秩一矩阵的总和与主子矩阵的秩外文翻译资料

秩一矩阵的总和与主子矩阵的秩

作者：Fallat Shaun M.,Tifenbach Ryan M.

国籍：加拿大

出处：[1]Fallat Shaun M.,Tifenbach Ryan M.. 秩一矩阵的总和与主子矩阵的秩[J]. 线性和多重线性代数，2021,69(1)。

中文译文：

我们从相关的定义和术语开始。对于正整数 m 和 n，m le; n，我们定义 [n]={1, 2, ... , n} 和 Pn(m) = {X sube; [n]:|X| = m}。设 A 为 mtimes;n复矩阵。设 R sube; [m], S sube; [n] 和 T sube; [min (m, n)]。 我们标记 A 的子矩阵对应于 R、S 和 T 如下：

我们将形式为 AT 的 A 的子矩阵称为其主子矩阵。最后，当A 是方阵，我们使用 glambda;(A) 和 mlambda;(A) 来指代几何和代数的多重性lambda; 作为 A 的特征值。

我们在方阵上定义了两个秩的泛化。设 A 为方阵。A 的 p-rank 是非奇异主子矩阵的最大大小，或者如果 A 没有非奇异主子矩阵则为零。同样，我们将 kappa;(A) 定义为满足 rank(A ) = rank(A) 的主子矩阵 A，或者如果 rank(A) = 0 则为零。

定理 1.1：对于任何方阵 A，p-rank(A) le; rank(A) le; kappa;(A)。如果 A 是 Hermitian 或非奇异的，则 p-rank(A) = rank(A) = kappa;(A)。

定理 1.1 的证明是一个基本练习。此外，我们注意到，通过例子很容易证明定理 1.1 第一个陈述中的所有不等式都可以是严格的。

在 [1] 中，如果对于 A 的每个主子矩阵 Aj（包括 A 本身），我们有 p-rank(Aj) = rank(Aj)，则称矩阵 A 具有主秩属性。每个 Hermitian 矩阵都具有主秩属性。我们考虑以下较弱的性质：在什么条件下非厄米矩阵 A 具有 p-rank(A) = rank(A)？ （参见定理 3.1。）以下先前已知的事实将这个问题与矩阵的零性联系起来A. 注意 nullity(A) = g0(A)。

定理 1.2 [1，引理 6.4]：设 A 为方阵。如果 g0(A) = m0(A)，则 p-rank(A)= rank（A）。

在下面的部分中，我们产生了许多将kappa;(A)与与A相关联的 Jordan 形式的结果相关联的结果。

在这里，我们展示了我们的主要结果。每个都以新的方式扩展了矩阵的一些众所周知的特性。

定理 2.1：令 X1, ... , Xs 是相同大小的一阶矩阵，并令

r = rank(X1 ··· Xs).

如果 r ge; 1，则有一组 r 个序列 {k1, ... , kr } 使得

r = rank(Xk1 ··· Xkr).

任何秩为一的矩阵都具有 X = wvlowast; 的形式，其中 w 和 v 是列向量。如果 X 是一个秩为 r 的矩阵并且是以下形式的秩为一的矩阵的总和：

X = w1v1lowast; ··· wsvslowast;,

很明显，必须存在由 {wj1 , ... , wjr } 和 {vk1 , ... , wkr } 给出的线性无关向量的子集。 定理 2.1 告诉我们，正如我们将在其证明中看到的那样，这些子集可以使用相同的序列集形成。

定理 2.2：设 A 和 B 为矩阵，使得积 AB 被定义，并令 r =rank（AB）。 如果 ge; 1，则有一组 r 个序列 R = {k1, ... , kr } 使得

rank(Alowast;,R)= rank(BR,lowast;) = r.

定理 2.2 本质上描述了与定理 2.1 相同的独立结构。如果AB的秩等于r，则必定是A列的r和B行的r形成两个线性无关的集合——我们将看到相同的索引集引发了这两个集合。

定理 2.3：设 A 和 B 是矩阵，使得 AB 和 BA 的乘积都存在。如果 AB 是非奇异的，则 BA 有一个与 AB 大小相同的非奇异主子矩阵。

许多代数性质由 AB 和 BA 形式的乘积相关；例如，它们都具有相同的非零特征值。然而，许多代数和两种矩阵的组合特性并不相同。定理 2.3 给出了 AB 和 BA 的主秩一致的一种情况。

我们首先证明定理 2.1。下一个事实是众所周知的，可以在 [2,3] 中找到。

引理 2.4：设 A 和 B 是相同大小的复矩阵； 然后 rank(A B) le; rank(A) rank(B)，当且仅当 range(A) cap; range(B) = {0} 和 range(Alowast;) cap; range(Blowast;) = 时相等 {0}。

同样，我们还有下一个事实，这是本环节工作稍后需要的。

引理 2.5：让 W = {w1, ... , wr } 和 V = {v1, ... , vr } 是向量的集合，所有的顺序都相同；然后

rank （w1v1lowast; ··· wrvrlowast;）= r

当且仅当 W 和 V 线性无关。

下面的引理描述了正交投影的两个性质，它们在我们对定理 2.1 的归纳证明中作为定理出现； 因为它的证明比较基本，我们在这里省略它。

引理 2.6：令 v 为 m 阶非零向量并定义

然后

(i) 对于所有 m times; n 复矩阵 A，使得 v isin;/ range(A)，rank(PA) = rank(A)。

(ii) 对于 m 阶向量的任何集合 {v1, ... , vr }，{Pv1, ... , Pvr } 线性无关当且仅当 {v1, ... , vr , v} 是线性无关的。

备注 2.7：我们注意到，如果 r = 1 或 r = s，则定理 2.1 的结论是显而易见的。

定理 2.1 的证明：我们将证明以下断言：

让 {w1, ... , ws} 和 {v1, ... , vs} 是向量的集合，所有的顺序都相同，让

r = rank（w1v1lowast; ··· wsvslowast;）.

如果 r ge; 1，则存在一组 r 个序列，R = {k1, ... , kr } sube; {1, ... , s}，使得两者

{wk1 , ... , wkr } 和 {vk1 , ... , vkr } 是线性无关的向量集合。

根据引理 2.5，这足以证明定理 2.1。

我们通过对 s 的归纳进行。根据备注 2.7，如果 s = 1 或 s = 2，则该陈述显然是正确的。因此，假设 s ge; 3 并且上述声明对于少于 s 的被加数是正确的。鉴于备注 2.7，我们进一步假设 r ge; 2。定义

A = w1v1lowast; ··· wsvslowast;和 B = w1v1lowast; ··· wsminus;1vslowast;minus;1

（注意 A = B wsvs*）。应用引理 2.4，连同事实 rank(A) = r 和 rank(wsvslowast;) le; 1，意味着 r minus; 1 le; rank(B) le; r 1。

如果 rank(B) = r 1，我们应用归纳假设并推导出存在序列 {k1, ... , kr 1} sube; {1, ... , s minus; 1} 使得 {wk1 , . .. , wkr 1 } 和 {vk1 , ... , vkr 1 } 是线性无关。 从这些集合中的每一个中删除最终向量，并观察到{wk1 , ... , wkr } 和 {vk1 , ... , vkr } 是线性无关的向量集合。

如果 rank(B) = r，则归纳假设立即暗示存在指数{k1, ... , kr } 使得 {wk1 , ... , wkr } 和 {vk1 , ... , vkr } 都是线性无关的向量集合。

最后，我们假设 rank(B) = r minus; 1。这意味着 wsvslowast;ne; 0（因为我们有B ne; A)，进一步暗示 ws 和 vs 都不是 0 并且 rank(wsvs ) = 1。因此，r = rank(B wsvslowast;) = rank(B) rank(wsvslowast;).

根据引理 2.4，ws notin;range(B) 和 vs notin;range(Blowast;)。 让

Bcirc; = PBQlowast; = Pw1(Qv1)lowast; ··· Pwsminus;1(Qvsminus;1)lowast;.

通过引理 2.6，rank(Bcirc;) = rank(PBQ) = rank(BQ) = rank(QBlowast;) = rank(Blowast;) =r-1 ，

其中我们使用 Q = Qlowast;和 rank(Xlowast;) = rank(X) 的事实，对于所有矩阵 X。因此，我们将归纳假设应用于与 Bcirc; 相关的向量，即{Pw1, Pw2, ... , Pwsminus;1} 和 {Qv1, Qv2, ... , Qvsminus;1}，并推导出有序列{k1, ... , krminus;1} sube; {1, ... , s minus; 1} 使得 {Pwk1 , ... , Pwkrminus;1 } 和 {Qvk1 , ... , Qvkrminus;1 } 都是线性无关的向量集合。应用引理 2.6，我们有

{wk1 , ... , wkrminus;1 , ws} and {vk1 , ... , vkrminus;1 , vs}

也是两个线性无关向量的集合。

我们接下来证明定理 2.1 可用于证明定理 2.2。

定理 2.2 的证明：假设 rank(AB) = r ge; 1。令 s 为 A 的列数和 B 的行数。将 A 和 B 表示为：

其中每个 vi 和 wi 是一个列向量。对于每个 i，令 Xi = wivi*。 然后

AB = w1v1lowast; ··· wsvslowast; = X1 ··· Xs.

根据定理 2.1，我们知道有一组 r 个序列 R = {k1, ... , kr}，使得

观察到

因此，rank(Alowast;,RBR,lowast;) = r，这意味着 rank(Alowast;,R) 和 rank(BR,lowast;) 都更大，大于或等于 r。然而，由于 Alowast;,R 有 r 列，BR,lowast; 有 r 行，rank(Alowast;,R)和 rank(BR,lowast;) 都小于或等于 r。 所以，

我们现在展示定理 2.2 如何证明定理 2.3。

定理 2.3 的证明：假设 AB 是非奇异的，其中 A 是 mtimes;n，B 是 ntimes;m。所以，rank(AB) = m; 根据定理 2.2，有 R = {k1, ... , km}sube;[n] 使得

子矩阵 Alowast;,R 和 BR,lowast; 都是 mtimes;m，所以这些矩阵实际上是非奇异的，进一步暗示 (BA)R = BR,lowast;Alowast;,R 是 BA 的非奇异主子矩阵。

有的使用定理 2.3 证明定理 2.1 是一个简单的练习。我们可以原则上，用定理 2.3 的证明代替我们对定理 2.1 的证明下一节。我们提供了两个证明来说明秩、主体之间的联系子矩阵和矩阵乘积。

有趣的是，可以证明定理 2.3（从而证明定理 2.1以及 2.2）来自一个关于决定因素的众所周知的事实。这种方法具有简单的优点。然而，它完全没有建设性。它表明所描述的结构确实存在，但没有说明任何找到它们的方法。我们提出这个基于行列式的替代证明来说明的主子矩阵的秩和行列式的联系。下一个结果被称为柯西——Binet 公式，可以在 [4,5] 中找到。回忆第 1 节，对于 m le; n 我们让Pn(m) = {R sube; [n]:|R| = m}。

定理2.8：设mle;n，设A为mtimes;n复数矩阵，B为ntimes;m复数矩阵。然后

定理 2.3 的证明：设 A 和 B 使得 AB 和 BA 都存在并假设AB 是非奇异的。因此，AB 具有非零行列式。柯西-比奈公式，

上述总和中至少有一项不为零，因此存在一组 m 个序列，R isin; Pn(m) 使得

然后得出结论，注意到 BR,lowast;Alowast;,R = (BA)R 是一个 m times; m 主体BA 的子矩阵。

[1]Fallat Shaun M.,Tifenbach Ryan M.. 秩一矩阵的总和与主子矩阵的秩[J]. 线性和多重线性代数，2021,69(1)。

附：

We begin with relevant defifinitions and terminology. For positive integers m and n with m le; n, we defifine [n]={1, 2, ... , n} and Pn(m) = {X sube; [n]:|X| = m}. Let A be an mtimes;n complex matrix.

Let R sube; [m], S sube; [n] and T sube; [min (m, n)]. We label the submatrices of A

corresponding to R, S and T as follo

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