1/π的Ramanujan级数：综述外文翻译资料

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为了纪念V. Ramaswamy Aiyer， 1907年印度数学学会的创始人

当我们停下来思考Ramanujan的生活时，我们看到，有些事件似乎是必需做的，以便把Ramanujan的数学带给子孙后代。其中一个是V. Ramaswamy Aiyer在1907年4月4 日成立了印度数学学会，因为如果他没有成立了印度数学学会，那么下一个重要的事件，即1910年Ramaswamy Aiyer与Ramanujan在他的办公室会面也不会发生。 Ramaswamy Aiyer不仅认识到Ramanujan随身携带的一本笔记本的内容的数学原创性，而且他也联系其他人的，比如R. Ramachandra Rao，让别人来支持和欣赏Ramanujan的数学。近一个世纪以来，因Ramanujan的发现而繁荣起来的大型数学团体都得益于V. Ramaswamy Aiyer。

1.开始. Ramanujan在他到达英国后发表的第一篇论文[57]， [58，p. 36]的第13节的开始部分写道 “我将给一些1/ pi;的级数来结束这篇论文 ”（ 事实上，Ramanujan在几页后以另一个主题结束了他的论文：椭圆周长的公式和近似)。在概述了他的想法之后(我们在第3节和第9节中详细讨论这些想法)，Ramanujan给出了1/pi;的三个级数表示。按照惯例，定义

令

定理 1.1 如果是由（1.1）定义，则

前两个公式， (1 .2)和 (1 .3)，出现在Walt Disney电影《高中音乐剧》 中， 由Vanessa Anne Hudgens主演，她饰演一个非常聪明的高中生Gabriella Montez。Gabriella向她的老师指出，她把(1.3)的左边错写成了16/ pi;， 正确的应该是8/ pi;。在Gabriella指出老师的错误后，她的老师检查了一下(可能是Ramanujan的论文集)并承认Gabriella是正确的。公式（ 1.2)被正确地记录在黑板上。在给出上述1/ pi;的三个公式后，在论文[57]，[58，p. 37]第14节的开始部分写道“有相应的理论认为q被其中一个或其他函数所取代”：

其中r=3、4或6，其中2F1表示其中一个超几何函数，其定义

Ramanujan后来给出了14个1/pi;的级数表示，其中，有10个属于四次理论,即；2个属于三次理论，即；2个属于6次理论，即。Ramanujan在他发表的论文中从来没有回到“相应的理论” ，但在他的第二个笔记本[59]中有六页致力于发展这些理论，这六页的所有结果在Berndt，S. Bhargava和F. G. Garvan的论文[16]中得到了证明。这就是经典的超几何函数在经典的椭圆函数理论中，可以被上述三个超几何函数之一所取代，伴随而来的理论是Ramanujan留给我们的许多令人难以置信的巧妙和有用的想法之一。这些理论的发展绝非易事，是当代研究的一个活跃领域。

所有1/ pi;的17个系列都是在Ramanujan到达英国之前在印度发现的，因为它们可以在他的笔记本[59]中找到，这是在Ramanujan前往英国之前写的。特别是(1.2), (1.3)和(1.4)可以在他的第二个笔记本的第355页中找到，其余的14个级数可以在他的第三个笔记本中找到[59，p. 378]；参见[14，pp. 352 –354]. 有趣的是， (1.2), (1.3)和(1 .4)也出现在Ramanujan丢失的笔记本的一个页上，参见文献[3]的第15章。

2.追随Ramanujan的脚步的主要研究人员 在[57]出版14年后，第一位研究Ramanujan公式的数学家是Sarvadaman Chowla [37]，[38]， [39，p. 87–91, 116–119], 他给出了1/ pi;的一般级数表示的第一个已发表的证明，并使用它来推导出 Ramanujan级数的为1/ pi; (1.2) [57 Eq.(28)]。我们将在第4节中简要讨论Chowla的想法。

Ramanujan的级数后来被数学界遗忘，直到1985年11月，当R. William Gosper, Jr.使用了Ramanujan的一个级数，即，

计算 pi;的17526100位，这在当时的世界纪录。他的计算有一个问题，(2.1)还没有被证明。然而，将Gosper计算的pi;数字与之前Y. Kanada保持的世界纪录使(2.1)极有可能是正确的。

1987年，Jonathan和Peter Borwein[23]成功地证明了Ramanujan的 所有17个1/ pi;级数公式。在随后的一系列论文[24]， [25]， [29]中，他们为1/ pi;建立了几个新的级数。

与此同时，David和Gregory Chudnovsky [40]也推导出了1/ pi;的级数表示，特别是使用了他们的级数

计算出 pi;的2260331336位的世界纪录。该级数（2.2）每项产生14位数字的pi;。关于Chudnovskys计算的描述可以在《纽约客》[56]写的一篇论文中找到。

本文的第三位作者和他的合著者(Berndt, S. H. Chan, A. Gee, W.-C. Liaw, Z.-G. Liu, V. Tan, and H. Verrill在一系列论文中， [19]， [31]， [33]， [34]， [36]扩展了Borweins的思想，特别是没有使用[31]和[36]中的Clausen公式，并推导了1/pi;的一般超几何公式。在我们调查的第8部分，我们讨论了他们的一些结果。

受到第三作者的工作和建议，前两位作者[9]， [7]系统地回到Ramanujan的发展上[57]和使用他的想法不仅为了证明大部分的Ramanujan的原始表示1/ pi;也建立大量的新这样的等式。在另一篇论文中[8]，受Jesus Guillera的论文[48]- [53]的启发，他通过实验和严格地发现了许多关于1/pi;和的新级数，前两位作者继续遵循Ramanujan的想法，并给出了的级数表示.在接下来的研究中，我们在第3、6、7、8和9节中描述了主要思想，其中分别讨论了Ramanujan、Borwein兄弟、Chudnovsky兄弟、Chan和他的合著者以及本文作者的思想。

3. Ramanujan的想法 为了描述Ramanujan的思想，我们需要从经典的椭圆函数理论中的几个定义，事实上，我们在本文中都使用了这些定义。第一类完全椭圆积分定义为由

（3.1）

当k，0＜k＜1表示模量。第二类完全椭圆积分的定义是由

（3.2）

如果q=exp(minus; pi;K/K)，那么椭圆函数理论中的一个中心定理断言[13，p. 101]

(3.3)

在Ramanujan符号中的ϕ(q)(或thetasym;3 (q)在经典符号中)表示经典theta函数

(3.4)

请注意，在符号中(1.5), q = q2和x=k2。(3.3）中的第二个相等式遵循将被积函数在二项级数中展开和逐积分。相反地，把k看作q的函数也是有价值的，所 以我们写出k=k(q)。

设K、K、L、Lrsquo;分别表示与模k、krsquo;、l和lrsquo;相关联的第一类完全椭圆积分。假设，对于某个正整数n，

(3.5)

n次的模方程是一个包含k的方程，它由(3.5）导出.模化方程总是代数方程。 一个7次模方程的例子可以在后面的(9.18）中找到.或者，通过(3.3), (3.5)可以用超几何函数来表示。 我们经常说它有n度超过k。模方程的导数最终依赖于(3 .3).如果我们设置为K/K=因此，然后是对应的值k，它记为被称为奇异模量。乘数m=m(q)的定义为

我们在这里注意到，通过(3.3), (3.6)，和[13. p. 98]，m(q)和k2 (q)可以用

和

其中由(3.4)定义且

因此，模方程也可以写成theta函数恒等式

Ramanujan以Clausen公式的一个特殊情况开始了[57]的第13节[23，p. 178],

这可以在他的第二本笔记本[59]中找到，作为第11章的第13条[12，p.58].除了节省符号外，我们现在引用Ramanujan的语句“因此，我们有

其中

对(3.8)式两遍去对数求导得

由上面公式得

其中A (k)是某种类型的代数数，当q=e minus; pi; n，n为一个有理数， 可以把(3.10)的左边表示成如下形式

其中A和B是可用曲面表示的代数数。组合（ 3.7)和(3.10)可以消除这个术语 (2K/ pi;)2，我们只剩下一个关于1/ pi;的级数。然后，他给出了这三个例子(1.2)– (1.4).

Ramanujan的想法将在第9节中有更详细的描述。然而，在结束本节时，我们注 意到的左边的系列（3.10)和(3.11)是Ramanujan的Eisenstein级数P (q2)，带问在后一种情况下，其中

＜1 （3.12）

Ramanujan的推导(3 .11)首先来自于P (q)的变换公式，这反过来Dedekind-函 数的变换公式的一个简单的结果，在(9.11）中给出)下面。衍生过程中的第二种 成分(3.11)是nP (q2n) minus; P (q2)的模k和，其中度n超过k 公式（ 3.8)遵循 了椭圆函数中的一个标准定理，Ramanujan也记录在他的笔记本[59]， [13. p. 124]。

4. SARVADAMAN CHOWA CHOWA的思想存在于经典的椭圆函数理论中，与Borweins几年后使用的理论没有什么不同。我们现在简要描Chowla

的方法[37]， [38] ， [39，pp. 87-91, 116-119].定义

和

(4.2)

Chowla然后写道：“然后我们就知道当kle;1/时，

(4.3)

Chowla没有给出这两个公式的来源，但第二个公式在(4.3)是公式(3.7)的一个特例。第一个公式是库默二次变换的一个特例。Ramanujan也知道这一点。对(4.3)中的每个等式两次求导，Chowla得出结论，如果K/K=n，则

然后，他在上述四个公式中设置n=3和k=sin（ pi;/12 ）来推导，特别是恒等式(1.2)来自上面的第二个公式。

5. R. WILLIAM GOSPER 正如我们在引言中指出的，1985年11月，Gosper在符号和Ramanujan系列中使用了口齿不机(2.1)计算出 pi;的17526100位，当时是一项世界纪录。 (在20世纪80年代和90年代，符号学制作了一个基于lisp的工作站 ，运行一个面向对象的编程环境。不幸的是，这些机器对于大多数客户来说太贵了，该公司在将架构压缩到芯片上之前就破产了)。在Ramanujan发现的17个级数中，这一个收敛得最快，每项给出约8位 pi; 。在Gosper计算的时候， pi;的数字的世界纪录大约是由Kanada计算的1600万位。在被Borwein兄弟后来证明Ramanujan级数(2.1)之前，他们已经证明了两者之一 (2 .1)得到一个pi;的精确公式，或者它与pi;相差超过10倍minus;3000000.因此，通过证明他对pi;的计算与Kanada的计算一致，Gosper有效地完成了Borwein兄弟第一个证明(2.1)。然而，Gosper的主要目标并不是超越Kanada的记录，而是研究他计算出的 pi;的（简单的）连分数展开。

Gosper的世界纪录很短暂，如1986年1月，D. H. Bailey使用四阶模方程产生的算法计算了的pi;29,360,000位。Gosper对 pi;的连分数展开式的计算是因为许多重要的数学常数没有有趣的十进制展开式，但有有趣的连分数展开式。连分数展开式开比十进制展开更有趣这是Chudnovsky兄弟[43]共有的观点。连分数展开式通常可以用来区分一个常数和其他常数，而十进制展开式很可能无法这样做。例如，e的简单连数分数，即，

相反，取一个大的随机数字串e并不能帮助人们识别e。关于的pi;连分数展开式 ，即， 剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

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