教具如何提高数学教育的质量外文翻译资料

教具如何提高数学教育的质量

原文作者 Afzal Ahmed, Alison Clark-Jeavons and Adrian Oldknow

摘要：对象(有结构的或无结构的)、图像、语言和符号之间的相互作用和联系导致了数学推理和非常广泛的普遍性的数学命题的陈述，这是非常值得深入研究的。我认为，在许多教师的头脑中，数学思想是由物体构成的方式与物体的特殊特征之间的细微差别往往是不清楚的。在全体会议上，在同事们的帮助下，我想用实际的例子和情况来探讨课堂上讨论的数学概念和用来帮助抽象的对象之间的区别。利用交互技术创造数学意义将是我的同事的贡献的重要组成部分。

关键词：交互技术，数学抽象，教学辅助（教具）

原则提倡许多学校每天接收验证。在这里，数学实践和理论方面的协调和发展；有简单的画法几何学工具、建模和绘画的帮助；几何理论和实际几何绘图和测量说明并协助对方:理论和实验力学相互关联和纯粹数学。总而言之，基础数学的所有分支，无论是纯粹的还是应用的，理论的还是实验的，都在适当的时候混合在一起，这样头脑就能把它的数学概念和过程看作一个美丽的、有序的、强大的整体，而不是碎片和碎片。

他们选择了一个非常丰富的主题,使用的材料发展学生的数学活动,汇集了所有的基本要素。关心数学教育和使参与者表达各自不同的经历和观点在某种程度上有助于我们反思和完善旧问题和给表面带来新的。选择“微妙”的主题是波兰数学教育家似乎擅长的一门艺术。例如，1960年在克拉科夫召开的CIEAEM会议的主题是“去数学化”。对某些人来说,这意味着逻辑基础,其他功利主义的话题应该为每一个孩子在学校的课程,给别人这可能意味着该框架的基本思想是追求更高水平的关键主题的发展现状。会议的目的是协调这些方面。我认为，这次会议的主题与1960年会议有许多相似之处。无论我如何努力去关注主题的一个方面，我总是回到以下三个方面:

——数学的本质。

——人们如何学习，尤其是数学。

——对数学的看法以及人们对数学的反应和参与方式。

在这次全体会议上，我将努力解决这些问题，但不是系统地。第55届CIEAEM国际方案委员会在其第二次公告中明确表示，就作为过去数学结构体现的教具和结构材料进行了大量讨论和研究。这次会议的目的是在最广泛的意义上解释“教学材料”，并把重点从材料本身作为一个讨论的问题转移到在数学学习和教学中使用这些材料。因此，我将使用“教具”来包含用于支持数学教学的结构化和非结构化材料，包括计算机和计算器。

1.教具及其使用

首先，让我向你们展示一些我发现的，经常引起英国数学教师兴趣的人工制品和工具。它们要么是带有有趣的数学(经常被误用)的商业软件包，要么是用于演示数学特性和原理的结构化设备。

在英国，教师中似乎有一种很大的趋势，就是寻找这样的“好主意”来教学。如果想法和资源有吸引力，不管出于什么原因，它们都会在课堂上被采纳。如果它们发挥了作用，它们就会成为教师技能的一部分;如果它们没有发挥作用，人们总是可以寻找其他东西。然而，最近中央政府机构接管了提供好主意和推荐资源的职能，并规定了最佳的教学时间、顺序和方法。现在不是讨论这种现象的时候，也不是向听众提供上下文以外的地方，因为我可能会选择并强调一些问题。

让我以分数块的使用为例，它引导学生绘制分数矩形来计算答案，例如，1/2 1/4。一些学生(图1)画了两个长方形，一个分成两半，另一个分成四分之一，计算阴影部分和部分的总数，得到答案2/6，另一些学生把两个长方形分成四分之一，得到答案3/8。甚至不清楚那些得到3/4正确答案的学生是否能证明为什么使用的工具是正确的答案。

1/2 1/4 = ?

1/2 1/4 = 2/6

1/2 1/4 = 3/8

图1所示。一名儿童解答关于分数的解答

对于分数的误解，如上述，Dickson et al.(1984)阐述了分数3/5的六种完全不同的表现形式。根据这些作者的观点。使用分数、小数和百分数的困难之一是它们有多种含义。因此，任何特定的数字，比如3/5(或0.6或60%)，都可以用许多方式来具体解释，所有这些都出现在日常生活应用中。这与整数相反，整数主要用于计算离散的物体，或者计算单位的重复次数，如计算长度等等。

物体(有结构的或无结构的)、图像、语言和符号之间的相互作用和联系导致了数学推理和非常广泛的概括性的数学命题的陈述，这是非常值得深入研究的。我认为，在许多教师的头脑中，数学思想是由对象构成的，而对象的特殊特性之间的细微差别往往是不清楚的。例如,当我们在一张纸上画一个三角形,通过这个我们一般命题证明三个角加起来180°,值得反思的是它是如何,这个非常特殊的三角形让我们演绎的如此广泛的普遍性。如果我们仔细检查我们所画的图形，就会发现它根本不是一个三角形——三个相当不均匀的标记，可能还有钝角!不过，这似乎对证明没有任何影响。在这种情况下，三角形实际上是一个想法，而不是一个对象。这是一个从现实世界中提取的心理图像，它有助于数学思维，比一个物体丰富得多。Papert(1980)将这种思维工具描述为“与思考有关的对象”。

《数学教具协会公报》的第一期(弗莱彻，1955年)在社论中概述说，它将刊载涉及整个数学教学领域的文章，特别注意教学设备和视觉教具的使用和发展。继续说，数学教学需要不断的研究，旨在提高教学技巧知识的研究和旨在提高数学技巧知识的研究同样困难，也许更重要。没有人能比那些在教室里积极学习的人做得更好。

从早期开始，我们已经看到了关于“人类学习”的研究和文献的大量增加，以及学习技术辅助的发展。为了达到这些目的，如何更清楚地表达这些目的，如何经济有效地利用这些见解和工具，对所有对数学教育感兴趣的人都是一个挑战。我不认为教师可以继续处于这一进程的边缘。在奇切斯特大学学院数学中心，我们工作的主要重点是教师积极参与研究过程以及理论的解释和形成。

2. 数学教学目标影响教具的使用

国际上对数学教育和研究的性质和科学进行了深入和持续的讨论。如前所述，我们为什么要教数学以及如何有效地学习数学，这一观点必然会影响教学方法，进而影响教具的使用。为了进一步说明这一论点，请考虑以下“粗糙的”两极分化。

*数学程序被教授给所有的学生，因为他们将在日常生活和应用中帮助他们

图2注意乘法表中的模式:如6times;12=8times;9

95%的人口需要使用教学大纲中不到 5%的程序来从事日常生活或应用于科学、工业或商业。因此，数学教学主要不是关于内容，而是关于抽象、概括、证明等过程。

为了说明上述情况，让我参加两次同样极化的考试，这些考试是用来伴随 上述信念的教学方法。学生可以通过提供 20 或 30 组数字来练习乘法。另一方面，它们可以提供 一个乘法表方块，如图 2 所示，并要求它们研究如果它们选择的正方形中的 两个对角线互数相乘会发生什么。

第二种方法显然是一种丰富的方法，因为它允许一系列的探索和问题，例如：它只适用于 2x2 平方吗？它与矩形一起工作吗？其他形状呢？其他尺寸的桌子方格呢？它也可以导致新的发现和新的问题以跟进。

为了证明第二种方法的合理性，人们必须相信： 学习数学鼓励人们的态度、思维习惯、思维模式、策略等，使所有人都能理 解和回应他们以前没有遇到过的新情况。

迪涅斯（1978）强调数学的抽象性.对他来说，它完全被剥夺了任何外部 无关紧要的东西，只有概念上的裸露骨头被保留了下来。从噪音中消失 9根据 迪恩斯的说法，摆脱无关紧要的东西，深入到真正的信息中去，是一种资产， 它将使所有人都能够应对我们生活中多样化和不断发展的环境。

数学抽象过程的核心是规律或模式的发现和表现。引用 Steen（1990 年）： 数学是一门探索性的科学，它试图理解每一种模式-发生在自然界中的模式，人类头脑发明的模式，甚至是其他模式创造的模式。为了在数学上成长，儿童必须接触到适合他们自己生活的丰富多样的模式，通过这些模式，他们可以看到多样性、规律性和相互联系。

对我来说，这意味着发现和表达模式和关系需要学习者的行动，而不管年龄或能力如何。数学关系可以以多种方式传达，这一事实使所有儿童和成人 都能接触到它。因此，我认为，数学的基本概念必须从人类的经验和存在中 提取出来。也许数学的形式化常常使我们无法理解“常识”基于经验作为检查数学过程和算法的有效、不可缺少和合法的基础。显然，教学材料/工具的使用可以在发现和表达关系船只方面发挥重要作用。我现在想重点介绍一下教具的用途和特点。

3.教具的特点

Biggs(1972)将发现数学的过程分为五类:偶然的、自由的和探索的、引导的、有指导的和程序化的。广泛的含义是，在一个极端，偶然的发现不能被计划，但它确实发生了。在另一个极端，程序化的发现意味着严格的、定向的学习顺序。它可能容易分类教学材料平行这种分类特别是当我们有结构化的装置的例子如茎、奎逊纳和二烯烃的街区和可用性的材料,如计数器,鹅卵石和商业包装设计与特定数学结构或属性。对于材料，一个更有效的观点是，我们如何提供材料，使其具有足够的开放性，以鼓励孩子们描述他们感知事物的不同方式，同时确保对他们数学发展的支持。

杜威（1966）认为游戏在各个发展和成熟阶段都是有价值的。 第一阶段接触任何材料，在任何成熟的年龄，必然是试错排序。一个人实际 上必须尝试，在游戏中，用材料做一些事情.然后注意到他的能量和所使用的 材料的相互作用。这就是当一个孩子第一次开始建造积木时发生的事情，同样也是当一个科学人员在他的实验室里开始对陌生的物体进行实验时发生的事情。

数学游戏的优点也被许多数学教育工作者所强调。例如， 当面对新的数学情境时，数学游戏可以被所有年龄的人所利用。我们相信，这部剧的使用可以扩展数学视野；增加它们各自的数学知识之间的联系，对子对象产生积极的态度；提高数学的成功学习和理解。（Holton 等人，2001 年）

我们所说的“数学游戏”是指用来解决数学问题的部分过程，包括实验和创造来产生想法，并使用数学的形式规则来遵循任何想法得出某种结论。数学游戏没有明显的短期目标;它的设计是为了允许完全自由的部分求解者漫步在数学景观提供给他们。然而，有一个长期的目标，那就是解决目前的问题。这出戏往往会超出解决当前问题的必要范围。

赫特（1966）区分了探索和游戏。她认为探索是在新的情况下发生的，是有方向的，目的是确定一个物体的性质。另一方面，游戏只发生在一个已知的环境中，其目标不是“这个对象做什么”，而是“做什么”可以用这个对象做什么。

在我们对数学游戏的描述中，以下关于工具如何呈现的含义是隐含的。

一他们必须允许以学生为中心的活动，由学生负责这个过程。

一他们利用学生目前的知识。

一它们有助于发展学生之间的联系当前的心理图式，而他们正在与工具交互。

一它们加强了目前的知识。

一它们通过帮助将来获得知识来协助将来解决问题/进行数学活动。

通过提出上述几点，我试图提出，尽管工具可以在固有或内置的数学结构的程度上有所不同，但工具不能确保特定的理解会产生。不同的学生将以不同的方式使用相同的工具，这取决于他们带来的概念，因此将建立不同的理解。教师的作用在他们介绍工具的使用方式中是至关重要的。

我们现在来看电脑。

4.电脑作为教具的媒介

papert（1980 年）认为，在我们拥有计算机之前，数学的基本方面和引人入胜 的方面之间的联系并不多，而是在日常生活中牢固地植入了经验。

但计算机——一种讲数学的计算机。在家庭、学校和工作场所的日常生活中能够提供这样的链接。教育面临的挑战是找到利用它们的方法。

23 年后，我们在多大程度上更接近于应对 Papert 在获取越来越多的诡辩电子辅助设备以及关于学习和获取知识的证据方面所面临的挑战？

美国国家研究委员会关于数学未来的报告（1989 年）指出，尽管数学和计算之间有着密切的智力联系，但学校数学对计算机革命所暗示 的课程变化几乎没有做出任何反应。课程、课文、测试和教学习惯-但不是学 生-都是计算机前时代的产物。对于数学教育来说，没有什么比学校阻止学生 学习他们认为自然的东西的环境更糟糕了。

我的同事阿德里安和艾莉森现在将对上述关于在教学和学习数学中使用技术的起诉作出回应。

4.1联系代数和几何推理项目的例子

我（艾德里安）想换个说法,这是一个略有不同的问题：我们有许多强大的 ICT 工具-用做数学、学习数学和教数学。但是我们如何利用它们来达到最佳效果呢？

图3：屋顶结构的照片

我的例子来自于英国 Qualifi 阳离子和课程管理局（Q CA）的一个当前项 目，我正在与剑桥大学的肯尼斯·鲁思文合作：将代数和几何推理与动态几何 软件联系起来，也来自 Old know 的两篇文章（2003 年 a，2003 年 b）。

通过数码相机、扫描仪和国际网络等技术，我们可以很容易地以各种常见格式（jpeg、tiff、bmp 等）获得丰富的数字图像。这使教师和学生能够很容易地将来自外部世界的图像带入数学教室。例如，图 3 中的图像是从数学协会杂志“数学公报卷”的标题页上复制的照片中扫描出来的。2002 年 11 月 5 日。它显示了英国曼彻斯特附近的斯托克波特火车站的部分屋顶结构。这种 图像可以很容易地作为动态软件中草图的背景的一部分导入，例如 Geometer 的画板（GSP）或 C

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How Can Teaching Aids Improve the Quality of Mathematics Education

原文作者 Afzal Ahmed, Alison Clark-Jeavons and Adrian Oldknow

ABSTRACT:The interplay among and connections between objects (structured or unstruc-tured), images, language and symbols that lead to mathematical reasoning and the stating of mathematical propositions of very wide generality is well worth closer study. I believe that the subtle distinction between the way mathematical ideas are constructed from objects and the particular characteristics of the objects is often not clear in many teachers minds.In the plenary, with the help of colleagues, using practical examples and situations, I would like to explore the distinction between the mathematical ideas that are being discussed in classrooms and the objects that are used in helping with abstractions. The use of interactive technology in the creation of mathematical meanings will form an important part of my colleagues contributions.

KEY WORDS: interactive technology, mathematical abstractions, teaching aids

The principles here advocated are receiving daily verification in many schools, where the practical and theoretical aspects of mathematics are coordinated and developed: where simple descriptive geometry aids and is aided by clay-modelling and drawing: where theoretical geometry and practical geometrical drawing and mensuration illustrate and assist each other: where theoretical and experimental mechanics are associated with each other and with pure mathematics: where, in fine, all the branches of elementary mathematics, pure and applied, theoretical and experimental, are commingled at appropriate times, so that the mind sees and uses its mathematical conceptions and processes as a beautiful, well-ordered, and powerful whole, instead of a thing of shreds and patches.

They have chosen a really rich theme, The use of didactic materials for developing pupils mathematical activities, which brings together all the essential elements concerned with mathematics education and makes it possible for participants to articulate their diverse experiences and perspectives in a way which helps all of us to reflect on and refine old issues and bring to surface new ones. Choice of subtle themes is an art in which the Polish mathematics educators seem to excel. For example, the theme of 1960 CIEAEM conference in Krakow was mathdmatiques debase. For some it meant the logical foundations, to other the utilitarian topics which should be in the school course for every child, to others again it might have meant the framework of elementary ideas which is the key to the pursuit of higher levels of the subject in its current state of development. The aim of the conference was to reconcile these many aspects. I believe that the theme of this conference has many parallels with the 1960 conference. However much I tried to focus on an aspect of the theme, I kept returning to the following three areas:

- The nature of mathematics.

- How people learn, particularly mathematics.

- Perceptions of mathematics and the way people react to and engage with mathematics.

In this plenary, I will grapple with these ideas, but not systematically.The International Programme Committee of CIEAEM 55 made it clear in their Second Announcement that much discussion and research had taken place on teaching aids and structural materials as embodiments of mathematical structures in the past. The aim of this conference was to interpret didactic materials in the broadest sense and shift the emphasis from materials themselves as an issue for discussion to the use of these in the learning and teaching of mathematics. I shall therefore use teaching aids to encompass structured and unstructured materials, including computers and calculators, used to support the teaching and learning of mathematics.

1.TEACHING AIDS AND THEIR USE

Let me begin by demonstrating to you some examples of artefacts and tools,which, I have found, often interest teachers of mathematics in the UK.These are either commercial packages with interesting mathematics, often misused, or structured apparatus designed to demonstrate mathematical properties and principles.

In the UK there seems to be a great tendency among teachers to be looking for such good ideas for teaching. If ideas and resources appeal, for whatever reasons, they are taken in the classroom. If they work, they become a part of the teachers repertoire, if they do not, one can always look for something else. More recently, however, the function of providing good ideas and recommending resources has been taken over by the central government agencies along with prescribing the best time, sequence and methods of teaching. This is not the time or the place to discuss this phenomenon beyond offering a context to the listeners for the reasons why I may be selecting and emphasizing some issues.

Let me take an example of the use of fractions blocks that had led pupils to drawing fraction rectangles to calculate the answer for, say, 1/2 1/4. Some pupils (Figure 1) drew two rectangles and divided one in halves and another in quarters and counted the shaded parts and the total number of parts to get the answer 2/6, others divided the two rectangles in quarters and did the same to get the answer 3/8. It was not even clear if those pupils who obtained the correct answer of 3/4 could justify why the answer was correct with reference to the tool used.

1/2 1/4 = ?

1/2 1/4 = 2/6

1/2 1/4 = 3/8

Figure 1. Childrens solutions of a fraction problem

With regard to misconceptions about fractions, such as the above, Dickson et al. (1984) illustrated six totally different manifestations of the fraction 3/5. According to these aut

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