多项式的极值外文翻译资料

多项式的极值

多项式的极值

非积分的求和：用代数法代替导数法求多项式的最优化。

RALPH P. BOAS, JR. Northwestern University MURRAY S. KLAMKIN University of Alberta

一个众所周知的初等计算问题是：我们可以从一个2a x 2b的矩形片中，在其四个角上，通过切割全等的正方形（边长为x），然后将它折叠起来，制成一个开口盒使它的体积最大化。这里，在0 lt; x lt; a的定义域内，是要被最大化。虽然该解决方案通过计算是既简单又有效的，我们将给出一个解决方案，这个方案通过算术平均值和几何平均值不等式关系之间的合理应用。这种方法比起导数法的应用来看是不太直接的，但它有它的优点，它可以在初等课程中使用（即使在中学）来解决多项式类型的优化问题。特别的是，所有有关使得锡罐，盒子等最优化的问题的标准，可以通过我们的这种替代方法分析出来。这是可能的，因为公式的使得算术平均值与几何平均值不等式关系的结果，既没有任何吸引力在限制的过程中，也没有类似导数这样的计算。算术和几何平均值之间的不等式，它可以在一个相当初级的方式来证明[1,2]，如果说都是非负数，那么

(1)

当且仅当所有的是相等时，等号成立。 （在这里和整个文章中，数组i可取的数值为1,2，...，n。）它立刻遵循这样的结果：当受到限制要去满足（一个常数）的条件，那么最大化的结果是，其最大值为。在我们的开口盒的例子中，我们希望体积最大化是各项乘积的倍数，在其总和是恒定值的条件下。具体地来讲，，其中的总和是恒定的。

但是，我们不能在这种情况下，保证所有这三项都是平等的，也就是说，正如被要求的，为了要满足上述的应用条件。然而，我们可以很好的最大优化V的任何常数倍的等式，所以我们将寻求一个合适的倍数。要做到这一点，我们在三个项中将Ⅴ的未知多倍数以这样的方式进行分配，使得x，a - x ，和b - x的倍数彼此相等。换句话说，我们试图找到正数p, q, 和 r ，这样 当仍然是常数。然后 就是V所需要的多倍数。为了保证总和 是一个常数，我们只需要 p = q r，然后这三项(q r)x, q(a - x), 和 r(b - x)之间就能保证是相等的，当且仅当 x = qa/(2q r) = rb/(2r q)。这种情况将式子降低到一元二次方程的s = q/r，它的根是一个（且只有一个）正数。发现这个结果之后，我们可以使用上述的优化条件，用原始参数a和b来表示 Ⅴ的最大值：

这个解决方案与导数法的条件之间的联系需要进一步的解释。

如果我们让lambda;表示 px, q(a - x) 和 r(b - x)几项的共同倍数，则p =lambda;/ x，q =lambda;/(a - x), 和 r =lambda;/(b - x)。将这些代入到 p = q r之间的关系表达式后，我们可以得到

相当于

我们现在扩大方法，这样这就可以被用于发现最大值

，，

在区, 其中是正整数。我们考虑，代替，更改后得到的结果，

，

其中是实数，且满足当，和。我们令，那么算术平均值和几何平均值关系的不等式（1），应用到N中，正数，每次当重复时，我们可以得到Q（x） 是最大化的, 在上,当所有的是相等的。如果我们让lambda;表示公共值那么; 因此的要求可以表示为

(2) , ，

这是一个对x而言使得最大化Q（X）的必要和充分条件。因此∣P（x）∣最大，在上，有值，其中r（是唯一一个）等式 (2) 在的根，

不同的对数揭示了式子（2）仅仅是。为了完成我们的观点，我们应该得出这个事实通过基本手段等 （即不需要微积分），因为那时我们将有一个纯代数做示例，将达到最大，在达到零点时。更多的是，由于式子（2）是用的根表示的，为了直接获得式子（2）的根我们首先必须找到的所有根。我们知道式子（2）的根，只是的根就可以避免这种繁琐的过程。

所以，为了得到我们过程中的结论，我们要证明，如果有，

那么就得到

这个可以在一个简单的，但缺乏想象力的方式来完成，通过判断的P（x）的根的数量。我们将在下面通过完全不同的方法获得这个结论。

在此之前，我们需要注意，刚才所描述的方法，并不完全是全新的。算术-几何平均不等式的应用手段在之前的极值问题中出现过很多次，例如，参考[3，4，5]。Garver[4]使用一个类似于用在这里的程序，但是仅说明了一些包含两个或三个变量（和可变为2个）的具体实例的方法。所以，他没有获得这样的导数公式——能够直接得出一个所需的临界值。

Lennes[6]给出一个不同的代数程序（在代数几何学中被众人熟知的），但他只说明了多项式的2次，3次和4次。他得到了 P（x）的局部极值（如果有的话），通过确定P（x）= b有一个重根的条件。这根，然后通过消除法获得。在Lennes的方法中，P（x）的根不必是实数。 （顺便说一句，我们的方法，因此可以延伸到复数根，更多是，通过对复共轭复数根使用复共轭加权）。我们将Lennes方法扩展到一般的多项式：

因为它有助于完成上面开始的过程，得出一些不错的决定性的应用。

设b是一个数，满足p（x）= b有二重根，令 ，，，，hellip;, 表示P（x）=b根，定义通过

然后，通过在等式左右两边同时乘以，和相同的系数，我们得到有关n – 1的线性方程，用n – 2个未知数，，，...，，表示。

(3)

这个体制是一致的，当且仅当一个方程是其他方程的线性组合，并且这发生的非常精确，当

沿着第一列扩大，我们可以将这个方程表示为

其中，表示的n阶以下对角三角形行列式

现在，它遵循 (n 2);该表达式减少了预期导数方程的行列式方程：，

（系数可以替代，因为根是-r，而不是r）这表明，通过基本手段， P（x）的极值出现在。

Lennes方法，同样可以适用于找到有理的函数的P（x）/Q（X）的临界点。不失一般性的，我们可以把P（x）的第n次和Q（x）的n- 1次（注，如果没有Q的次数gt; P的次数，我们会考虑用Q/P来替代，而如果当Q的次数= P的次数，那么P/Q= k R / Q，其中R的次数 lt;度Q. 的次数。）如果

和

那么对于P（x）= bQ（x）的有重根，我们得到方程（3），被换成 b。像以前一样解决这些，我们得到与P（X）-bQ（X）=0所对应的东西。由于P（X）= bQ（x），这等同于

，

此前Lennes，Genese [7]采用了类似的比较容易开展的想法。要使用Genese的方法，我们要找到一个b使得

，

会有作为一个因子。对于U要整除（x-r），我们必须有，由剩余定理，让 ，那么，

从中，通过重新整理每个项，我们得到

(4) ，

如果U/（x-r）是通过再次整除（x-r），我们必须得到零，如果我们在式子（4）的右侧让x=r：

，

这不过是无处不在的导数方程，它的项在某种程度上需要重新整理。重组之后得到熟悉的形式：

注意，如果U也可以被x-r的较高次数整除，就有，其中e是最大的指数，那么，如果e为奇数，在x = r时U不具有最大值或最小值。

这三个代数方法提供可供选择的非微积分法的多项式优化。在每种情况下，P（x）的极点由一个特殊的性质识别——算术平均值和几何平均值关系的等式，P（x） =b的重根或P（x）的重复因式——即做不需要导数概念。但是，必要的是，在每种情况下的结果正是导数方程P（x）=0。

参考文献

[1] G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. P6lya, Inequalities, Cambridge University Press, Cambridge, 1934, p. 20 (iii).

[2] Problem 807, this MAGAZINE, 45 (1972) 172.

[3] E. F. Beckenbach, R. Bellman, An Introduction to Inequalities, Random House, New York, 1961.

[4] R. Garver, The solutions of problems in maxima and minima by algebra, Amer. Math. Monthly, 42 (1935) 435.

[5] N. D. Kazarinoff, Geometric Inequalities, Random House, New York, 1961.

[6] N. J. Lennes, Note on maxima and minima by algebra methods, Amer. Math. Monthly, 17 (1910) 9.

[7] R. W. Genese, Mess. Math., 1 (1872) 32-34.

[8] T. J. Fletcher, Doing without calculus, Math. Gazette, 55 (1971) 4-17.

剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

英语原文共 5 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

资料编号：[287080]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word