在数学教育中使用历史的“为什么”和“如何”的分类外文翻译资料

A categorization of the “whys” and “hows” of using history in mathematics education

作者：Uffe Thomas Jankvist

国籍：丹麦

出处：Educational Studies in Mathematics Volume 71,Issue 3.2009.PP 235-261

中文译文：

摘要：本文提出了一种组织和结构化讨论的方法，讨论“为什么”和“如何”在数学教学中使用数学史，以及使用数学史的观点与方法之间的相互关系。提出两组类别来解决这个问题，分别是使用数学史的原因和使用数学史的不同方法。为什么使用数学史的论据分为两类；历史是工具，历史是目标。使用数学史的方法分为三类方法：照明方法、模块方法和基于历史的方法。这种分类以及对使用数学史动机的讨论，无论是关注数学的内在问题还是元问题，提供了一种分类“为什么”和“如何”讨论的方法。

关键词：数学教育中历史的运用·“为什么”和“如何”·历史作为工具、历史作为目标·不可缺少的论据·内在问题和元问题·启发、模块和基于历史的方法·遗传原理

1介绍

当阅读关于在数学教育中使用数学史的文献时，人们会遇到各种各样的观点，支持为什么使用数学史是一个好想法，以及各种关于如何应用数学史的想法，我将分别称为“为什么”和“如何”。糟糕的是关于这类文献阅读似乎揭示了一些关于数学史运用课堂教学原因和方法模糊的讨论。部分原因可能与许多不同类型的研究人员(数学家、历史学家、教育家等)所处理的问题有关，每个人都有自己的议程、背景和风格。此外，每个研究人员在处理某种程度的教育，往往可能受某一特定国家或地理区域的教育现状所施加的限制。并不是说这有什么不对。相反，为了扩大在教学中应用数学史的情况，这种工作是非常需要传播关于这一主题的现有信息。但是，从一般和理论的观点来看，这种工作并不一定涉及讨论中所涉及的核心问题。幸运的是，文献也提供了一些有趣的尝试来分类“为什么”和“如何”(例, Tzanakisamp;Arcavi,2000；Tzanakisamp;Thomaidis,2000；Gulikersamp;Blom,2001；Fried,2001；Furinghetti,2004；Tang, 2007)当然，任何分类都有其优点和缺点，这些也一样——新的分类也一样。

在我看来，可用的分类方法的一个缺点是，它们并不能严格地将“如何”和“为什么”的分类区分开。有人可能会说，这是因为“为什么”和“如何”可能是相互关联的，所以它不是一个非常直接的，甚至可能不是一个自然的事情。原则上，一个“如何”通常会附带一个“为什么”。然而，我的主张是，通过尝试严格区分“为什么”和“如何”分类，可能会获得新的见解，“为什么”和“如何”之间的相互关系可能会变得更清楚。除了使他们之间关系更加清晰，了解“为什么”和“如何”之间的相互联系可以使运用数学史分析教材变得更容易，例如，看看它是否满足特定的要求或目标。我认为，当教师和编写教材教研者决定使用数学史的内容、表现形式并组织时，这些知识也会很有用。无论如何，”为什么”和“如何”使用数学史的相互关系并不是文学中经常讨论的东西。因此，在我看来，关于使用历史的讨论将受益于另一种系统的尝试，即创建一个新的系统，从中可以深入讨论数学史在数学教育中的潜在作用。

1.1研究问题和研究方法

如果你对数学史在数学教学和学习中应用的优点、缺点、可能性、局限性、想法等感兴趣，我认为建立在一个系统和组织的基础上是值得的，在以下方面建立：

1. 为什么历史可以或者应该被用于数学的教学；
2. 如何在数学教学中使用历史；
3. 使用历史的论点和这样做的方法，即“为什么”和“如何”是相互关联的。

这三个问题正是本文的重点。回答这些问题的方法是提出两套新的类别，在此基础上可以处理不同的“为什么”和“如何”之间的相互关系。关于这两种分类，必须知道它们不是绝对的。他们注定是这样的。它们服务于某个目的：为分析数学教育中历史的具体用途创造必要条件，即如何的具体实施（参见，例如，Jankvist，2007b，2008）。此外，应该提到的是，这些分类没有区分历史在课堂、教科书和不同教育水平（包括教师培训）中的使用。这些都是综合考虑的。

为了检验提出的“为什么”和“如何”呈现的类别，我们考虑了以下研究人员编辑的文献：Swetz, Fauvel, Bekken, Johansson和Katz (1995)；Jahnke, Knoche和Otte (1996)；Calinger (1996)；Katz (2000)；favel和van Maanen(2000)编辑的国际数学教学委员会(ICMI)研究，以及各种期刊的相关文献，包括关于数学教育历史的专刊和论文集(例如，最近修订的《数学历史和教育学论文集》(HPM2004)和ESU4)。同时,搜索在过去十年(1998-2007)的数学教育研究(ESM),数学教育研究》杂志上(JRME),数学的学习(FLM)和Zentralblatt Didaktik der Mathematik (ZDM)进行,以确定最近的相关文献,并证明其分类。在ESM中，在这10年期间发现了27篇以某种方式涉及历史和/或它在数学教育中的使用的论文，其中20篇与这里讨论的问题相关(见参考文献)。在JRME、FLM和ZDM中，发现的论文数分别为1篇(零篇相关)、4篇(1篇相关)和0篇。然而，已确定的论文中没有一篇讨论了ICMI研究中尚未涉及的论点或方法，ICMI研究是关于这一主题的最全面和统一的单一出版物。因此，所提议的“为什么”和“如何”分类将主要通过ICMI研究加以说明。

关于“为什么”，我也将简短地说明这些论据的必要性。在“如何”的例子中，将特别注意所谓的遗传原理。在讨论了“为什么”和“如何”以及它们之间的相互关系之后，我将转向对在数学教育中使用历史的批评(关于“为什么”和“如何”)，并讨论这些与所呈现的类别之间的关系。

2两类论证

一般来说，使用历史的争论有两种：一种认为历史是帮助数学实际学习和教学的工具，另一种认为历史本身就是一种目标(Jankvist, 2007a, pp. 72–76)。这两种争论中的每一种都构成了它自己的一类观点。

2.1将历史视为工具的争论

“把历史当作工具”的论点包含了关于学生如何学习数学的论点。一个典型的观点是，历史可以成为学生学习和研究数学的一个激励因素，例如，帮助维持学生对这门学科的兴趣和兴奋感(例如，Farmakiamp;Paschos,2007,p.84；Taimina,2004,p.88；Tattersallamp; McMurran,2004,p.101)或者历史方法可能会让数学更人性化。通常，过去的数学家在数学发展上所犯的错误也会给今天的数学学生带来麻烦(例如，Bakkeramp;Gravemeijer,2006,p.149；Bartolini Bussiamp;Bazzini,2003,p.206；Fauvel,1991,p.4；Tzanakisamp;Thomaidis,2000,p.49)从中学生可以获得安慰；他们自己现在难以掌握的同一个数学概念，实际上是伟大的数学家们花了数百年的时间才形成了它的最终形式(例如，Bakker amp; Gravemeijer,2006,p.165)。

除了这些动机和情感上的影响，历史也可能在支持数学的实际学习中扮演认知工具的角色。例如，一个论点指出历史可以通过提供不同的观点或呈现方式来改善学习和教学(例如，Helfgott,2004,p.161；Jahnke,2001,p.195；Kleiner,2001,p.143)。其他观点认为，历史现象学可以为假设的学习轨迹的发展做准备，或者历史“可以帮助我们透过学生的眼睛看问题”(Bakker 2004, pp. 51,87)。

正如Bachelard(1938)所介绍的，历史作为一种认知工具的特殊用途出现在识别认识论障碍的过程中。当将认识论障碍的概念纳入他的教学情境理论时，Brousseau(1997,p.87)解释道：“真正认识论起源的障碍是那些人们既不能也不应该逃避的障碍，因为它们在被寻找的知识中起着形成作用。”它们可以在概念本身的历史中找到。由于“学生的某些困难可以围绕历史证明的障碍进行分组”(Brousseau,1997,p.96)，历史不仅可以帮助识别这些障碍，也可以帮助克服它们：“一个认识论反思数学思想的发展历史可以丰富教学的分析提供了重要的线索可以指定要教知识的本质,并探索不同的方式获得知识”(Dorier and Rodgers in Fauvel amp; van Maanen,2000,p.169；Schubring,1988,pp.141–143；Sierpinska,1994,pp.125–137；Radford,1997,pp.29–32,2000a,pp.162–163；Radford amp; Puig,2007,pp.147–148；Katz amp; Barton,2007,pp.198–200)。Brousseau一个重要观点是，历史不应该未经修改而被使用。这个想法是利用历史“论据，选择一个适合在学校使用的概念的起源，并构建或lsquo;发明rsquo;提供这个起源的教学情境”(Brousseau,1997,p.96)。

最后一种非常独特的“历史即工具”观点可以称为“进化论”，因为他们认为没有历史就没有数学。最明确的进化论论点是所谓的“概括论”即“个体发生概括了系统发生”根据Furinghetti(2004，p.5)，由德国生物学家和自然哲学家Haeckel于1874年提出，被称为“生物发生的基本定律”(Haeckel,1906,pp.2–3)。海克尔进一步发展了这一思想，认为“儿童的心理发展只是系统发育进化的短暂重复”(Furinghetti amp; Radford,2002,p.634)。这个论点为概括论证，可以表述为：为了真正学习和掌握数学，一个人的头脑必须经历数学在其进化过程中所经历的相同阶段。概括论证不仅适用于数学整体，也适用于单一的数学概念和理论。通常是单一的数学概念的发展之间的关系,另一个工具参数相关的进化,所谓历史的并行性,提出的“测试”历史并行性问题困难和障碍,出现在历史的观察他们出现在教室(例如,Harper,1987；Sfard,1995；Zormbala amp; Tzanakis,2004；Thomaidis amp; Tzanakis,2007；Farmaki amp; Paschos,2007；Tzanakis amp; Kourkoulos,2007)。并行性的概念也可以作为数学教育中生成假设的方法论或启发式(例如，Fauvel amp; van Maanen,2000，p.160；Vasco, 1995，pp.61–63)

2.2以历史为目标的争论

历史作为目标的论点的范畴包含了这些观点：学习数学历史的各个方面本身就是有目的的。注意，当把历史本身作为一个目标时，不能把它误认为是一个独立的主题，即数学的历史知识。相反，重点是数学作为一门学科的发展和进化方面。

在这个意义上，例如，它被认为是一个目标，向学生展示数学在时间和空间中存在和进化(例如，Tzanakis amp; Thomaidis,2000,p.46；Barabash amp; Guberman-Glebov,2004,p.75)；它是一门经历了进化的学科，而不是凭空产生的东西(例如Niss amp; Jensen,2002,p.268； Philippou amp; Christou,1998,p.193)；人类参与了这一进化(例如，Gulikers amp; Blom, 2001, p.229；Thomaidis amp; Tzanakis,2007,p.181)；数学在历史上经历了许多不同文化的演变，这些文化对数学的形成产生了影响，反之亦然(例如Tzanakis amp; Thomaidis,2000,p.46；Barabash amp; Guberman- Glebov,2004,p.85；Hoslash;yrup,2007,p.260)，或者进化是由内部和外部力量驱动的(例如Fried,2001,p.392；Charette,2004,p.121)。

从历史作为目标的观点来看，了解数学历史并不是更好、更彻底地学习数学的主要工具，即使这可能仍然是一个(积极的)副产品。在以历史为目标的过程中，学习数学的发展和进化方面，要么是为了实现一个目标，要么是为了说明该学科的其他历史方面。

2.3数学的元问题和内问题

另一种描述历史作为目标的论点的方法是说，它们是为了学习数学的元方面或元问题。指的是涉及到整个数学学科的问题。从

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A categorization of the “whys” and “hows” of using history in mathematics education

作者：Uffe Thomas Jankvist

国籍：丹麦

出处：Educational Studies in Mathematics Volume 71,Issue 3.2009.PP 235-261

A categorization of the “whys” and “hows” of using history in mathematics education

Uffe Thomas Jankvist

Published online： 21 January 2009

copy; Springer Science Business Media B.V. 2009

Abstract This is a theoretical article proposing a way of organizing and structuring the discussion of why and how to use the history of mathematics in the teaching and learning of mathematics, as well as the interrelations between the arguments for using history and the approaches to doing so. The way of going about this is to propose two sets of categories in which to place the arguments for using history (the“whys”) and the different approaches to doing this (the “hows”). The arguments for using history are divided into two categories； history as a tool and history as a goal. The ways of using history are placed into three categories of approaches： the illumination, the modules, and the history-based approaches. This categorization，along with a discussion of the motivation for using history being one concerned with either the inner issues (in-issues) or the metaperspective issues (meta-issues)of mathematics, provides a means of ordering the discussion of “whys” and “hows.”.

Keywords Using history in mathematics education ·Whys and hows·History as a tool, history as a goal·Indispensability of arguments·In-issues and meta-issues·Illumination, modules, and history-based approaches· Genetic principle

1 Introduction

When reading the literature on using the history of mathematics in mathematics education, one comes across various arguments in favor of why it may be a good idea and various ideas on how to do it, what I shall refer to as the whys and hows respectively.Unfortunately, such a reading of the literature seems to reveal some blurring in the discussion of these whys and hows. Part of the explanation of this may have to do with the issues being tackled by many different kinds of researchers (mathematicians,historians, educators, etc.), each having their own agenda，background,and style.Also, each researcher is often dealing with a certain level of education, perhaps subject to restrictions imposed by the educational authorities in a given country or geographical region. Not that there is anything wrong with this； on the contrary, such work is much needed in order to broaden the picture of applying history in teaching,and to disseminate the information already available on the topic. However, from a general and theoretical viewpoint, such work does not necessarily address the core issues that are at stake in the discussion. Fortunately, then, the literature also offers some interesting attempts at categorizing the whys and/or the hows (e.g., Tzanakisamp; Arcavi, 2000； Tzanakis amp; Thomaidis, 2000； Gulikers amp; Blom, 2001； Fried, 2001；Furinghetti, 2004； Tang, 2007). Any categorization, of course, has its advantages and disadvantages, and so do these—and so will a new one.

One disadvantage of the classifications available, as I see it, is that they do not all necessarily separate, strictly, the categorizations of the hows from the categorization of the whys. One could argue that this is because the whys and hows may be so interconnected that it is not a very straightforward, or maybe even a natural, thing to do. In principle, a “how” often conditions or presupposes a “why.” Nevertheless, it is my claim that, by trying to strictly separate the categorizations of the whys from the categorizations of the hows, new insight may be gained, and the interrelations between the whys and the hows may become clearer. Besides providing intellectual clarity, knowing about the interconnections between the whys and hows can make it easier to analyze teaching material applying history in order, for instance, to see if it fulfills certain requirements or goals. Such knowledge would also, I suspect, be useful when making decisions about content, form of presentation, and organization concerning the use of history for teachers as well as material designers. At any rate, the interrelations of the whys and hows of using history is not something that is discussed very often in the literature. It therefore seems to me that the discussion on using history would benefit from yet another—systematic—attempt at creating a new platform from which one may discuss, in depth, the potential role of the history of mathematics in mathematics education.

1.1 Research questions and research method

I believe that if you are interested in the use of the history of mathematics in the teaching and learning of mathematics, its advantages, disadvantages, possibilities, limitations, ideas, etc., then it is worthwhile basing this interest on a systematic and organized foundation in terms of

1. Why history may/should be used in the teaching and learning of mathematics；

2. How history may/should be used in the teaching and learning of mathematics；

3. In what ways the arguments for using history and the approaches to doing so, i.e., the whys and hows, are interrelated.

These three questions are exactly the foci of this article. The way to answer them is by proposing two (new) sets of categories on the basis of which the interrelations between the different whys and hows can be dealt with. Regarding these two categorizations, it is important to bear in mind

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