特别地，第一和第三阶段的时间间隔机械臂倾向于根据从p（i-1）到pi的速度来设定加速或减速。根据不同的速度要求。第二阶段的时间间隔需要保证在速度曲线下与距离相联系，图7说明了上述的速度情况。

图7 三段速度描述

用图7的速度描述，用图8的时间描述可以得到位置描述：

图8 时间“三段”速度剖面法

具体地，下面的方法可以采用：

为了以不同的速度值从一个点到另一个点，速度在第二阶段应该增加或减少，这保证了距离和要求的距离明显地在时间上得到规划。

第二部分的速度是通过计算距离和初始速度、最终的速度和操作时间得到的，这个问题决定了在速度曲线下的距离区域是：

（2）

这里的S代表位移，ti代表最初的瞬间轨迹，tf代表最终的瞬间轨迹，vrsquo;rsquo;代表速度的中心部分，vi代表在ti时刻达到的初始点的速度，vf代表在tf时刻达到的最终点的速度。

第二阶段可以达到的速度可以由公式得到：

（3）

应该注意到的是，没有进一步的规范，现有的算法和本文提出的方法均不能保证执行器和机械结构承受加速度值在最大限制时的情况。这可以在图9中看出。

图9 通过一系列点运动的三段式速度

图9显示了从最初点p0（对应起始时间t0）到中间点p1（对应中间时刻t1），在到达最终点p2（对应最终时刻t2）的一条连续速度曲线。

我们可以清楚地看到这个速度曲线是连续的，且操作臂将不会受到不平滑运动的影响反而会表现出一个更平滑的运动。对应的速度曲线可以通过结合上述曲线得到，抛物线/线性拟合的结果没有运动不连续（如图10所示）。

图10 一系列点关于三次速度的位置曲线

通过这种方法，P1到P2的路径（对应时刻t1到t2）可以以速度V1和V2达到，从而得到一个不一样的逆运动学结果。在速度曲线下的区域和最末运动的距离是等价的。如果我们想提出一个更大的距离并维持相同的时间和速度，得到的速度曲线将如图11所示。

图11 一系列点运动的三次速度曲线

正如上文所述，如果在第二阶段速度为每个时间间隔增加，可以得到一个更大的距离。显然，此时加速度不同于上面的例子，更一般地，一些加速度会比以前得到的更高。

3.2分析三次曲线的发展

正如前面提到的速度曲线，由一个恒定的和两个线性的部分组成。因此，在第一次时间间隔，决定速度的方程是：

（4）

这里的加速度a1是用下面公式计算得到的：

（5）

这里的第二阶段速度V*是用下面的公式计算得到的：

（6）

速度V*描述了持续时间（tf-ti）/3间隔内的速度。

最后，第三阶段会被一段线性的曲线V=a2·t决定，这里的加速度a2值为：

（7）

显然 ，第一阶段在时间间隔（tf-ti）/3内加速度会有值a1，第二阶段在时间间隔（tf-ti）/3内会有一个零值，最后一个阶段在时间间隔（tf-ti）/3内会有一个加速度值a2。

直到独立关节中决定位置的时间被考虑，强调它们第一和第三阶段在时间间隔（tf-ti）/3内是抛物线形式，而第二阶段是线性的。可以从以下推导中解释：

1. 第一阶段抛物线部分

S=atimes;t² btimes;t c

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