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RIEMANN-STIELTJES积分
本章以Riemann积分的定义为基础,而Riemann积分又明显地依赖于实轴的序结构。因此,开始时,我们先讨论区间上实值函数的积分,后几节再推广到区间上的复值和向量值函数的积分。到第十及十一两章再讨论在不是区间的集上的积分。
积分的定义和存在性
6.1 定义 设[a, b]是给定的区间,[a, b]的分法P指的是有限点集, 其中
.
把这里每个数减去它的前邻数的差记作
n).
现在假设是定义在[a,b]上的有界实函数.对应于[a,b]的每个分法P,令
,
,
,
,
最后置
(1) ,
(2) ,
其中最大下界与最小上界是对[a,b]的所有分法而取的。(1)和(2)的左端分别称为在[a,b]上的Riemann上积分与下积分。
如果上积分与下积分相等,就说在[a,b]上Riemann可积,记作(即是 表示Ricmann可积函数的集合).并且用
(3) ,
或
- .
表示(1)和(2)的共同值。
这就是在[a,b]上的Riemann积分.因为是有界的,所以存在着两个数m和M,使得
因此, 对于每个P,
,
从而数和 组成一个有界集. 这说明,对于每个有界函数 ,上积分与下积分都有定义。关于它们是否相等的问题,即是的可积性问题,是更为细致的问题。我们将不去孤立地研究Riemann积分,而马上去考虑更一般的情形。
6.2 定义 设是[a, b]上的一个单调递增函数(因和有限, 从而在[a, b]上有界). 对于[a, b]的每个分法P,记
显然. 对于[a, b]上任意的有界实数,令
这里, 与定义6.1中的含义相同, 并且定义
其中的inf和sup 都是对所有分法而取的.
如果(5)和(6)的左端是相等, 我们就用
有时也用
表示它们的共同值
这就是[a, b]上关于的Riemann-Stieltjes 积分(或者简称为 Stieltjes 积分).
如果(7)存在, 即(5)和(6)相等, 我们就说 关于在 Riemann sense意义上可积, and write并记作 .
取, 即见Riemann积分是Riemann-Stieltjes 积分的特殊情形. 但是我们要明确指出,在一般情形,甚至不一定是连续的.
关于这个概念还要说几句话. 与(8)相比我们宁愿采用(7)式, 因为在(8)中出现的字母丝毫不增加(7)的内容.我们用哪个字母去代表所谓的 '积分变量'是无关紧要的。例如,(8)就与
相同。积分依赖于, , and , 但与积分变量无关,也可把它略去.
积分变量所起的作用很像求和的指标: 两个记号
是相同的,因为每一个指的都是 .
当然,添上积分变量也无妨,而且在许多情形这样做实际上是方便的.
现在我们研究积分(7)的存在.有些话现在说一次,以后不再每次说明,假定是有界实数,而在[a, b]上单调递增,当不会产生误解时,我们将用 代替.
6.3 定义 我们称分法是的加细,如果(即的每一个点都是的点).设有两种分法和,如果 ,便称是它们的共同加细 .
6.4 定理 如果是的加细,那么
(9)
而且
(10)
证 为了证(9), 先设只比多一个点。设这个附加的点是 , 并且假定,其中和是P的两个相邻的点.令
,
.
显然及 ,与前面一样,这里的,
.
因此,
=
= .
如果比多含个点,我们把上述论证重复次,就得到(9)式、(10)式 的论证是类似的.
6.5 定理 .
证 设是两个分法和 的共同加细.由定理6.4,
因此
(11)
让保持不变,而对所有的取sup,(11)式就给出
(12)
在(12)中,对所有的取inf,就得到本定理.
6.6 定理 在上当且仅当对于任意的 ,存在一个分法使得
(13)
证 对于任意的,有
所以(13)式意味着
因此,如果(13)式对于每个都能成立,就必然有 ,
这就是.
反之, 假设并给定,于是存在分法和 ,使得
(14)
(15)
把 P 选为 和的共同加细,那么定理6.4,连同(14)式和(15)式说明
于是,对于这个分法,(13)成立。
定理6.6 给可积性提供了一个方便的判别法.在运用它之前,先说一点有密切关系的事项.
6.7 定理
- 如果(13)式对某个及某个成立,那么(当还用这同一个时)(13)式对加细后仍成立。
- 如果对于,(13)式成立,而, 是内的任意点,那么
- 如果并且(b)的题设还成立,那么
证 由定理6.4得出(a),在(b)中所做的题设之下, 和都位于内,所以.因此
,
这就证出了(b).从几个明显的不等式
及
证明了(c).
6.8 定理 如果在上连续,那么在上,then .
证 给定了,选 使得
.
因为在上一致连续(定理4.19), 所以存在着,当, ,并且 时
(16)
假若是的任何合于的分法,那么由(16)便有
- n)
因此
根据定理6.6, 知道.
6.9 定理 如果在上单调,在上连续,那. (当然,仍然假定单调)
证 假设给定了.对于任意正整数,选分法P.使得
n).
因为连续,所以这是能作到的(定理4.23).
我们假定单调递增(递减的情形与此相仿),那么
,
因此只要把n取得充分大,便有
由于定理6.6知道.
6.10 定理 假设在上有界,只有有限个间断点.的每个间断点上连续,那么.
证 假设给定了.令.设E是使间断的点的集.由于E有限,而在E的每点连续,我们可以取有限个不相交的闭区间把E盖住,同时要对应的各差数 的和小于.进而我们能够把这些区间安置得让的每个点在某个内部.
从去掉开区间.剩下的集K是紧的。因而在K上一致连续。于是有一个,保证时, 。
现在照下边说的方法给作分法:每个在里出现,每个在里出现,任何开区间没有点在里出现。如果不是之一,那么.
注意,对于每个, ,并且 ,除非
是之一。于是照着定理6.8的证明那样
因为是任意的,定理6.6说明.
附注:如果 与有一个共同的间断点,便未必属于.
6.11 定理 假设在上,,在[m, M]上连续,并且在上.那么在上.
证 选定. 因为在[m, M]上一致连续,所以有0合于,并且当时,只要便能使
因为,所以有的分法使得
设, 的意义和定义6.1所说的相同,而, 是关于的类似的数。把这些数分作两类:如果,便使,如果,便使。
当 ,的选取法表明 .
当 , , 这里
根据(18),得到
所以 因而
.
因为是任意的,由定理6.6有.
评注:这定理提出一个问题,即是:什么样的函数恰好Riemann-integrable可积? 答案在定理11.33(b)
积分的性质
6.12 Theorem
-
- 如果在上且,那么
,
对任意常数,,并且
-
- 如果在上,那么
- 如果在上 ,并且 , 那么在及[c, b]上 , 并且
-
- 如果在上并且在上, 那么
- 如果并且,那么并且
如果而 是一个正常数,那么而且
证 如果而是的任意分法,就能得到
(20)
如果 and ,并设已经给定.便存在分法 (j = 1, 2)使得
如果把和 换成它们的共同加细,这些不等式仍然成立。于是(20)说明
,
这就证明了.
用这同一个可以得到
因此,(20)说明
.
因为是任意的,所以能断定
(21) .
如果在(21)式中用和取代和, 不等式便掉转方向,从而证明了等式成立.
定理6.12的其它断语的证明都十分类似,不需作详细叙述。在(c)条中的要点在于,当逼近时,(经过加细)我们可以限于考虑包含点的分法。
6.13 定理 如果在上, ,那么
(a);
(b)而且.
证 如果取, 定理6.11说明,当时,.利用恒等式
4
就能完成(a)的证明.
如果取 , 定理6.11同样说明. 选择 , 使得
于是由于所以
6.14 定义 单位阶跃函数的定义是
6.15 定理 如果,在上有界,在点连续,而 ,那么
.
证 取分法,其中,而. 于是
因为在点连续,我们知道,当时与都趋于 .
6.16 定理 假定对于收敛, 是之内的一串不同的点,并且
- .
设在上连续,那么
- .
证 用比较验敛法可以证明级数(22)对于每个 收敛。它的和显然是单调的,, .
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