3.5荷载、剪力和弯矩的关系
从例题3.4-3.9可以明显看出，荷载，剪力和弯矩是相关的。因此，例如，均布荷载会产生线性变化的剪力，而且弯矩的最大值与零剪切力位于同一点。我们现在以数学的方法来推导这些关系。
图3.18（a）所示的梁段是常见的包括集中荷载和分布荷载w（z）一般的荷载系统。梁的单元长度delta;z的梁受力和力矩系统的作用如图3.18（b）所示。由于delta;z非常小，因此在长度delta;z。对于垂直平衡的元素
S -w(z) delta;z - (S delta;S) = 0
所以 -w(z)delta;z-delta;S=0
因此，在delta;z的极限趋于0时
=- w(z) （3.1）
图3.18 荷载，剪力和弯矩的弯矩
由式(3.1)可知，梁截面上剪力变化率，换句话说，剪力图的斜率，等于那部分荷载集度的负值。在图3.12(c)中，以剪力为例，从A点的wL到B点的0的线性变化使得在梁任意截面的剪力斜率图为- wL/L = -w，其中w为荷载集度。式(3.1)同样适用于集中荷载作用下的梁截面。在图3.13(a)中，理论上，B处的荷载强度为无穷大，B点剪力图的斜率也为无穷大(图3.13(d))。实际上，剪力图会如图3.14所示，在这一段有一个有限的斜率。
现在对式（3.1）关于z积分，得到
S = -int;w(z) dz C1 (3.2)
其中C1是积分常数，在特定情况下可由荷载载边界条件确定。
例如，如果w(z)是强度为w的均匀荷载，即它不是z的函数，则式(3.2)变为
S = -w(z) C1
图3.12悬臂梁的斜率-w直线方程如前一段所示。此外，对于特殊例子，z = L， C1 = wL，S=0的情况和之前的S = w(L - z) 一样。
在梁只承受集中荷载的情况下，荷载中间的跨度w(z)=0，且式（3.2）变为S= C1
使剪力在梁的卸载长度上是恒定的(见图3.11)。
现在假设式（3.1）在梁长为Z1和Z2之间积分。那么
给出 S2 -S1= （3.3）
式中:S1、S2分别为Z1、Z2段剪力。等式(3.3)表明两截面间剪力的变化等于负的荷载分布曲线下的面积除以梁的长度。
这一论点可适用于集中荷载W的情况，该荷载可视为作用于梁微段长度(如delta;z)上的均匀荷载。此时荷载分布曲线下的面积为wdelta;z(= W)，且从z段到z delta;z段剪力的变化为- w，换句话说，从紧靠集中荷载左边的一小段到集中荷载右边的一小段的剪力变化等于荷载的负值，如例3.6所示。
现在考虑图3.18(b)中微段长度delta;z的弯矩转动平衡 。有
M Sdelta;z-w(z) delta;z-(M delta;M)=0
涉及delta;z平方的项是二阶项，可以忽略。因此
Sdelta;z- delta;M=0
或者，当delta;z趋于0的时
=S （3.4）
式(3.4)建立了一般情况下，特别是在例3.4-3.9的剪力图和弯矩图中可以观察到的情况，也就是说在梁截面处的弯矩斜率等于该截面处的剪力值。例如，在图3.16(e)中，AB中的弯矩最大值与剪力为零在同一点。
对式(3.4)关于z积分得到
M= C2 （3.5）
其中C2 是一个积分常数。将式（3.2）的S代入式(3.5)中得到
M= C1 ] C2 （3.6）
或者
M= C1z C2
若w(z)为强度为w的均布荷载，则式(3.6)变为
M=- w C1z C2
结果表明，均布荷载作用下的梁长弯矩图方程为抛物线型。
在梁承载集中荷载的情况下，两集中荷载之间，w(z) = 0, 公式(3.6)简化为
M= C1z C2
结果表明，弯矩在荷载之间呈线性变化，且有斜率C1。
对于给定的梁，可从荷载边界条件中找到公式(3.6)中的常数C1和C2。因此，对于图3.12的悬臂梁，我们已经证明了当C1= wL，有M=-w wLz C2。
同时，当z=L，M=0且给出C2=- w，和之前一样M=-w wLz- w。
现在对式（3.4）关于梁长在和之间积分(图3.18（a）)。
得到
（3.7）
式中，和分别为和。由式(3.7)可知，梁两段弯矩的变化量等于两段剪力图的面积。同样，以图3.12的悬臂梁为例，我们可以看到A到B的弯矩变化为w, A和B之间的剪力图面积为w。
最后，结合式（3.1）和（3.4）得到
= - w(z) （3.8）
与采用例3.4-3.9中所述方法相比，上述关系可更容易地用于构建某些梁的剪力和弯矩图。此外，它们还可用于简化解决某些梁的问题。
例3.10构建如图3.19(a)所示梁的剪力和弯矩图。
最初，反力是用第2.5节中描述的方法计算的。因此，对于E点附近的梁的力矩平衡
x4-2x3-5x2-4x1x0.5=0
其中=4.5kN
现在考虑梁的竖向平衡
-2-5-4x1=0
所以 =6.5kN
在建立剪力图时，我们可以利用上述事实，即在梁的无载跨度上，剪力是恒定的，当荷载均匀分布时，剪力呈线性变化，当向下的集中荷载与荷载值在z轴正方向交叉时，剪力呈负向变化 。
因此在图3.19 (b)中，当我们从A的左边移到A的右边，剪力增加了4.5 kN, 在A和B之间，剪力保持恒定，但当我们从B的左边移到B的右边时，剪力减少了2kN，等等。注意在D和E之间，在D处的-2.5 kN到E的左边的-6.5 kN处，剪切力呈线性变化，即向下作用的均布荷载的总变化为-4 kN。
剪力
弯矩
图3.19 算例3.10的梁的剪力和弯矩图
利用上述关系也可以建立弯矩图，即弯矩随梁的无载长度线性变化，随承受均布荷载的梁长呈抛物线变化。同时，梁的两个截面之间的弯矩变化等于这两个截面之间的剪力图的面积。因此，在图3.19(a)中，我们知道在A处的固定支座处的弯矩为零，并且在 AB跨的弯矩是线性变化的。此时B处的弯矩等于A与B之间的剪力图面积，即 4.5 kN。事实上，这代表了从A点的0弯矩到B点的弯矩变化。C点剪力图左右都是7 kN (注意,在E点也是零弯矩),等等。DE跨的抛物线形状表明弯矩在均布荷载长度上的分布可由式（3.8）部分求得，即
= - w(z)
对于垂直向下的均布荷载，这个表达式变成
= - w
由数学理论可知，弯矩变化曲线沿弯矩正方向呈凸形。这可以在图3.12(d)、图3.15(d)和图3.16(e)的弯矩图中观察到。在本例中，完整梁的弯矩图如图3.19(c)所示，并再次绘制在梁的受拉一侧。
例3.11长度为L的预制混凝土梁将从浇筑床上吊起并运输，使最大弯矩尽可能小。如果梁是由两个吊索对称放置，表明每个吊索从相邻端起为0.21L。
梁上的外荷载完全由其自身的重量组成，沿其长度均匀分布。因此，这个问题被转化成了一种，承载均布的荷载，支座位于离两端距离为a的简支梁(图3.20(a))。剪力图和弯矩图可以用上述方法来表示，其形式如图3.20(b)和(c)所示。对弯矩图的检验表明，最大弯矩有两种可能的位置。首先，在B和C处，弯矩拱起，且从对称角度看具有相等的值；其次，在B和C点如果有足够的远的支撑距离，中间段的弯矩会有一个突变且是向下的。假设B和C的位置使得在B和C处的大弯矩值为
剪力
弯矩
图3.20 预制混凝土梁中支座最佳位置的确(例3.11)
在数值上等于跨中处的下垂弯矩。如果现在将B和C移动得更远，跨中弯矩将增加，而B和C处的力矩将减小。相反，当B和C越靠近时，B和C处的拱矩增大，而跨中弯矩减小。由此可知，当B和C处的弯矩与跨中下垂弯矩数值相等时，最大弯矩越小越好。
利用式(3.7)中的关系，可以简化求解。因此，当支座处于最优位置时，从A到B的负弯矩变化等于从B到跨中点的正弯矩变化的一半。A和B之间的剪力图的面积等于-1/2的B和跨中点之间的面积。那么
]
简化得
La-=0
得出结果
a=0.21L（负解无实际意义）
3.6扭矩
扭矩沿构件的分布可以通过考虑构件长度受力图中的平衡得到，方法与例3.4-3.9中用于确定剪力分布的方法类似。
例3.12 创建如图3.21 (a)所示梁的扭矩图
在B处存在一个不连续荷载，因此我们必须分别考虑AB和BC中和处的扭矩。因此，在图3.21 (b)和(c)所示的自由体图中，我们带入内部正扭矩。
由图3.21（b）
-10 8=0
所以 = 2 kN·m
从图3.21（c）
8=0
从而 =-8 kN·m
完整的扭矩图如图3.21 (d)所示
图3.21悬臂梁的扭转图
例3.13 图3.22所示的结构构件ABC在跨中产生了2 kN·m/ m的分布扭矩和10 kN·m的集中扭矩。A和C处的支撑物防止构件在垂直于其轴线的平面内转动。建立构件的扭矩图，确定扭矩的最大值。
从构件绕纵轴的转动平衡和跨中截面B处的对称可知，反力矩和各为 -9 kN·m，即在沿CBA方向上顺时针转动。总的来说，我们将在第十一章中看到，支承处的反力形成一个超静定系统。
在这个特殊的问题中，在B处有一个不连续荷载，因此我们必须考虑和两个任意部分的内部扭矩，如图3.23(a)所示。
图3.22 例3.13的梁
图3.23 算例3.13的梁的扭矩图
从图3.23(b)的受力图
2z-9=0
得到 =9-2z
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