悬臂梁的动态应变测量和基于FBG传感器的振动分析
摘要
旋转叶片的应变测量和振动分析对于提高机器性能的提升很重要。由于传统的传感器和测量方法难以测量转子叶片的动态应变和振动，因此寻找新的测量方法已经成为转子机器监测和诊断的迫切任务。本文提出了一种基于光纤布里格斯光栅（FBG）的新方法，用于测量旋转悬臂梁的应变和振动。该方法是在以下事实成立的基础上：振动位移可以用无数的振动模式表示，并且应变 - 位移关系与动态应变相关，通过放置多组FBG和光学耦合器，可以测量旋转悬臂梁的动态应变，可以同时测量振动。从这些结果就可以得出结论，利用FBG 是测量旋转叶片的非常好的方法。
关键词：测量，振动，应变，FBG，旋转悬臂梁。
1.引言
叶片是转子的很重要的部件，但是旋转刀片总会受到意外的碰撞，这可能会导致疲劳或造成灾难性故障，从而使得整个机械系统的寿命缩短。因此，转子叶片的应变测量和振动分析是提高旋转机械的性能的关键要素。
因为梁可以简化问题，所以旋转叶片通常被建模为旋转梁。在20世纪20年代初，Southwel和Gough 开始研究旋转梁的固有频率。他们提出了Southwell方程，它将自然频率与梁的旋转频率相关联。因为它简单易用 ，这个方程已被许多工程师广泛使用。
后来，Rubinstein为了获得更准确的自然频率，推导出一个可以计算旋转梁弯曲振动的线性偏微分方程。他将Ritz方法应用于偏微分方程，使得Southwell方程的分析模型可以得到更准确的系数。在20世纪70年代，计算技术的快速发展，出版了大量论文，旋转结构的模态分析可以用数值方法。例如，Putter和Manor应用假设模式近似法进行旋转梁的模态分析，还研究了对旋转梁的模态特性的各种其他影响。Hoa和Hodges研究了尖端质量的影响，Kuo等人研究了弹性基础和横截面变化。Kokoyama和Yoo研究了剪切形变，使用这些方法，可以有效地分析旋转梁的模态特性。
我们需要一些有效的方法来证明分析是正确的，所以测量实际应变和振动值是非常重要的。 当前的方法有是使用电应变仪，但是施加在转子叶片上的限制太多，所以必须开发新的测量方法。
FBG（光纤布拉格光栅）是使用强紫外激光束光蚀而刻成光纤的传感器元件。经过近二十年的发展，现在的FBG传感器技术趋于成熟。FBG可以测量应变和应变相关量，例如应力，变形，温度和位移等。而它的实际应用包括：监测公路，桥梁和航空航天部件。然而，使用FBG来测量旋转叶片上的应变，是巨大的挑战。在旋转机器中，将信号从转子传输到定子是要突破的难点。有几种实现信号传输方法是：滑环，遥测和FORJ（光纤旋转接头）。滑环能够将电信号传递到与旋转环接触的套管的静止部分，该方法用于观察燃气轮机转子叶片的动态应变。但是仍然存在一些未能解决的问题，比如衬套和旋转环之间的物理接触会产生电噪声。遥测是指信号经由IP网络或无线电波传输，可以覆盖超过100亿公里的区域，但是测量的速度会减小。FORJ（光纤旋转接头）是指信号在两个光纤之间传输，一个光纤旋转，另一个光纤是静态的，细管中的两根纤维被约束到四个自由度，但是由于管和纤维之间产生摩擦，从而将速度限制在小于10000rpm的速率。Kyungmok Kim 提出了一种使用五个FBG传感器来测量旋转叶片动态应变的方法。他的实验中，虽然速度小于2000rpm，但是该方法可以克服上述所有困难。
FBG是原理上的应变传感器。电应变仪是另一种常规应变传感器。通常，当应变传感器用于检测结构振动时，它们只能在一种主模式下检测近似振动，而不能高精度地检测振动，但是振动包括无数的振动模式，并且每个模式具有其自己的恒定增益。因此，我们可以利用这一点来高精度感地测振动。Chen-Jung Li和A. Galip Ulsoy 使用两应变仪方法检测梁的振动。在这些方法中，结构的振动位移由有限数量的主模式表示，每个模式具有其自身的恒定增益，可以在该模式中将位移分量转换成应变分量。Pavic 采用应变计来测量梁在平面内加速度和梁在轴向加速度。在本文中，应变可以表示为位移的空间导数。通过放置多组应变仪，我们可以测量位移振动。
本文在原理上利用Kyungmok Kim的方法，使用FBG测量梁的动态应变。 基于波长-应变-位移关系和具有多个模式的位移，我们开发了一种方法，即梁的振动可以表示为FBG的波长的变化。由于通常高阶振动模式对整体振动的影响变得越来越小，所以对于振动位移的测量，通常只需要考虑前几种主要模式。 本文提出了一种基于FBG的悬臂振动/应变/应力测量方法。
2.传感器原理和测量方法
1.FBG传感器的工作原理
FBG是利用通过光纤芯中的强紫外激光的干涉图案，从而形成的周期性变化的折射率。来自宽带光源的光与光栅相互作用，称为布拉格波长的单个波长被反射回来，同时发射其余的信号。FBG对应变和温度变化都比较灵敏。布拉格条件表示为：
B 2ne （1）
其中B 是FBG的布拉格波长;ne是纤芯的有效折射率；是光栅周期。
如果光栅受到外部干扰，例如应变和温度变化，则布拉格波长将改变。通过精确测量波长变化，可以得到如应变和温度的变化。由于应变和温度和压力引起的布拉格波长的偏移可以表示为：
(2)
其中K是应变的波长灵敏度系数;KT是温度的波长灵敏度系数，KP是压力的波长灵敏度系数。假设没有压力变化和温度变化，我们可以测量波长位移的应变为：
（3）
是光纤的应变光学系数。
2.旋转悬臂梁动态应变测量的工作原理
图1显示了测量动态旋转悬臂梁应变的工作原理：FBG安装在旋转梁上，宽带光从光源发射，经由旋转光学耦合器沿着光纤传播（旋转光学耦合器包括 两个部件，转子和定子，耦合器使光能够平行行进，允许转子和定子之间的光信号传输），FBG反射由询问器检查的特定波长的光。如果FBG受到外部干扰，例如应变或温度变化，则布拉格波长改变，然后收集相关数据。
图1.测量旋转悬臂梁上的动态应变的工作原理示意图
图2.旋转光纤耦合器的工作原理
图2显示出了光纤耦合器的原理，光纤耦合器由两个C透镜组成，两个C透镜之间具有2mm的气隙。一个C透镜轴向安装在轴的中心，另一个C透镜固定，与第一透镜同轴对准。C透镜将光纤中的光转为平行光的准直光束，准直光透射通过气隙，然后光信号可以在固定部分和旋转部分之间传输。
3.旋转梁的应变位移变换关系
假设以下条件成立的旋转悬臂梁：首先，梁具有均匀和各向同性材料性质; 其次，梁具有细长的形状，可以忽略剪切和旋转惯性效应；最后，仅考虑拉伸和平面外弯曲变形。图3显示出了固定到刚性轮毂上的悬臂梁的构造，该刚性轮毂围绕Z轴以恒定角速度omega;旋转，X , Y , Z表示笛卡尔坐标系，，，表示刚性轮毂中联合矢量。刚性轮毂A的角速度和点O的速度可以表示如下：
A （4）
vo r （5）
其中r表示刚性轮毂的半径。
图3.旋转悬臂梁
在本工作中，位置x处的振动位移可以作为无数的振动模式的位移的和，并且近似如下：
（7）
其中和分别是i阶的模态振型和时间响应。通过使用胡克定律关于纯弯曲的应力矩的关系，我们得到：
（8）
是在梁的不同位置处截面转动惯量，E是杨氏弹性模量。其中和是位置x处沿x轴的轴向应变和中性轴上方的距离r，是绕z轴的弯矩。
因此，开发了使用等式（7）和（8）来检测振动的新方法。 考虑这三种情况：第一种，考虑一种模式；第二种：考虑两种模式；第三种：考虑n种模式。
例1：孤立的一种模式
考虑到只有一种模式，我们可以将位移表示为：
（9）
因此，假设第一模式是主导的，位置处的位移可以表示为以下等式：
（10）
在位置处的应变近似为：
（11）
将方程（11）代入方程（10），我们得到：
（12）
这是与时间无关的系数比。
我们可以通过实验模态测试和解出系统的第一模态形状的上述特征值来获得的系数比，位置处的位移振动可以表示为测量的应变和系数比的乘积：
（13）
其中是测得的位移振动。 然而，实际测量的应变是由无数的振动模式组成，测量误差可以表示为：
（14）
从等式（13），可以看出，应该选择位置如:。例如，在x = L时，我们可以提高灵敏度。
例2：第一和第二模式
为了测试第一和第二模式，我们把两组应变仪放在，，我们可以表示位移为：
（15）
因此，假设第一和第二模式是明显的，位置处的位移可以表示为以下等式：
（16）
在位置处的应变可以近似为：
（17）
在位置处的应变可以近似为：
（18）
然后，我们获得：
（19）
是将转换为的变换矩阵的系数。
将方程（19）代入方程（16），我们将得到：
（20）
可以通过等式（21）获得测量误差：
（21）
例3：前n个模式
按照相同的程序，测量方法可以拓展到第一主导为n个振动模式，其中n的实际值取决于精度。在这种情况下需要考虑n组FBG。在位置x处测量的位移可以通过以下获得：
（22）
实际测量误差可以通过以下方式获得：
（23）
3.模拟和实验
1.模拟
图4.悬臂梁的模态形状
本节介绍了ANSYS的仿真结果。图5所示，悬臂梁固定到刚性毂上，该毂以恒定的角速度围绕Z轴旋转，假设该悬臂梁与第二部分中的悬臂梁相同。角速度不同，悬臂梁的固有频率不同，但模式形状相似，如图4所示，蓝线表示200rpm的第二应变模式。符号*表示0rpm的第二应变模式。
因此，我们选择了静态悬臂梁作为校准方法，来估计测量误差。 简单的支撑悬臂梁如图5所
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