基于模型思想的小学数学教材分析及课程整合外文翻译资料

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摘要：本文分析了新加坡小学数学课程如何发展代数思维。对课程材料的分析提供了证据表明，新加坡小学数学课程采用了三种方法来发展代数思维：即解决问题、推广和泛函式。这些方法由三个思维过程支持——分析部分和整体，概括和专业化，以及做和撤销。研究结果表明，新加坡小学数学课程提供了广泛的活动，利用了不同的思维过程。

前言

本文通过分析课程材料中的主题结果和内容，讨论了新加坡小学数学课程中用于发展代数思维的方法。首先确定了支持代数思维发展的方法和思维过程。接下来讨论了用于分析的课程材料以及本研究中应用的分析模式。确定了支持课程中发展代数思维的三种不同方法的三个思维过程。然后依次讨论这三种方法，讨论使用内容材料作为说明，强调如果遵循特定思维过程，如何有助于发展代数思维。

新加坡小学数学课程如何发展代数思维

在《学校数学原则和标准》（NCTM，2000年）中，确定了四个具体目标，并确定了对代数思维发展特定年级的相关期望。然而，在新加坡小学数学课程中，代数没有得到如此明确的处理。在小学六年级（12 ）正式引入代数是为小学最后一年指定的。在这个层面上，重点是代数概念和代数操作技能的发展。课程和相关教师指南都规定了以下代数教学目标：

●使用字母表示未知数字；
●在一个涉及一个操作的变量中编写简单的代数表达式；
●在一个涉及多个操作的变量中编写简单的代数表达式；
●通过替换在一个变量中找到简单代数表达式的值；
●简化一个涉及加法和减法的变量中的代数表达式；
●解决涉及代数表达式的单词问题（CPDD，2000年）。

所有这些目标都暗示了基于技能的代数视角。然而，对课程材料的分析表明，虽然没有具体提及代数思维，但在数学框架的其他组成部分下提出了有助于代数思维发展的活动。了解模式、关系和功能”是在课程的“流程”部分下开发的。在这里，介绍了“分类、比较、排序、分析部分和整体、识别模式和关系、归纳、演绎和空间可视化”等思维技能。包括建议的启发式“表演，寻找模式，以及猜测和检查”（CPDD，2000年，第11页）。由于“思维技能应该通过学习数学概念和解决问题来有意识地整合和加强”（CPDD，2000年，第17页），因此可以推断，促进代数思维的活动包含在课程中，尽管它们没有被公开列出。对课程材料的分析提供了证据表明，新加坡小学数学课程采用了三种发展代数思维的方法；它们是解决问题、推广和功能。（1996年，Bednarz、Kieran和Lee编辑的《代数方法》一书详细讨论了这个问题。）这三种方法得到了新加坡小学数学课程中强调的思维过程的支持——分别分析部分和整体、概括和专业化以及做撤销。

用于分析的课程材料

新加坡儿童通常完成6年的小学教育。教育系统是集中指挥的，因此所有学校都遵循共同的课程。在2001年之前，所有小学都使用教师指南，以及教育部一个团队编写的教科书和工作簿。2001年，根据教育部对“思考学校，学习国家”的愿景，小学数学教学大纲的内容减少了30%，以便有更多时间将三项举措纳入数学课程。思维技能、信息技术和国民教育（CPDD，2000年）。从2001年起，为了允许更多多样化的课程材料，学校可以自由地采用由不同出版商商业制作的教科书。教育部制作的书籍将于2006年逐步淘汰。商业制作的书籍逐年采用；即2001年的小学一书，2002年的小学二年级到2006年的小学六年级。所有商业制作的书籍都严格遵守教育部制定的课程，仅需经批准。一旦教育部任命的审稿人确认书籍符合教学大纲中明确规定的每个主题的“结果”，即可获得批准。

由于教育部制作的教科书目前仍在使用中，也为了保持一致，因此从教育部制作的教学大纲、教师指南、教科书和工作簿中收集了这项研究的数据。每个小学一到四年级都有两本教科书、四本工作簿和两本随附的教师指南。在五年级和六年级，工作簿的数量减少到两个。教师指南、教科书和工作簿参考字母A或B以及相应的级别。例如，TG3A和TB3A分别参考小学3级的教师指南和教科书，而WB3A第1部分指定了工作簿3A的第一部分。

每个教师指南分为不同的部分。教师的教学笔记还辅以额外的资源，其中包括发展数学思维、鼓励数学调查和解决问题的活动，并分别标记为数学思维”、“数学调查”和“解决问题”。主题和概念是通过称为单元的部分来介绍和发展的。教师指南的每个单元都介绍了数学思维、数学调查和解决问题的任务，这些任务要求学生应用单元内和单元之间教授的概念和技能。教师可以选择使用这些任务来巩固该单元教授的技能，或修改以前单元教授的概念和技能。

分析模式
主要数学教学大纲分为两个部分-主题结果和教学笔记。在主题成果下，明确说明了每个主题的目标，教学说明提供了要纳入和排除的活动示例。对主题成果和活动进行了分析，以确定这些活动属于哪种特定方法。完成后，对各级的教师指南、教科书和工作簿进行了审查，以确定该方法是如何开发的，以及在多大程度上采用了这种方法。

总之，对课程材料进行了分析，以确定强调的思维过程、发展代数思维的方法、推荐活动的目标以及采用的程度。

流程
对课程的分析表明，新加坡小学数学课程强调三个思维过程——分析部分和整体，概括和专业化，以及做和撤销。由于利用部分整体推理的模型方法是课程的一个组成部分，因此本节从模型方法的介绍开始。接下来是讨论三个思维过程。

模型方法
在新加坡数学课程中，该模型是一个包含给定问题中所有现有程序关系的结构。这种模型方法决不能与Nemirovsky（1996b）和Heid（1996b）讨论的建模方法混淆。相反，该模型是一个由矩形和数值组成的结构，代表给定问题中呈现的所有信息和关系。矩形取代了方程中用字母表示的未知数。矩形被称为单位，成为构建给定问题中其他关系的模型的“生成器”（Bednarz和Janvier，1996年）。学习如何为问题构建模型有两个阶段。在学习的第一阶段，开发了部分概念，并在小学一年级和小学二年级教授（见图l，来自TG2A，1995年，p。23-24）。在围绕小学三年级开始的第二阶段，构建了基于比例推理概念的模型（图2，来自WB4A第2部分，2000年，第22页）。

分析部分和整体
识别和阐明共同构成整体的部分是数学课程的中心主题。这个过程强调识别给定问题中关系的“生成器”（Bednarz和Janvier，1996年）的部分或未知部分。识别生成器，抽象和阐明部件与生成器之间的程序关系，对于通过模型方法解决问题至关重要。

概括和专业化
在专业化中，以前获得的技能用于探索和了解支持特定数学概念或物理对象的结构或想法。当人们能够识别支持想法的几个实例之间一致的模式时，就会发生生成。在概括和专业化中，梅森确定的两个对数学思维至关重要的过程是：“检测相同性和差异性，进行区分，重复和排序，以及分类和标记”（1996年，第83页）。

做和撤销
能够撤销产生特定目标的过程有助于更好地了解产生该目标的操作的性质（开放大学，1982年；德里斯科尔，1999年）。过程中的这种可逆性是有效代数思维的必要部分。新加坡小学数学课程中广泛存在做和撤销的主题。

这些部分和整体分析、推广和专业化以及做撤销的过程与新加坡初级数学教学大纲中用于发展代数思维的三种解决问题、推广和泛函式方法直接对应。我接下来会解决这些问题。

发展代数思维的问题解决方法
在代数思维的问题解决方法中，方程是解决问题的工具，构建适当的方程至关重要。（关于这种方法的全面讨论，请参阅Bednarz和Janvier，1996年。）在次要方程（13 ）中引入了使用字母作为未知数来解决给定问题的方程。然而，小学生被教导通过绘制代表问题情况的模型来解决类似的代数类型问题。

模型方法作为解决问题的工具
图1建议了教师如何开发部分整体概念，以及如何在小学二年级引入模型方法。在本例中，汽车图片最初用于模拟问题情况，然后汽车被更抽象的矩形取代；在这种情况下，一个矩形代表一辆车，但情况不必如此。这种逐渐复杂的方法（减去做撤销方面）从小学一年级的教师指南开始。这个例子展示了如何使用模型方法来解决学生使用已知值来解决未知值（汽车总数）的算术问题。随着学生在小学年龄的进步，模型方法用于解决涉及未知数、部分整体概念和比例推理的代数问题（图2）。在每种情况下，矩形都允许学生将未知数视为已知的，在这里，每个矩形都是代表多个对象的单位。

当涉及比例推理和关系量时，问题更具挑战性，如主要五教科书（TB5A，1999年，p.）图3中的示例所示。23）。单位一词用于表示未知，在这种情况下，Samy的矩形或单位是问题中所有现有关系的生成器-Raju的矩形依赖于Samy的矩形，Raju的份额由一个与Samy相同的单位加上另一个代表100美元关系部分的矩形表示。使用模型绘图，形成一个表示问题的图形方程，如果字母x取代Samy的单位，则生成代数方程x x 100美元 = 410美元。使用矩形作为表示未知数的单位，为代表未知数的字母的更抽象概念提供了一个图形链接。模型的整个结构可以描述为一个图形方程。

由于转换只在中学教授，小学生展示了在图形方程中解决未知设置的程序。首先，而不是使用“前向运算”形成方程（Kieran、Boileau和Garangon，1996年，第264页）（2个单位 100 = 410）-构造了撤销添加100的关系方面的方程-2个单位=410-100。其次，通过执行做和撤销过程来评估一个单位的值；也就是说，如果2个单位相当于310，你该怎么做才能找到一个单位的值？

模型方法作为一种图形工具，可用于解决日益复杂的问题。以下是小学毕业考试数学论文（12 ）中的项目。由于尚未教授形式代数，用于构造适当图形方程的模型方法成为解决这些问题的工具。

概要：模型方法
解决问题的方法渗透到整个初级数学课程中。通过模型方法，为不了解形式代数的学生提供了构建图形方程的工具，以解决日益具有挑战性的单词问题，涉及简单的部分-整体关系，以及那些需要比例推理的关系。

概括方法
Mason（1996）倡导的这种方法并不意味着学生只需要用代数手段推广模式。相反，梅森提出的概括支撑了学生的所有数学学习。例如，使用混凝土材料学习三位数加减的学生将他们构建的算法推广到四位数的加减法，现在不必依赖混凝土材料。推广和专业化是支持这种方法的过程。

需要学生识别、理解和扩展重复几何模式以及扩展不断增长的数字模式的活动遍布整个初级数学课程。在随后的每个初级阶段都呈现出越来越具有挑战性的数字和几何模式。教科书中介绍的模式识别活动辅之以教师指南中更具挑战性的活动。本节的讨论分为两个小节——识别数字模式和识别几何模式，以演示主要数学教学大纲如何支持每组活动。

识别数字模式
需要学生继续增长数量模式的项目没有在持续增长数量模式的具体目标下列出。相反，这些项目是核心主题教学的固有组成部分，如“数字符号和位置值”和“数字的比较和排序”。图4显示了主要结果的一些具体结果（CPDD，2000年，p。33）

在“整数”主题下，图5中列出的任务要求小学生（7 ）确定数字序列是增序还是减序，并了解通过从前面的数字中添加或减去一个来保留模式。一旦学生可以操纵这些数字序列，并对这些简单的数字模式产生了感觉，他们就会在小学二年级获得越来越复杂的数字序列。在这个层面上，重复检测相同性和差异、区分、重复和排序的思维过程（图6）。

这里介绍了十位或数百位的数字不同的数字序列。这些数字序列有助于提高和巩固学生对满足主题目标的地方价值的认识。以下两项任务在小学二年级（图7，来自TB2A，1995年，第101页）和小学五年级（图8，来自TB5A，1999年，第10页）中，其中期望学生学习人数分别达到1000万和1000万。此外，为了鼓励学生利用他们的乘法数字键知识，在小学二年级引入了越来越多的需要跳过计数的数字序列。学生可以回忆起3的乘法数键，也可以跳过计数（例如，3、6、9、12...他们如何选择完成数字序列无关紧要，因为他们总是需要识别一个模式。

如何应用专业化和推广流程？提供此类数字序列（例如42 668、43 668、_____、_____、46 668）的意图是，虽然学生在脑海中持有这些数字并列，但他们看到，即使某些数字保持不变，数字仍然可以以特定的方式变化。

学生使用他们之前获得的地点价值和数千个附加概念来探索给定序列的基本结构。学生通过操纵前两个数字进行专业化，一旦他们了解了模式（梅森，1996年；开放大学，1982年），他们就会构建一个规则，使他们能够扩展数字序列。学生对数字序列的扩展是他们对推广的尝试。当它们的规则生成下一个给定的数字46 668或通过重新测试此规则，专门针对序列开头的数字规则进行验证。

数字模式活动并不只关注整数。使用有理数的数字模式也包括在内，供学生探索。学生在小学四年级第一次遇到有理数的数字模式活动。在这个级别上，向学生介绍了小数点分数的概念，最高可达一千位值。一些涉及十进制分数的数字模式如图9所示（WB4B，第1部分，p。20）。学生需要完成十进制分数序列，其中第十位的数字增加或减少十分之一或五分之一。当学生需要理解和完成十进制分数序列时，这种数字模式活动的难度会增加，其中百分之一的数字要么增加，要么减少百分之五百。同样，学生参与专业化和推广过程。

教师指南中提供了比教科书中提供的资源更具挑战性的其他资源。小学二年级教师指南（TG2A，1995年，第54页）中提供的任务“数学调查8”（图10）要求学生将模式中的元素与他们在模式中的位置联系起来，并推广这些关系。为了解决这个问题，学生首先必须注意，虽然数字在增加，但一个地方的数字会以固定的模式变化，每个孩子都会收到一个地方有特定数字的卡片。因此，学生们注意到，大卫总是有以3或8结尾的数字卡。然后，学生们概括说，这个数字的相

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外文翻译原文

Abstract: This paper analyses how the Singapore primary mathematics curriculum develops algebraic thinking. Analysis of the curricular materials provides evidence to show that three approaches are adopted to develop algebraic thinking in the Singapore primary mathematics curriculum: namely, problem solving, generalising and functional. These approaches are supported by three thinking processes-analysing parts and whole, generalising and specializing, and doing and undoing. The findings show that the Singapore primary mathematics curriculum provides a wide spectrum of activities which utilise different thinking processes.

Introduction

This paper discusses the approaches used to develop algebraic thinking in the Singapore primary mathematics curriculum through an analysis of the topic outcomes and content presented in curricular materials. The approaches and the thinking processes that support the development of algebraic thinking are first identified. This is followed by a discussion of the curricular materials used for analysis and the mode of analysis applied in this study. The three thinking processes that support the three different approaches to develop algebraic thinking in the curriculum are identified. These three approaches are then discussed in turn and the discussion, using content materials as illustration, highlights how a particular thinking process, if followed, helps to develop algebraic thinking.

How the Singapore Primary Mathematics Curriculum Develops Algebraic Thinking

In Principles and Standards for School Mathematics (NCTM, 2000), four specific goals were delineated and the related expectations for specific grade levels for the development of algebraic thinking were identified. However, algebra is not treated so explicitly in the Singapore primary mathematics curriculum. The formal introduction of algebra at primary six (12 ) is specified for the final year of primary school. At this level, the emphases are on the developing of algebraic concepts and algebraic manipulation skills. The following goals for teaching algebra are specified in both the curriculum and the related teachers guide:

●to use letters to represent unknown numbers;

●to write simple algebraic expressions in one variable involving one operation;

●to write simple algebraic expressions in one variable involving more than one operation;

●to find the value of a simple algebraic expression in one variable by substitution;

●to simplify algebraic expressions in one variable involving addition and subtraction;

●to solve word problems involving algebraic expressions (CPDD, 2000).

All of these goals suggest a skills-based perspective on algebra. However, analysis of curricular materials suggests that, while algebraic thinking is not mentioned specifically, activities that contribute towards the development of algebraic thinking are proposed under other components of the mathematical framework.“Understand patterns, relations and functions' is developed under the '“processes' component of the curriculum. Here, thinking skills such as“classifying, comparing, sequencing, analysing parts and whole, identifying patterns and relationships, induction, deduction and spatial visualisation' are introduced. Suggested heuristics“act it out, look for pattern(s), and guess and check' (CPDD, 2000, p.11) are included. Because“thinking skills should be consciously integrated and reinforced through the learning of mathematical concepts and problem solving' (CPDD, 2000, p. 17), it can be inferred that activities fostering algebraic thinking are included in the curriculum albeit they are not listed overtly as such. Analysis of the curricular materials provided evidence to show that three approaches to develop algebraic thinking are adopted in the Singapore primary mathematics curriculum; these are problem solving, generalising and functional. (The book Approaches to Algebra edited by Bednarz, Kieran and Lee, 1996, provides a detailed discussion on this subject.) These three approaches are supported by thinking processes emphasised in the Singapore primary mathematics curriculum- analysing parts and whole, generalising and specialising, and doing-undoing respectively.

Curricular materials used for analysis

Singapore children generally complete 6 years (7 . 12 ) of primary school education. The education system is centrally directed so all schools follow a common curriculum. Prior to 2001, all primary schools used the teachers guide, as well as textbooks and workbooks written by a team from the Ministry of Education. In 2001, in line with the Ministry of Educations vision of the“Thinking Schools, Learning Nation', the content of the primary mathematics syllabus was reduced by thirty percent in order to enable more time for the infusion of three initiatives into the mathematics curriculum . Thinking Skills, Information Technology and National Education (CPDD, 2000). From 2001 onwards, to allow for more diversity of curricular materials, schools have been at liberty to adopt textbooks commercially produced by different publishers. The books produced by the Ministry of Education will be phased out by the year 2006. The adoption of commercially produced books is on a year by year basis; that is, primary one in 2001, primary two in 2002 until primary six in 2006. All commercially produced books adhere strictly to the curriculum set by the Ministry of Education and are only available subject to approval. Approval is obtained once Ministry of Education appointed reviewers confirm that the books comply with thelsquo;outcomes of each topic which are clearly specified in the syllabus.

Because the textbooks produced by the Ministry of Education are currently still in use and also for the sake of consistency, the data for this study were collected from the syllabus, teachers guides, textbooks and workbooks produced by the Ministry of Ed

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