黎曼可积性与弱连续性外文翻译资料

本科毕业设计（论文）

外文翻译

黎曼可积性与弱连续性

作者：Gonzalo Martiacute;nez-Cervantes

国籍：美国

出处：Journal of Mathematical Analysis and Applications

中文译文：

本文主要讨论了黎曼可积性与弱连续性的关系。如果在[0,1]区间关于X的每个黎曼可积函数几乎处处弱连续，则认为巴拿赫空间X具有弱勒贝格性质。证明了弱勒贝格性质在￡₁集合下是稳定的，并给出了具有和不具有该性质的巴拿赫空间的新例子。进一步，我们用黎曼可积性刻画了Dunford-Pettis算子的性质，并给出了tau;-连续非黎曼可积函数集大小的定量结果，其中tau;是比范数拓扑弱的局部凸拓扑。

1. 介绍

巴拿赫空间上黎曼可积性与连续性关系的研究始于1927年，当时Graves在[13]中证明了一个向量值黎曼可积函数几乎处处不连续。因此，出现了以下问题：

给出了一个巴拿赫空间X，确定了函数f:[0,1]→X的黎曼可积的充要条件。

将对于巴拿赫空间X内每个黎曼可积函数f:[0,1]→X都是连续的性质称为勒贝格性质(简称LP)。除了￡₁之外，所有经典的无限维巴拿赫空间都没有LP。关于这个话题的更多细节，我们请读者参考[12,6,24,14,19]。

关于弱连续，Alexiewicz和Orlicz在1951年构造了一个黎曼可积函数，该函数不是几乎处处弱连续的，即[2]。如果每个黎曼可积函数f:[0,1]→X是几乎处处弱连续的，则巴拿赫空间X具有弱勒贝格性质(简称WLP)。每个具有可分离对偶的巴拿赫空间都有WLP，[2]的例子表明∁ ([0,1])没有WLP。带WLP的其他空间，如L¹([0,1])，可以在[5]和[28]中找到。本文主要研究了黎曼可积与弱连续性的关系。在第2节中，我们介绍了关于WLP的新结果。特别地，我们证明了James树空间JT不具有WLP(定理2.4)，并研究了在非可分离的情况下￡_p(Gamma;)和c₀(Gamma;)何时具有WLP(定理2.10)。此外，我们证明了WLP在来￡₁全集下是稳定的(定理2.15)，并应用这个结果得出∁ (K)lowast;对于类MS中的每个紧致空间K都具有WLP(推论2.18)

Alexiewicz和Orlicz在他们的论文中还提供了一个弱连续非黎曼可积函数的例子。V. Kadets在[15]上证明了Banach空间X具有Schur性质当且仅当每个弱连续函数f:[0,1]→X是黎曼可积的。Wang和Yang将[29]中的结果推广到比范数拓扑弱的任意局部凸拓扑。在本文的最后一部分，我们给出了这些结果的一个算子理论形式，特别地，为[26]中Sofi提出的一个问题提供了一个肯定的答案。

• 1. 术语和准备

假设所有巴拿赫空间都是实数。在以下内容中，X^lowast;表示巴拿赫空间X的对偶。X和X^lowast;的弱和弱^lowast;拓扑将分别用omega;和omega;^lowast;表示。我们所说的算子是指巴拿赫空间之间的线性连续映射。R中的勒贝格测度用mu;表示。区间I的内部用Int(I)表示。拓扑空间T的密度特征齿(T)是稠密子集的最小基数。[a, b]sub;R是覆盖的非重叠闭子区间的有限集合。区间[a, b]可以划分成N份，{[t_iminus;1,t_i]: 1le;ile;N}，以及每个i满足s_iisin;(t_iminus;1,t_i)的点集{s_i: 1le;ile;N}。

设P = {(si， [timinus;1,ti]): 1le;ile;N}为[a, b]的标记分区。对于每个函数f: [a, b]→X，我们用f(P)表示黎曼和。P的范数为||P||:= max{t_iminus;t_iminus;1:1le;ile;N}。我们说函数f: [a, b]→X是黎曼可积的，对于积分xisin;X，如果对于每个ε gt; 0存在delta; gt; 0，使得对于[a, b]的所有标记分区P，范数小于delta;，|| f(P)minus;X ||lt; ε。在这种情况下，我们写成x = 。

用下列判据来证明某些函数的黎曼积分的存在性：

定理1.1：(参见[12])。设f:[0,1]→x。下列语句是等价的：

1. 函数f是黎曼可积的。

2. 对于每个ε gt; 0，存在一个分区Pε，其||f(P1)minus;f(P2)|| lt; ε，对于[0,1]的所有标记分区P1和P2，其间隔与Pε相同。

3.xisin;X，使得对于每个ε gt; 0存在一个[0,1]的分区Pε，使得当P是[0,1]的一个有标记的分区时，||f(P)minus;x|| lt; ε，其间隔与Pε相同。

我们还将关注基数。在本文中，c表示连续集合的基数，cov(M)表示最小基数，使得在[0,1]中不存在cov(M)稠密集，其并集为区间[0,1]。这个基数与最小基数相重合，使得在[0,1]中存在勒贝格测度为零的cov(M)闭集，并且它的并集不具有勒贝格测度零(参见[4，定理2.6.14])

如果对于每个正实数列，都存在一个区间的数列，使得每个nisin;N|,

Asub;cup;_nisin;N| I_n， mu;(In) lt; ε_n，则Asub;|R为强空。我们将对以下结果感兴趣:

定理1.2：(参见[22])。一个集合Asub;R是强空的，当且仅当对于每个勒贝格测度为零的闭集F，集合A F = {A z: Aisin;A，且zisin;F}具有勒贝格测度为零。

我们用non(SN)表示非强空集的最小基数。我们得到alefsym;₁le;cov(M)le;non(SN)le;c，在Martin公理下，因此在连续统一体假设下，non(SN) = cov(M) = c。此外，如果b = c，则non(SN) = cov(M)。然而，存在满足cov(M) lt; non(SN)的ZFC模型。关于这个主题的进一步参考和结果，我们请读者参考[3]。

2. 弱勒贝格性质

下面的引理为研究弱连续性提供了一个有用的工具

引理2.1：假设X是巴拿赫空间,D = {}_{iisin;Gamma;，}X^lowast;的稠密子集 (或者更一般的线性跨度密集在X^lowast;),f:[0, 1]→X是一个有界函数,Esub;[0,1]是f的弱不连续的点集，E_i是◦f:[0,1]→R对于每个iisin;Gamma;的不连续的点集。那么，E =cup;_iisin;Gamma;E_i。

证明：请注意，E_isub;E对于每一个iisin;Gamma;。由于{◦f}iisin;Gamma;的任意线性组合的不连续点的集合包含在cup;_iisin;Gamma;E_i中，我们可以假设D在x^lowast;中是密集的。我们证明了f在(cup;_iisin;Gamma;E_i)^c的每一点上是弱连续的。设xisin;x^lowast;，并设M是{||f(t)||: tisin;[0,1]}的上界。确定ε gt; 0和tisin;(cup;_iisin;Gamma;E_i )^c。那么，存在isin;D，使得||minus;x^lowast;||lt; ε/3M。由于t不属于E_i, t存在一个邻域U，使得对于每个trsquo;isin;U， | f(t)minus; f(trsquo;) | lt; ε /3，下式：

|x^lowast;f(t)minus;x^lowast;f(t)|le;|x^lowast;f(t)minus;f(t)| |f(t)minus;f(t)| |f(t)minus;x^lowast;f(t)|lt;ε

对于每一个trsquo;isin;U成立。因此，对于每个x^lowast;isin;X^lowast;，tisin;(cup;_iisin;Gamma;E_i)^c，x^lowast;f是连续的。

已知每一个具有可分离对偶的巴拿赫空间都具有WLP[28]。下一个定理给出了一个关于cov(M)的推广。

定理2.2：每个巴拿赫空间X，如 (X^lowast;)lt; cov(M)都具有WLP。

证明。设D = {}_iisin;Gamma;是X^lowast;中具有|Gamma;| lt; cov(M)的稠密子集，并取f:[0,1]→x是黎曼可积函数。我们证明了f几乎处处是弱连续的。设E_i是f的不连续点的集合，对于每个iisin;Gamma;。由于每个函数f是黎曼可积的，每个E_i都是测度为0的闭集的可数并集。因此，E:= cup;_iisin;Gamma;E_i测度为零，因为|Gamma;| lt; cov(M)。由引理2.1可知，E是f的弱不连续点的集合，因此f是几乎处处弱连续的。

推论2.3：每个具有可分离对偶的巴拿赫空间都有WLP。

空间￡₁有WLP，因为它有LP。由于每个渐近￡₁空间都有LP[19]，由Odell在[21]中定义的空间Lambda;_T是一个具有不可分离对偶的可分离巴拿赫空间，它不包含￡₁的同构副本，但它有WLP(它是渐近￡₁)。另一方面，James树空间JT(见[1，第13.4节])是一个具有不可分离对偶的可分离巴拿赫空间，它不包含￡₁的同构副本，也不具有WLP。

推论 2.5：（参见 [2]）C([0, 1]) 没有 WLP。

证明。 由于具有 WLP 的 Banach 空间的每个子空间都具有 WLP，并且每个可分离的 Banach 空间都与 C([0, 1]) 的子空间等距同构，因此根据先前的定理和 JT 的可分性，C([0, 1 ]) 没有 WLP。

推论 2.6： 令 K 为密集的 Hausdorff 空间。

1. 如果 K 是可度量的，则 C(K) 具有 WLP 当且仅当 K 是可测的。
2. 如果 C(K) 具有 WLP，则 K 是分散的。 反之则不成立，因为 c₀(c) 没有 WLP（定理 2.10）并且它同构于 K 散射的 C(K) 空间。

证明。 如果 K 是可数紧致度量空间，则 C(K)^lowast; 是可分离的 [10，定理 14.24]，因此 C(K) 具有 WLP（定理 2.2）。 如果 K 是不可数密集度量空间，则 C(K) 与 C([0, 1]) [1, 定理 4.4.8] 同构，因此 C(K) 不具有 WLP（推论 2.5）。 最后，如果 K 不是散射的，那么 C(K) 有一个与 C([0, 1]) 同构的子空间（见 [10，定理 14.26] 的证明），所以 C(K) 没有 WLP。

1. 弱连续性并不意味着可积性

并不是每个弱连续函数都是黎曼可积的 [2]。 事实上，V. Kadets 证明了以下定理：

定理 3.1：（参见 [15]。）如果 X 是一个没有 Schur 性质的巴拿赫空间，那么存在一个弱连续函数 f : [0, 1] → X 不是黎曼可积的。

先前定理的证明与 Josefson-Nissenzweig 定理（见 [7，第十二章]）一起给出了以下推论：

推论 3.2： 给定一个无限维的巴拿赫空间 X，总是存在一个弱^lowast;连续函数 f : [0, 1] → X<s

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