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关于f(qz)的Nevanlinna特征及其应用
摘 要
本文中，对零级亚纯函数f和非零常数q，我们研究Nevanlinna特征函数和之间的关系. 结果表明，对下对数密度为1的集合上的所有r，都有. 这个估计在某种意义上是精确的，因为对于任意qisin; C、，及rho;gt;0，存在一个rho;级亚纯函数h，使得当r → infin;时，除一个有限线性测度例外集外，有. 作为应用，我们给出了q-差分方程的零级亚纯解，以及某些类型q-差分多项式的值分布和唯一性.
- 引言
非自控Schrouml;der q-差分方程
. （1）
其中右边关于两个参数都是有理的，在过去的几十年中得到了广泛的研究（参见[1-4]）. Gundersen等人[5] 考虑了（1）中的亚纯解的增长级，给出了类似经典 Malmquist 定理 [6] 的q-差分：如果 q-差分方程（1）存在零级亚纯解,那么（1）可以简化为q-差分Riccati 方程，即 deg f R = 1.
Bergweiler 等人[7]研究了函数方程
（2）
其中c是复数且0 lt; |c| lt; 1， ( j = 0, 1,. . . ,n) ， Q (z) 是有理函数，且. 他们得出结论:(2)中的所有亚纯解都满足. 这意味着(2)的所有亚纯解都是零级增长的.
本文的目的是研究的性质，其中f是零级亚纯函数，且. 我们将证明当r在除一个小例外集外趋于无穷时，Nevanlinna 特征函数满足. 同时将指出该渐近方程在q-差分方程和亚纯函数的唯一性理论中的应用. 我们还将通过具体例子说明零级假设是最精确的.
在下文中，亚纯函数总是指在整个复平面上亚纯. 我们将使用亚纯函数的Nevanlinna值分布理论中的标准符号，例如 T (r, f )、N(r, f )、m(r, f )（参见[8-12]）. 特别地，我们用 S(r, f ) 表示除一个上对数密度集合E外所有的r, S(r, f ) = o(T (r, f )) 的量.类似地，集合E的下对数密度定义为
.
最后，我们用表示满足的除去可能有限线性测度例外集之外的所有r.
标准对数导数引理和 Wiman-Valiron 理论（参见[10]）在微分方程亚纯解的增长和值分布研究中发挥重要作用. 当谈到线性q-差分方程时，Barnett等人[1]和Bergweiler等人[13]分别给出了对数导数引理和与Wiman–Valiron理论类似的对数导数引理. 我们回顾以下定理 [1，定理 1.1]，它在本文中也起着关键作用.
定理A 令 f (z) 为非常量零级亚纯函数，且 q isin; C{0}，则
- 中给出的一个例子表明，定理 A 的断言不能扩展为适用于任何 delta; gt; 0 的严格正序delta;的亚纯函数.
最近，蒋和冯[14]研究了有限级亚纯函数f的特征函数与其平移差分的关系. 他们得出结论 T (r, f (z c)) ~ T (r, f )，其中c是一个非零常数. 一个显然的问题是：对于非常量零级亚纯函数f ，T (r, f (qz)) 和 T (r, f (z)) 的关系是什么？对应这个问题，我们得到以下结果.
定理1. 1 令 f (z) 为非常量零级亚纯函数，且 q isin; C{0}，则在下对数密度为1的集合上，有
（3）
注1 等式（3）意味着
（4）
事实上，在定理1. 1的证明中(4)已被首先证明，然后指出(3)如何从(4)推导出来. 相反从(4)到(3)的内涵可以与定理1. 1的证明类似地得到.
例1. 2 定理1. 1中的零级增长限制一般不能扩展到包括任何严格正的增长限制顺序. 这可以通过取任意亚纯函数h，使得
（5）
其中 rho; gt; 0. 令 q isin; C 且 |q| = 1. 然后运用[7] 中的结论
T (r,h(qz)) = T (|q|r,h(z)) O(1)
因此有
由于|q|rho; = 1，定理1. 1的断言对函数 h 无效. 而对于任何rho; gt; 0，满足(5)的亚纯函数h，在 [15, 66-70] 中已经介绍.
上述关于f (qz)的 Nevanlinna 特征的主定理的证明取决于定理A和以下结果.
定理1. 3 令 f (z) 为非常量零级亚纯函数，且 q isin; C{0}，则在下对数密度为1的集合上，有
（6）
注2 定理1. 3中的零级增长限制本质上是最好的. 这可以通过类似的方式使用满足 N(r,h) = rrho; o(rrho;) 的计数函数进行示例1. 2中的构造. 亚纯函数可以使用 Hadamard 结论构建此类计数函数.
本文的组织结构如下：我们在第二节证明定理1. 1和定理1. 3. 定理1. 1在q-差分方程中的应用将在第3节中给出，我们在第4节和第5节中讨论q-差分多项式在某些类型产品的价值分布和共享价值的应用.
- 证明定理1. 1和定理1. 3
证明定理1. 1 我们从定理1. 1和定理A推导出
同样，我们得到
因此
(7)
令E为与(7)中的误差项S(r, f )相关的正的上对数密度集合. 则E的补集下对数密度1为1. 此外，从 (7) 可以得出
（8）
其中r在E的补集中趋于无穷大. 因此我们得出结论，（8）在下对数密度为１的集合中成立.
我们需要[16，引理4]的以下特例来证明定理1. 3.
引理B（参考[16]）如果 T : R → R 是一个递增函数，使得
那么对于所有 C1 gt; 1 和 C2 gt; 1，集合 E = {r: T (C1r)C2T (r)} 的上对数密度为 0.
注3 （参考[17]）我们发现以下结果
（9）
适用于任何亚纯函数f和任何非零常数 q.
定理1. 3的证明 我们讨论以下三种情况.
情形 1 假设|q| = 1. 这种情况是显然的.
情形 2 假设|q| gt; 1. 如果存在一个正常数 alpha; lt; 1 ，使得集合
具有正的上对数密度，则我们从引理 B 推导出f的极点收敛指数不为零. 因此， f的级数不为零，这与我们的假设相矛盾. 所以对于上对数密度0的可能异常集合之外的所有r ，有
（10）
由于|q| gt; 1，很明显对于所有的r，有
（11）
我们从 (10) 和 (11) 得出结论
其中r在一组特殊的上对数密度0之外接近无穷大.
情形 3 假设|q| lt;1. 那么gt; 1. 从 (9) 和案例 2可见，对于上对数密度为 0 的可能异常集之外的所有r，我们有
我们已经证明，(6) 对于上对数密度为零的特殊集合之外的任何q isin; C都成立. 这意味着与定理 1. 1 证明的结尾类似，式 (6) 在一组下对数密度上成立.
- q‑差分方程的应用
我们应用定理 1. 1 来证明以下结果. 对于常差分方程中的类似结果，读者们可参考 [17, 证明8, 证明9] 或者 [14, 定理 9. 1].
定理 3. 1 令 isin; C{0},令，是有理函数. 如果q-差分方程
（12）
存在零级超越亚纯解，且P(z, y(z))和 Q (z, y(z))在 y(z) 中没有任何公因子，则max{p, s} n.
证明：从标准 Valiron–Mohonrsquo;ko理论（参见[12, 定理 1. 13]），我们得到
T (r, R(z, y)) = max{p, s}T (r, y) (r, y).
注意到这一点，从定理 1. 1 的 (3) 和 (12) 得到：
这意味着
max{p, s} n.
根据与上面相同的论证，如果我们用代替(12)的左边，那么可以得到同一个断言max{p, s} n.
4. q-差多项式的值分布
令f为超越整函数, n为正整数. Hayman [18] 和 Clun
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