通过探索函数数字图像来学习函数概念外文翻译资料

通过探索函数数字图像来学习函数概念

作者：Christiaan Venter

国籍：南非

出处：Christiaan Venter. Learning the function concept by exploring digital images as functions. Pythagoras[J], 2020, 41(1): 1-15

中文译文：

摘要：尽管函数概念是数学的基础，但通常缺乏对这个概念的充分理解。这个问题在各级教育中都很普遍，许多国家都有报道。本文报道了一种基于探索照片或数字图像的函数的新教学策略。本研究的目的是确定图像函数干预(IFI)在学习函数概念方面是否合理可行。采用了两部分方法。第一部分运用行动-过程-对象-图式理论作为评价IFI的理论框架。第二部分实现了IFI同组(n= 27),随后对问卷数据进行定性分析，以寻找参与者在函数概念方面经历拓宽思维的迹象。理论评估证实，IFI是健全的，并为解决函数概念的共同概念困难提供了机会。定性分析提供了参与者扩展概念图像的证据。得出的结论是，设计的干预措施IFI是合理和可行的，并显示出有希望增加对函数概念的理解。

关键词：函数概念；图像函数；APOS理论；遗传分解；数学

函数概念对数学至关重要，这可以被接受为一种普遍的共识。正如塞尔登和塞尔登在《哈尔和杜宾斯基，“函数概念随着数学的发展而演变，现在起着中心和统一的作用。”最近，函数概念对于学生描述变量之间的变化关系、解释参数变化以及解释和分析图形的能力至关重要。奥谢、布林和贾沃斯基重申“函数是当今数学的核心”，并详细说明“超越微积分，函数被广泛用于比较抽象的数学结构”。

尽管充分理解函数和函数概念具有很高的价值，但在本科生或中学生中全面细致的理解并不常见。门卫等人在与中学生的合作中，确认学习函数概念的困难，并特别声明“函数具有不同的面，并且使学生将这些面视为相同数学概念的面是一个教学挑战”。尽管进行了50多年的研究，这一挑战仍在继续，产生了“大量关于函数概念教与学的文献”。这仍然是一个挑战，这可以从函数概念发展历史上的明显困难来部分理解。这个概念被认为是一个认识论上的障碍，因为与之相关的困难已经普遍存在并持续了很长时间，而且仍然普遍存在。另一个原因可以归因于杜宾斯基和威尔逊强调，很少有人关注应用理论分析(这是丰富的)来开发“帮助学生克服这些困难的教学策略”的研究。简而言之:(1)函数的概念是一个困难的概念，以及(2)我们在设计适当的干预措施、指导性治疗和教学设计方面还没有变得足够实际。

在变得实际方面已经做了一些工作，但似乎还需要做更多。艾尔斯、戴维斯、杜宾斯基和列文(1988)和布雷登巴赫、杜宾斯基、霍克斯和尼科尔斯(1992)考虑使用简单的编程环境来提供创建和使用函数的实际活动。麦高恩和德马科斯(2000)认为使用“函数盒机器”作为一个强有力的认知根来锚定与函数概念相关的不同思想。芦苇(2007)研究了让学生积极参与函数概念历史的效果。Salgado和Trigueros(2015)的设计和活动基于模型和建模。

这篇文章报道了一个干预，图像函数干预(IFI)。IFI探索被视为函数的数字图像。首先从理论上对干预进行评估，然后对一小组(n= 27)的本科生，其次是定性分析。这种干预不同于前面提到的实施的一个方面是，参与者打算以自我指导的方式使用干预。这是通过结合学习管理系统使用电子学习创作软件实现的，使参与者能够按照自己的速度完成IFI。因此，参与者可以在没有讲师参与的情况下使用IFI。这种自我指导干预的必要性首先来自与学生直接接触时间的时间限制，其次来自不需要教师或讲师首先熟悉干预的基本思想和内容的优势。

考虑到函数概念，Akkoccedil;和Tall指出，即使面对特定的设计，结果也可能无法实现。他们讨论了一门旨在使函数概念成为基础和组织原则的课程，但是“许多学生只关注每个表示的个别属性，而没有将它们联系在一起”。为了增加设计成功的概率，它应该基于研究和理论。Salgado和Trigueros(2015)提供了一个由动作-过程-对象-模式(APOS)理论所启发的这种设计的好例子。他们的设计利用了大量的模型。他们首先通过参考显示建模如何提高动机和兴趣、帮助识别具体的学习困难以及促进学习和概念构建的研究来激励他们使用建模。此后，构建了一个遗传分解(在理论框架部分中定义)，根据该分解可以设计活动。

根据对合理设计含义的理解，本文将以APOS理论为指导，以学习函数概念的文献为补充，进行理论评估，以确定期望IFI能够提高对函数概念的理解是否合理。提出了以下研究问题：就函数概念的学习而言，IFI理论是否合理可行？

研究问题分为两部分。

第一部分是对IFI的理论评价。为了与APOS理论的方法论保持一致，当前的文献以及研究人员自己的经验被结合来创建函数概念。这种遗传分解提出了学生在学习函数概念时可能需要的行为、过程和对象层面的适当心理结构。本指南用于评估IFI的可靠性。IFI的活动需要与《全球发展战略》中提出的与函数相关的心理结构联系起来。此外，还审查了IFI的活动是否以及如何解决共同的概念困难与函数概念相关联，例如“什么构成函数”和“单叶性和内射性之间的混淆”。

第二部分是第一次尝试测试IFI的可行性。IFI是在有27名参与者的教室环境中实施的。然后，参与者填写一份简短的问卷，收集一些关于他们在IFI经历的定性数据。对这些数据的分析旨在通过拓宽参与者对函数概念的思考来发现IFI是否有价值。

本文结构如下。在这个介绍之后，将有一个章节提供图像函数的理论，从而指出照片或数字图像如何被认为是表示函数。接下来是一篇文献综述，首先讨论中学和大学数学中与函数概念相关的概念难点。其次，文献综述将讨论APOS的理论框架。它将以为这项研究建立的函数概念的遗传分解而结束。文献综述部分之后是解释IFI的细节和工作原理的部分，然后从理论角度评估IFI的健全性。这就是解决研究问题的第一部分。第一部分介绍了IFI的第一次实施以及作为初始可行性检查的定性分析。最后，最后一部分将第一部分和第二部分结合起来，得出一些结论。

一、第一部分：图像函数干预及其理论评价

IFI是使用电子学习创作软件创建的，该软件以包的形式交付，可以上传到当地高等教育机构使用的学习管理系统中。这允许学生在没有任何讲师参与的情况下，以自己的速度在计算机上完成IFI。

作为一个总的背景，IFI处理寻找一个失踪的学生，其中一张近照可以在学生的脸书页面上找到。然而，这张照片是在弱光条件下拍摄的，因此需要一些处理，才能有助于找到失踪的学生。这个主题在整个干预过程中就像一个故事。选择这个主题是因为学生熟悉上下文，他们可以很容易地理解涉及存在的变量的偶然性关系，并且他们通常对上下文的类型感兴趣。除了这个故事情节，IFI还传达了上一节讨论过的意象函数理论。该理论与反思性问题和具体活动交织在一起。这些活动旨在遵循以下三项原则:

1. 活动直接与函数概念GD中确定的心理结构联系在一起表1中的概念化指标表2。
2. 活动涉及概念理解的类别。杜宾斯基和威尔逊将文献中发现的与函数概念相关的最常见的概念困难归类。
3. 活动为要研究的函数概念的各个方面形成了一个经验基础。

上述原则将被用作IFI理论评估的标准。IFI的四项活动中的每一项都将根据上述三项设计原则中的第一项进行讨论和评估。本节后面的小节将根据其他两项原则对IFI进行评估。

（部分省略）

二、第二部分：第一次尝试确定图像函数干预的可行性

本节讨论IFI的第一个实际执行情况。它构成了解决研究问题的第二部分，如本文导言结尾部分所述。第二部分调查了IFI的可行性，寻找IFI可以通过拓宽参与者对函数概念的思考而具有价值的迹象。实现这一目标将为我们提供原则证明，即确定IFI是否明智和值得进一步调查。原则证明，以及表明干预内容的定性分析，有助于确定进一步测试的必要性和有效性。调查问卷用于收集参与者在IFI经历的定性数据。这里使用了一种定性的方法来探索参与者的看法，并考虑到对IFI的意外反馈。

1、取样和数据收集

IFI是在一个教室里实施的，一年级微积分课程中有27名学生。这不是实施干预的预期方法，因为它是一个自我指导的微型模块，参与者可以按照自己的节奏积极参与干预的各种活动。然而，为了衡量参与者对材料和活动的初步反应，我们决定课堂环境以及最后的问卷调查将是足够的，并且仍然使我们能够实现原则证明的目标。

这个组的选择是为了方便，但满足了对函数概念有先验知识的最低标准。从偶然的观察来看，这个团体有男性和女性成员，这些成员来自至少三个不同的种族背景。

问卷发给了所有27名参与者，并明确表示参与是自愿的，将是匿名的。没有要求提供个人身份信息，因为这被认为不是证明原则努力的必要条件，因此只是测试IFI是否可行。问卷由三个语法封闭但概念开放的问题组成，因为这仍然允许与会者可能希望提供的任何阐述。

2、数据分析

使用了带有紧急编码的内容分析方法。对三个问题的答复进行了搜索，以寻找与问卷目的相关的任何迹象。看了几遍回答后，确定了四个主题：

（1）什么构成函数

学生们通常与关于什么可以和什么不可以被认为是函数的误解作斗争。在第一部分中，作为IFI理论评估的一部分，对这一主题进行了更多的讨论。

（2）函数与现实生活息息相关

通过阅读参与者的回答，似乎许多人几乎惊讶地发现函数被用于像照片这样的日常话题。这个主题并不代表对函数概念的理解有所提高，但可能有助于让参与者对主题感兴趣。这种兴趣可以增加他们的动机，这是有效学习的关键。将函数概念知识与日常经验联系起来也有助于以后的检索和应用。

（3）领域和范围

这个主题与这样一种理解有关，即一个函数需要一组允许的输入，并且与每个输入相关联的是一个唯一的输出。输出也形成一个集合。从GD中，我们看到，需要对领域和范围有清晰的理解，才能在动作层构建函数概念，并在过程层内化开始构建的动作。

（4）函数反演

在过程级别中，需要能够反转函数并形成反函数。

对三个问题的每一个回答都被反复阅读，以判断它是否包含参与者对函数概念有了更广泛理解的任何迹象。然后，该指示被分类为属于四个主题之一。

3、有效期

问卷的目的不是提供一个可概括的结果。调查问卷是建立原则证明的努力的一部分。原则的证明可以被解释为寻找IFI可以有价值的证明，至少在一些参与者的某些环境中是这样。为了提高定性数据分析的可信度，同事们被要求独立核实主题、事件和结果。

4、定性数据分析的结果

在数据分析部分，讨论了从重复阅读参与者的回答中得出的四个主题。然后在四个主题提供的结构内对答复进行单独分析。

这样做的同时，请记住，我们正在寻找参与者对函数概念有了更广泛理解的迹象。在接下来的分析中，问了这三个问题:

Q1:完成了IFI之后，你有没有意识到或者学到一些关于函数概念的东西？

Q2:函数概念的某个方面现在对你来说更清楚了吗？

Q3:函数概念的某个方面，你以前可能以某种方式考虑过，但现在意识到在某种意义上你错了吗？

（1）主题1：什么构成函数

分析表明，参与者展示了他们“概念形象”的扩展与什么也可以被认为是函数有关。请考虑以下回答:

1. 是的，我意识到函数有更广泛的意义，它构成了我们科技生活的一大部分(参与者1，回答Q1)
2. 是的，所有的图像也是函数。(参与者13，回答Q1)
3. 是的，一个函数可以用不同的方法来确定。(参与者21，回答Q1)
4. 是的，并不是所有的函数都在笛卡尔平面上绘制。(参与者18，回答Q3)

（2）主题2：函数与现实生活息息相关

我们再次看到参与者的概念图像扩大了。这里它涉及到一种认识，即函数在数学本身之外可能是有用的，特别有用的。一些参与者意识到函数可能是他们生活体验的一部分。考虑以下有代表性的回答:

1. 是的，它可以用于各种目的。(参与者2，回答Q1)
2. 函数可以用于数学之外的许多目的。(参与者5，回答Q1)
3. 是的，我知道数学无处不在(参与者6，回答Q1)
4. 是的，不清晰的图像是如何被处理

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