使用动态规划的机器人操纵器的最佳轨迹规划的联合选择标准外文翻译资料

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使用动态规划的机器人操纵器的最佳轨迹规划的联合选择标准

Zeeshan Shareef^* Ansgar Trauml;chtler^*

（帕德博恩大学Heinz Nixdorf研究所，Fuuml;rstenallee11，33102帕德博恩，德国）

摘要：本文提出了优化轨迹规划的联合选择标准使用沿着受扭矩和速度的指定几何路径的动态规划约束。通常考虑单个非静止关节用于优化目的。在多于一个非静止关节的情况，通过随机选择任何关节的优化可能会导致非最优解。这个问题突显了所提出的联合选择的重要性。基于几何路径信息的新颖联合选择标准用于处理具有多于一个非静止关节的这种情况。不同于现有的通过分别考虑每个关节来解决优化问题的方法，所提出的标准节省了计算时间，努力，因此没有必要多次解决关于每个非静态关节的优化问题而获得最优解。所提出的准则可以用于优化给定路径通过延误时间，能量消耗或任何其他任意形式的成本函数。建议选择的标准性已经在并行DELTA机器人上得到了测试。得到的结果被用来与其他技术得到的结果相比较，这些结果确认了提出的方案的通用性。

关键词：动态规划，优化轨迹，路径规划，标准函数，多目标优化，机器人操纵器，工业机器人

1. 介绍

机器人技术的最佳轨迹规划在最近得到了很多的关注，因为它的广泛使用不仅在工业应用中，而且在日常生活中。 一个工业机器人的最佳运动是成功的关键,因为它可以帮助提高生产率，降低生产成本和能耗。由于机器人中的非线性和耦合动力学，机器人技术的优化变得更加困难。

对于易操纵性，机器人操纵器的最佳轨迹分为三个阶段。 第一阶段是路径规划。 已经做了大量的工作路径规划，Latombe [1991]。 路径规划中的重要问题包括碰撞避免和得到平滑的路径。 第二阶段是轨迹从给定的几何路径信息进行规划。 在第二阶段，每个关节的位置和速度在约束内作为时间的函数计算关节扭矩和角速度。 第三阶段是轨迹跟踪。 这个阶段负责跟踪机器人的已经在在第二阶段计算过的参考位置和速度。 在本文中主要关注的是约束下的轨迹规划。

Bobrow等人[1985]和Shin等人 [1985]开发了类似的方法来计算最优轨迹用于给定指定路径的机器人操纵器。他们的方法使用相平面图获得最优解，他们通过路径参数将动力学方程转换成一组二阶微分方程来使问题的维度降低，从这里开始被定义为s。有时，（s，s）的相平面图被称为速度极限曲线（VLC）或开关曲线。在他们的方法中，致动器转矩的边界被转化为沿着路径的加速度边界。它是一种间接方法，后来被Rajan [1985]，Pfeiffer 等人 [1987]，Slotine等人1989]，Shiller等人[1992]Tarkiainen等人 [1993]改进。他们的方法得到的最优解方案基本上是一个bangbang控制因为致动器之一总是饱和的。它不仅适用于刚性操纵器，而且可以基于刚性操纵器为电缆生成时间最优解，正如Behzadipour等人所讨论的 [2006]。然而，这个办法存在一些问题。首先，它只能解决时间最小化的问题。第二个问题是关节扭矩可以即时改变，这对于真实的应用程序是不切实际的。

对于机器人操纵器遇障的情况，Shiller等人 [1991]提出了一种解决方案来计算时间寻找最优轨迹。 他们建议的方法第一步是使用分支绑定搜索和一系列下限估计来寻找一种较近的最优轨迹。最后，通过局部路径优化获得全局最优解。 他们通过在局部优化中添加了惩罚函数到运动时间来获得障碍回避。

一种新的方法来解决时间最优轨迹规划由Verscheure等人[2008]提出。 在这里的得到时间最优轨迹的方法是通过计算使用凸优化。 时间最优轨迹问题通过一种非线性变化， 时间最优轨迹问题被转换为凸优化。 二阶锥程序使用鲁棒的数值算法来计算时间最优问题的全局最优解。 这个方法的关键方面是易于实现和灵活性。 这种方法不仅限于时间优化轨迹规划，也可以优化任何任意成本函数。

动态规划是一种非常有用的优化技术，这可以解决高度非线性、强约束下复杂的系统（Bellman[1957]）的优化的问题。 第一次，Vukobratovicet等人 [1982]提出了动态规划算法来给定路径的机器人操纵器的能量最优轨迹。 Shin等人 [1986]提议动态规划算法求解最优根据路径参数s的轨迹规划。 首先通过使用路径规划机器人的动力学被转换为二阶微分方程。最佳伪速度s被计算出是通过使用动态规划计算（DP）以获得约束下的给定成本的最优解函数得到的。 这个方法的主要优点是维数的减少，因为机器人的动力学被路径参数s来表示。

Singh等人[1987]提出了另一种动态规划算法的优化轨迹规划。 并不是通过路径参数来降低问题的维度，优化问题通过考虑机器人上的单个非固定关节得到解决。通过动态规划，这个问题被简化为搜索一个移动的操纵器链接的速度。对其他关节的约束，无论是静止的还是非静态的，在动态内被考虑到编程算法循环里。 这个算法没有提出在多于一个的情况下的联合选择标准非固定关节得到全局最优解。

通过基于逆动态的动态规划（DP）的方法来优化机器人操纵器的轨迹规划由Yen [1995]提出。 这种基于逆动态的DP提供了优于常规DP的一些优点方法，即，它消除了内插要求，并且运动方程积分的要求也被避免了。 Field等人[1996]提出了一个迭代动态规划方法得到最小能量轨迹规划。 在这个修改的动态规划方法中，一系列动态规划遍布在小的可重构网格的大小中。 这种方法有着避免不良局部最小值和诅咒的维度等优点，并提供平行结构来减少计算时间。 除了这些修改在标准DP算法中为最优轨迹规划，Singh等人[1987]提出的DP算法中联合选择的，没有被定义，这也大量导致了本地收敛。

在本文中，我们提出了基于联合选择标准的启发，对于多于一个非平稳的关节的情况，去实现由Singh等人[1987]提出的动态规划算法。与现有的通过单独考虑每个非静止关节来解决优化问题的方法对比，，被提出的标准通过针对每个非平稳联合获得全局最优解来多次解决优化问题节省了时间和需要。联合选择可以容易地从预定路径做出，无论是从联合空间还是笛卡尔空间中给出的信息。本文接下来的部分概述如下。第2节给出了详细的问题描述。在第3节，由Singh等人[1987]提出的动态编程算法被讨论了，而且标准的重要性也被解释了。联合选择标准在第4节中被讨论。第5节介绍了几个基于对并行DELTA机器人的优化轨迹规划和不同技术的优化结果的比较细节的示例。第6节给出了从我们的结果中得到的结论。

1. 最优轨迹规划的问题制定

具有n自由度（DOF）的机器人动力学运动关节角q =（q1，q2，...，qn）isin;Rn,可以被所施加的关节扭矩的术语表示tau;=（tau;1，tau;2，...，tau;n）Tau;isin;Rn在（1）中。

（1）

在（1）中，M（q）isin;Rntimes;n是正定质量矩阵，C（q，）isin;Rntimes;n是离心和科里奥利系数矩阵，G（q）是重力矢量，tau;是可实现扭矩的集合，可以表示为关节速度和关节位置。

（2）

在最优轨迹规划中，路径是预定义的,无论是在联合空间（q）或笛卡尔空间（p）中。 笛卡尔空间（p）中给定的路径使用逆运动学可以转换为联合空间。

（3）

动态规划的初始条件和最终条件可以从给定的路径信息中轻松找到。这些终端条件在（4）和（5）中显示出来了。 从角接头上给定的初始和最终条件，显然操纵器必须是静止在起点和终点并且速度必须为零。 这些是等式约束或终端条件的优化问题。

， （4）

， （5）

在最优轨迹规划中，主要目标是在给定的约束内优化成本函数。机器人操纵器的最重要的约束轨迹规划描述了执行器的限制力/扭矩。 一些附加的约束也可以施加在联合速度上。 致动器上的力/扭矩和关节速度的约束在（7）和（6）被分别给出。 致动器的关节速度和扭矩的上限和下限可以从执行器的数据表中找到。

i=1,2,...,n （6）

i=1,2,...,n （7）

在关节加速度上也可以施加附加约束。 在任何优化中，最重要的项是必须优化的成本函数J. 一般，最常用的目标函数是时间最优性。这个时间最优目标函数可以结合其他标准，如能量最小化，燃料最小化或任何其他任意成本函数。这就是动态规划的灵活性，更多的一般目标函数能够被定义。 一般化成本函数如（8）所示。 在（8）中k是权重因子。如果k= 0，则（8）将是能量最小化问题并且如果k=1，则该成本函数将呈现时间最小化问题。

（8）

在成本函数中，最终时间（tf）可以是固定的或可以随问题而变化。 例如，最后时间不能被固定在时间优化问题被考虑的情况下。 机器人的结构和动力学操纵器类似于一般的最优轨迹问题，它由系统动力学，终端条件和不等式约束组成。

1. 使用动态编程进行最佳交通规划

如前所述，动态规划是非常有用的工具去解决在强约束下的优化问题，对于任意目标函数来说。 使用动态规划可以很容易地解决最佳轨迹规划问题。 动态规划的第一步是离散给定的问题。使用数字计算机解决这个离散化的问题是很有必要的。 让我们假设，笛卡儿坐标（p）或在联合空间（q）中给定的路径空间以Np离散化。 连续动力学方程和终端条件，在第2节中讨论的，在（9）-（12）中被给出以离散的形式。

(9)

(10)

, (11)

, (12)

通常，对于给定路径使用动态规划获得机器人操纵器的最佳轨迹，每个关节的位置（q）和速度（）被暗示搜索。 在n-DOF机器人操纵器的情况下，动态规划算法必须搜索超过2n变量。 因为路径的信息已经给出作为先验信息，问题的维度被减少以搜索单个变量，即关节速度。关节速度的允许范围离散为Nv段。 因此，算法将搜索所有值的关节速度（（j），j = 1,2，...，Nv）去优化成本函数对于给定的路径。

(13)

为了进行最优解，首先是非平稳的关节被选作参考。 在这个脚本中，i*被作为非固定关节的参考指数即qi*和k，因为沿给定路径的离散点的指数被离散化为N p个段，即k = 1,2，...，Np。考虑从点k到k 1和的路径移动我们要优化这个细分。 假设给定路径的离散化非常精细（即Np的值大），行驶距离会变小并且加速，M（q），C（q，）和G（q）没有显着改变单个间隔。 对于可能的速度（）k和允许速度（），在点（k 1）可以使用（14）来计算点k处的关节加速度。

(14)

时间是需要从点k行进到k 1的，并且是在关节速度由（15）给出的情况下。

(15)

所有其他关节也必须在相同时间内覆盖点k到k 1的距离。 其他关节的速度通过使用（16）来被计算，即在相同时间间隔内覆盖这片距离的速度。

(16)

如果任何关节的速度m(jk），[m = 1,2,...,n,mi*：]不在关节速度区间，参考非固定关节（）的速度不予受理，不予考虑进一步计算。如果所有关节都满足速度约束，使用（14）能计算所有其他关节的加速度。 一旦我们有所有关节的位移，速度和加速度的值，从点k行进到k 1所需的关节扭矩便可以使用（9）来计算。 在计算所有关节扭矩后，检查第二不等式约束（7）。 如果有任何关节转矩不满足不等式转矩约束，也就是不被接受。

满足所有约束后的下一步是计算要增量性能指标从点k移动到k 1。Phi;（，k）表示以关节速度从点k移动到k 1的费用。Bellman的最优性原理被用于计算最小性能指数（Bellman [1957]）。

（17）

方程（17）在点k搜索所有允许的离散值速度。 因此，关节i在点k的每个容许速度给出了相同关节在点k 1处的唯一的

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