第3章 H∞带缺失测量值的滤波以及随机变化的传感器延迟外文翻译资料

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第3章Hinfin;带缺失测量值的滤波以及随机变化的传感器延迟

在这一章，研究了一类非线性离散时间随机系统的Hinfin;滤波问题，该系统具有测量丢失和随机变化的传感器延迟。首先考虑了存在测量缺失时的非线性Hinfin;滤波问题，在零初始条件下，设计了一个非常通用的滤波器，使得滤波过程是随机稳定的，滤波误差满足所有允许的缺失观测和非零外部干扰的Hinfin;性能约束。利用Hji不等式描述了期望滤波器的存在条件。这种不等式可以分解成一些辅助不等式，这些辅助不等式可以采用李雅普诺夫函数的特殊形式独立求解。因此，为了便于实际应用，讨论了线性时不变滤波器的设计问题，并得到了一些简化条件此外，利用相似的分析技术，研究了一类具有随机变化的传感器时滞的非线性离散随机系统的Hinfin;滤波问题，得到了一组并行结果。最后，通过数值模拟实例说明了本章的主要研究成果。

3.1问题制定

考虑以下具有缺失测量值的非线性离散时间随机系统：

其中xkisin;rn是状态向量，zkisin;rm是要估计的状态组合，wk是概率空间（Omega;，F，prob）上的一维零均值高斯白噪声序列，ewk2=theta;2，vk是属于l2（[0，infin;），rq）的外生干扰输入。

非线性函数fntimes;1，gntimes;q，hntimes;1，sntimes;q，lrtimes;1，krtimes;q和mmtimes;1是光滑矩阵值函数与fntimes;1（0）=0，hntimes;1（0）=0，lrtimes;1（0）=0，和mmtimes;1（0）=0。Ykisin;是测量的输出向量与缺失数据的概率。描述测量缺失现象的随机变量rkisin;R取1和0

在beta;isin;[0，1 ]是一个已知的常数。假设Rk独立于高斯白噪声序列Wk工作，并且初始值x0是一个已知的矢量。

我们开始用下面的通用设计滤波器对系统（3.1）：

其中k是状态估计，k是z k的估计，、、和，是矩阵的维度与适当的应用光滑处理，都是确定的滤波参数。

假设 eta;k = , 我们可以得到增广系统如下：

使得

这类增广系统的形式明显不同从那些在文献[如181 ]。利用增广系统（3.4）和（3.5），可以更方便地说明需要研究的问题并得出我们的主要结果。另外，（3.4）由于w_k和r_k的存在，本质上是一个随机系统，我们需要引入随机稳定性的概念。以下定义被认为是[77]中定义的离散时间版本。定义3.1如果对于任何εgt;0，存在delta;gt;0，则V_k=0的增广系统（3.4）的解eta;k=0被认为是随机稳定的，从而

不论何时都有 k isin; I 和 eta;0 lt; delta;。

3.2主要成果

我们现在可以将非线性随机Hinfin;滤波问题描述为如下。我们有兴趣在（3.3）中找到滤波器增益矩阵（_k）、（_k）和（_k），以便同时满足以下要求：

(a) V_k=0的增广系统（3.4）的零解是随机稳定的。

(b) 在零初始条件下，滤波误差_k满足:

对于所有非零vk，其中gamma;gt;0是给定的干扰衰减水平。

本文将在下一节中讨论非线性随机Hinfin;滤波问题，并将所得结果专门用于几种特殊情况，以便于实际应用。

让我们首先介绍一个引理，它将用于证明我们的主要结果。

引理3.1 假设存在李雅普诺夫函数v（eta;）isin;c2（r2n）和a函数a（r）isin;CK满足以下条件：

则系统（3.4）V_k=0的解eta;_k=0是随机稳定的。

首先证明，我们注意到v（0）=0和v（eta;）是连续的。因此，对于任何εgt;0，存在一个标量delta;gt;0，使得eta;0lt;delta;→v（eta;0）lt;a（ε）。

我们认为，对于所有kgt;0的溶液，eta;_k与lt;delta;均表示lt;ε。现在让我们用矛盾来证明我们的主张。假设对于满足lt;delta;的溶液eta;k，存在一个k1isin;，因此ge;ε。通过Jensen不等式，我们得到。然后从（3.8c）可以很容易地得出：和,这是一个矛盾。因此，从定义3.1可以很容易地看出，Vk=0的增广系统（3.4）的解eta;k=0是随机稳定的。证据是完整的。

3 Hinfin;滤波，有缺失的测量值和随机变化的传感器

以下定理提供了在零初始条件下，v_k=0的增广系统（3.4）是随机稳定的，且所有非零v_k的滤波误差_k满足（3.7）的充分条件。

定理3.1 给出干扰衰减水平gamma;gt;0。假设存在一个李亚普诺夫函数V（eta;）isin;C2（R2n），满足任意eta;，eta;_alpha;isin;R²ⁿ的下列不等式：

可得

对于一些适当尺寸的矩阵、和。然后用（3.3）求解系统（3.1）的随机Hinfin;滤波问题。

证明V_（eta;）isin;C²（R²ⁿ）是一个李雅普诺夫函数满足（3.9），李雅普诺夫函数的差定义为

首先，让我们证明在零初始条件下，增广系统（3.4）满足所有非零外部扰动的Hinfin;鲁棒性性能约束。根据泰勒公式，存在一个alpha;_kisin;[0，1]这样的

为简单起见，我们表示eta;_alpha;k：=eta;_k alpha;_k（eta;_k 1minus;eta;_k），然后它由下式得出：

E_wk = 0, E_wk² = theta;²和式

通过一系列的计算并注意到Er_k=Er_k²=beta;，我们可以得出（3.15）等于

可以得到=A^-1((eta;_k,eta;_alpha;k)B^T(eta;_k,eta;_alpha;k)因此，它可以被看作

从（3.9）可以看出

即

考虑到E{V (eta;_{N 1})} ge; 0, V (0) = 0和让N→ infin;，我们获得

这意味着满足了所需的Hinfin;性能要求。接下来，我们证明了vk=0的增广系统（3.4）是随机稳定的。这并不难看到（3.9）表明

再次利用泰勒公式，我们得到

然后，从引理3.1可以很容易地看出，v_k=0的增广系统（3.4）是随机稳定的，定理3.1的证明是完整的。

从定理3.1的证明可以看出，我们只使用了泰勒展开法和“完成平方”技术，这不会导致太多的保守主义。注意定理3.1的条件依赖于概率beta;。因此，识别概率beta;的可能保守性对整体结果有重要影响。鉴于此，应尽可能准确地获得确定的概率beta;。

定理3.1给出了一个非常一般的条件，可以保证滤波过程的Hinfin;性能和随机稳定性。为了逐渐降低验证这种条件的难度，我们将引入一些推论，这些推论通过选择不同形式的Lyapunov泛函来提供简化的条件。为此，我们需要以下假设，这在有关随机稳定性的文献中经常用到[100]。

假设3.1 V⁽¹⁾(x) isin; C²(Rⁿ)和V⁽²⁾()isin; C²(Rⁿ)是满足

某些正标度c1和c2的两个Lyapunov泛函。

注意，定理3.1中给出的期望滤波器的存在条件是用二阶非线性不等式描述。我们首先展示了一个看似复杂的不等式可以分解为两个辅助不等式可以采用一种特殊形式的李亚普诺夫函数独立求解。为此，我们将Lyapunov函数V (eta;) 取为V (eta;) = V ⁽¹⁾(x) V ⁽²⁾(), 式中 V ⁽¹⁾(x) isin; C²(Rⁿ) 和V ⁽²⁾ ()isin; C²(Rⁿ) 满足假设3.1，从定理3.1可以得到以下推论。

推论3.1 给出干扰衰减水平gamma;gt;0和滤波器参数、和。假设存在两个Lyapunov函数V ⁽¹⁾(x) isin; C²(Rⁿ) (V ⁽¹⁾(0) = 0) 和V ⁽²⁾()isin; C²(Rⁿ) (V⁽²⁾(0) = 0) 满足假设3.1，以及任何x，，x_alpha;，_alpha;isin;Rⁿ的两个不等式：

使得

然后用（3.3）求解系统（3.1）的随机Hinfin;滤波问题。

由定理3.1证明，我们只需要设置v（eta;）=v^（1）（x） v^（2）（x），其中eta; =[x^{T T} ]^T由（3.24）可知V (eta;) ge; min(c1,c2) ‖eta;‖²isin; CK。此外，自（3.9）–（3.12）定理3.1立即减少到（3.25）–（3.27）。因此，推论3.1的证明直接来自定理3.1，因此被省略。

在给出下一个推论之前，我们引入一个引理此后使用。

引理3.2 设xisin;Rⁿ，yisin;Rⁿ，且εgt;0。然后我们有2x^Tyle;εx^Tx ε^minus;1y^Ty。在标准假设k^T（x）k（x）I（参见，例如[72]）下，推论3.1的条件可进一步解耦为四个可独立求解的不等式。

推论3.2 给出干扰衰减水平gamma;gt;0和滤波器参数、和。系统（3.1）的随机Hinfin;滤波问题，当存在两个正常数mu;₁，mu;₂和两个Lyapunov泛函V^（1）（x）isin;C²（Rⁿ）（V^（1）（0）=0）和V^（2）（）isin;C²（rn）（V^（2）（0）=0）时，用（3.3）解，并满足以下条件：

由（3.24）可知，V（eta;）ge;min（c₁，c₂）‖eta;‖²isin;CK。现在，利用初等不等式‖a b‖²le;2（‖a‖² ‖b‖²），我们可以得到

考虑到（3.28）和（3.29），由（3.27）得出：

通过引理3.2我们得到

和

很明显，从（3.28）和（3.32）-（3.35）可以看出

其余的证据直接来自第3.1条

在下面的内容中，我们采用一种更特殊的李亚普诺夫函数形式，来推导随机Hinfin;滤波问题可解的更简化条件。现在让我们考虑V（eta;）设为V（eta;）=x^TPx ^T Q的情况，我们有以下推论。

推论3.3 给出干扰衰减水平gamma;gt;0和滤波器参数、和。系统（3.1）的随机H_infin;滤波问题，当存在两个正定矩阵P=P^Tgt;0，Q=Q^Tgt;0时，满足任意x,isin;Rⁿ条件，则用（3.3）求解：

和

使得

（3.39）

验证集V^（1）（x）=x^TPx和V^（2）（）=^TQ。显然，

式中：eta;=[x ^{T T}]^T。另一方面，考虑到^T（x）=2x ^T P，^T（x）=2^TQ，（x）=2P，（）=2Q，很容易验证（3.37）、（3.38）和（3.39）分别可从（3.25）、（3.26）和（3.27）获得。因此，从推论3.1可以很容易地得到推论3.3的证明。

同样，当V（eta;）=x^T-Px ^T-Q时，我们得到推论3.2的以下推论。

推论3.4 给出干扰衰减水平gamma;gt;0和滤波器参数、和。假设存在两个正定常数mu;1、mu;2和两个正定矩阵P=P^Tgt;0和Q=Q ^Tgt;0，满足任意x，isin;Rⁿ的以下不等式：

然后，系统（3.1）的随机Hinfin;滤波问题可以用（3.3）求解。经过冗长的计算，我们可以从推论3.2的证明中得到

因此，这一推论的证明紧跟着推论3.3的证明。

注意，我们在定理3.1，推论3.1–3.4中得到了一系列的分析结果。基于滤波器结构是非线性的假设，这些分析结果为滤波过程的随机稳定和滤波误差满足Hinfin;性能约束的所有允许的缺失观测和零下的非零外生扰动提供了充分的条件。然而，在实践中，人们对线性时不变更感兴趣容易实现的过滤器，因此下一节的目标是专门研究非线性系统的滤波问题，但有线性滤波

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