第四章 连续性
在定义2.1和2.2中引进了函数概念和一些与它有关的术语。虽然我们（在后面各章里）主要感兴趣的是实函数和复函数（即值是实数或复数的函数），但是我们也要讨论向量值函数和在任意度量空间中取值的函数。我们在这个更一般的基础上将要讨论的定理，并不会因为我们限制在（例如）实函数而显得容易些，放弃不必要的假定和用适当普遍的措辞来叙述和证明定理，反而会使得情景确实简洁了。
我们的函数的定义域也是度量空间，遇有不同的要求，便加以适当的说明
函数的极限
4.1 定义 令X和Y是度量空间，设E包含于X。f将E映射到Y内，且p是的E极限点。我们写作当x→p时f(x)→q, 或
（1） limf(x)=q
如果存在一个点qϵY具有以下的性质：对于任意的εgt;0，存在delta;gt;0，使得
（2） dY(f(x),q)lt; ε
对于满足
（3） 0 lt; dx(x,p)lt;delta;
的一切点xϵE成立。
记号dx和dY分别表示X和Y中的距离。
如果X和Y换成实直线，复平面或某一欧式空间，那么距离自然换成绝对值或相应的范数。
我们还可以将这个定义用序列的极限改述为
4.2 定理 令X,Y,E,f和p是定义4.1说的那些，那么
（4） limf（x）=q
4.3 定义 设有定义在E上的两个复函数f和g，我们用f g表示一个函数，它给E的每个点x配置的数是f(x)和g(x)。我们用类似的方法定义两个函数的差f-g，积fg及商f/g,约定商之定义在E的那些使g(x)=0的点x上。如果f给E的每点x配置同一个数c，那么f就叫做一个常数函数，或简单地叫做一个常数，并记作f=c。设f和g都是实函数，如果对于每个x属于E来说f(x)gt;=g(x),那么有时为了方便，就记作fgt;=g。
类似的，如果f和g把e映入R内，便用
（f g）(x)=f(x) g(x), （fg）(x)=f(x)g(x)
来定义f g及fg；再若tau;是实数，便定义（tau;f）(x)= tau;f(x)
4.12 评注 我们定义了在一个度量空间X的某个子集E上定义的函数的连续概念。然而，E在X 中的余集在这个定义中不起任何作用（注意，这情况同函数的极限有些不同）。因此，去掉f的定义域的余集我们毫不介意。这就是说，我们可以只谈度量空间映入另一度量空间内的连续映射，二不谈子集的映射。这样可以简化某些定理的叙述和证明。我们已经在定理4.8和4.10中引用了这个原理，并且在下边关于紧性的一节中还要这样做。
连续性与紧性
4.13 定义 将集E映入R内的映射f叫做有界的，如果有一个实数M，使得分f（x）对于一切满足xϵE满足∣f(x)∣le;M。
4.14 定理 设f是把紧度量空间X映入度量空间Y内的连续映射，那么f(X)是紧的。
证 设Valpha;是f(X)的一个开覆盖。由于f连续，定理4.8说明每个集是开的。由于X是紧的，那么存在着有限个指标alpha;1，⋯，alpha;n使得
（12） Xisin;f（Valpha;1）
由于对每个Eisin;Y来说，那么，（12）就意味着
（13） f(X)isin;f（Valpha;1）
这样就完成了证明。
附注：我们利用了关系式，它对于Eisin;Y成立。如果Eisin;X，则两种情形等号都未必能用。
现在我们推到定理4.14的几个结论。
4.15 定理 如果f是把紧度量空间X映入内的连续映射，那么，是闭的和有界的。因此，f是有界的。
这可以从定理2.41推出来。这个结果当f 是实函数时特别重要:
4.16 定理 设f是紧度量空间X上的连续实函数，并且
(14) M=supf(p), m=inff(p)
那么，一定存在着两点gamma;,delta;isin;X，使得f(gamma;)=M,及m=inff(delta;)
（14）中的记号表示M是一切数f(p)（这里p遍历X）的集的最小上界，而m是这个数集的最大下界。
这个结论也可以叙述如下：在X中存在着两点gamma;和delta;，对一切来xϵX说，f(gamma;)le;f(x)le;f(delta;)即f在r点达到它的最大值并且在s点达到它的最小值。
证 根据定理4.15，f（X）是一个闭的且有界的实数集，因此，根据定理2.28，f（X）包含M=supf（X）及m=inff（x）。
4.17 定理 设f是把紧度量空间X映满度量空间Y的连续1-1映射，那么，按
在Y上定义的逆映射f，是Y映满X的连续映射。
证 将定理4.8应用到（代替f），我们看到只需证明，对于X中的每个开集V来说，f(V)是Y中的开集。设取定了一个这样的集V。
V的余集在X中是闭的，因而是紧的（定理2.35），因而是Y的紧子集（定理4.14），因而在Y中是闭的（定理2.34）。由于f是一对一的，并且是映满的，所以是的余集，因此，分f（V）是开的。
4.18 定义 设f施度量空间X映入度量空间Y内的映射。我们说f在X上是一致连续的，如果对于每个gt;0总存在着一个gt;0,对于X中一切满足的p和q来说，都能使
dY(f(p),f(q))lt;ε
让我们来考虑连续和一致连续这两个概念之间的区别。首先，一致连续是函数在一个集上的性质，而连续则能在单个点上来定义。问一个给定的函数在某一点上是否一致连续，是没有意义的。其次，如果f在X 上连续，那么对于每个εgt;0和X的每个点p，可以找到一个数delta;gt;0。具有定义4.5所说的性质。这个依赖于x也依赖于p。但若f在X上一致连续，便能对于每个εgt;0,找到一个数delta;gt;0，它适用于X的一切点p。
显然，每个一致连续的函数是连续的。从下面的定理可以知道，在紧集上这两个概念是等价的。
4.19 定理 设f是把紧度量空间X映入度量空间Y内的一个连续映射。那么，f在X上一致连续。
4.20 定理 设E是中的不紧的集，那么
（a）有在E上连续却不是有界的函数。
（b）有在E上连续且有界，却没有最大值的函数。
此外，如果E是有界的，那么
（c）有在E上了连续却不一致连续的函数
证 先设E是有界的，因此有一个点设为x0，它是E的极限点，却不是E的点。考虑
这个函数是在E上连续（定理4.9），但显然无界。为了看出（21）不一致连续，设是任意的，并且取一点使，取一个与x0足够近的t，这时尽管还是可以使得大于，因为对于每个都这样，所以f在E上不一致连续。
如果从假设中去掉有界性，论断（c）就不成立了。例如，设E是一切整数的集，那么定义在E上的每个函数都在E上一致连续。为了明白这一点，只需取定义4.18中的delta;lt;1。
我们在本节最后，证明定理4.17中的紧性也是不可缺少的。
4.21 例 设X是实直线上的半开区间（0,2pi;）,Y是一切到原点的距离为1的点组成的圆，并且f是由
F(t)=(cost,sint) (0le;tlt;2pi;)
定义的，使X映满Y的映射，三角函数余弦与正弦的连续性，以及他们的周期性将在第八章中建立。使用这些结果，容易看出，f是把X映满Y的连续1-1映射。
然而，逆映射（它存在，因为f是一对一的并且是映满的）在点（1,0）=f（0）不连续。当然，这个例子中的X不是紧的。（尽管Y是紧的，而还是不连续的，注意到这一点是有益的。）
连续性与通性
4.22 定理 设f是把连通的度量空间X映入度量空间Y内的连续映射，E是X的连通子集，那么f（E）是连通的。
4.23定理 设f是区间上的连续实函数。如果f(a)lt;f(b),并且c是一个间于f(a) lt;c lt; f(b)的数，那么必有一点xϵ(a,b)使f（x）=c。
当然，如果f(a) gt; f(b)也有类似的结果成立。粗略地说，这定理是说连续函数能取得一个区间的一切中间值。
证 根据定理2.47，（a,b）是联通的，于是定理4.22说明是连通子集，如果再一次借助于定理2.47便得到所要证的论断。
4.24 评注 初看起来，好像定理4.23有一条逆定理，即是说：如果对于任何两点以及之间的任一数(x1,x2)都有中的一点x，使分f（x）=c,那么f必需连续。
从例4.27（d）可以得出结论：并不如此。
间断
如果x是函数f的定义域的一点，而在这点f不连续，那么我们说f在x间断。如果f定义在一个闭区间或定义在一个开区间上，那么习惯上把间断分为两类。在讲这分类之前，我们必须定义f在x的右极限和左极限，对此，分别用f（x ）和f（x-）表示它们。
4.25 定义 设f定义在（a,b）上，考虑任一点x，如果对于（x，b）中一切满足的序列来说，那么我们就写成
F(x )=q
为了对于alt;xle;b，得到f(x-)的定义，我们就把序列tn限制在（a,x）之内。
显然，在（a,b）的任一点x，存在，当且仅当
F(x )=f(x-)=limf(t)
4.26 定义 设f定义在（a,b）上，如果f在一点x间断，并且如果f（x ）和f（x-）都存在，就说f在x发生了第一类间断，或简单间断，其他的间断称为第二类间断。
函数具有第一类间断点的方式有两种：f(x )ne;f(x-),（在这种情况下与f（x）的值无关）或f(x )=f（x-）ne;f(x)。
外文文献出处：
Walter Rudin. Principles of mathematical analysis[M]. China machine press, 1976: 83-94.
外文文献原文附后
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