相场法中界面任意方向凝固动力学的高效建模计算方法外文翻译资料

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相场法中界面任意方向凝固动力学的高效建模计算方法

我们在这篇文章中所呈现的数学结论极大地提高了纯物质凝固过程的相场法模拟计算效率。这些结论给我们解决d₀/W更小时的问题中提供了可能性，也使得我们能够计算小的过冷度条件下和三维尺寸的模拟问题。此外，它还让我们能够选择计算参数来建立一个具有任意动力学系数的Gibbs-Thomson环境。模拟过程大致符合稳定状态生长问题条件下的Greenacute;s方程的数值解。

人们一直在寻找新的计算方法，来解决在凝固场和其他场中界面运动模式的这一类十分困难的数学问题。也许最经典的例子就是熔体中纯物质的凝固过程中产生的枝晶结构。这个问题被著名的方程表达为：

其中u =（T-T_M）/（L / C_p）为无量纲温度场，T_m为熔点，L为熔化潜热，C_P为恒压热容。 方程（3）是与速度有关的Gibbs-Thomson条件，其包含界面的非平衡动力学因素， 此外，V_n，u_i，u]^plusmn;,kappa;,d₀（theta;）以及beta;（theta;）分别表示：界面法向速度，界面上的值u，垂直于固相一侧和液相一侧所在平面方向的导数，界面曲率，各向异性毛细长度以及具有各向异性的界面动力学系数。 远离界面处，u =-Delta;，其中Delta;=（T_M- T_infin;）/（L / C_p）表示无量纲过冷度，T_infin;表示过冷液体的初始温度。

已经探索出了几种方法试图直接求解由方程（1）-（3）定义的只与时间有关的的自由边界问题（TDFBP）。 这些方法包括：时间相关的边界积分公式： 考虑和不考虑界面动力学因素的变分算法，以及利用具有多个可旋转网格的界面前沿跟踪方法来最小化各向异性的影响。所有这些方法已经在二维场中产生了枝晶，其看起来相似。 然而到目前为止，对枝晶尖端的定量测试实验的描述只有在我们的文献中有所提到。 我们发现用四个旋转网格可以得到精确的尖端速度。 一般来说，因为跟踪明锐界面和解决小的各向异性的系列问题，我们要得到可靠的结果仍然非常困难。 此外，还有一个例外，追踪明锐界面的方法不容易扩展到三维尺度。

相位场方法是解决TDFBP的另一种方法，它是基于相变连续条件的模型。其主要是通过非保守有序参量或相位场phi;来区分相场，序参量在每项中都是连续的。这个相场变量场在厚度为W的扩散界面区域内平滑地变化。然后它的动力学项用在明锐界面条件（KWlt;lt;1）下简化的方程（1）-（3）的方式与u耦合，其中曲率k比 W大得多）。相场法中对固 - 液界面的这种处理方法具有巨大的的识别优势，避免了其他方法所有的界面前沿追踪问题。因此，计算起来相对简单，而且可以轻松扩展到三维情。但是相场法存在两个局限性，目前严重限制了其应用范围。

界面动力学因素。 第一个限制是该方法只能用于求解存在于Gibbs-Thomson条件下的界面动力学的TDFBP。 因此，它不能用来模拟动态过冷度beta;Vn与曲率过冷度d0K相比可忽略不计的重要物理限制情况下的物质凝固过程。对于纯物质，该方法实际上在beta;V_n远远大于d0K的条件下非常适用。

晶格尺寸和毛细长度因素。现有的明锐界面限制条件下的相场模型分析认为，u在这个厚度尺寸的界面上是不变的。 这意味着，u在尺度W的界面上上的变化的量级应该比beta;Vn小，其~Wv_n/D或者beta;gt;gt;W / D.此外beta;和d0的尺度分别为tau;/（lambda;w）和w/lambda;，其中tau;是相场的弛豫时间，lambda;是 u和phi;的耦合常数。 因此约束beta;gt;gt;W / D意味着d₀gt;gt;W³/Dtau;（4）。我们也可以通过更为严格的分析来获得。 实际上，由于枝晶尖端半径尺寸随着d₀ / g（Delta;）而变化，其中g（Delta;）随着Delta;增加急剧增加，因此需要在大尺寸网格的模型中来模拟。 这一结论与Wang和Sekerka 最近的数值研究结果是一致的。这些作者表明， 与计算参数无关并且满足自我连续的吉布斯汤姆逊条件 的可靠的枝晶生长相场模拟，只能在一个过冷度Delta;为（0.8-1.2）的范围内使用，也就是尖端半径足够小的范围内使用。 而且，即使在这个范围内，也需要大约1000times;1000的二维网格。 即使在最快的超级计算机上，将这些扩展到三维后的计算也是困难的。

在本文中，我们证明可以消除相场法带来的上述限制，从而大大扩展其应用范围。 我们首先从分析的角度出发，说明这种方法可以扩展并创造一个任意小或为零beta;的Gibbs-Thomson环境，并且受到比方程（4）的制约更小限制的d₀。 然后，我们对二维的枝晶生长进行定量数值试验，来证明我们分析结果的适用性。 我们在这里介绍我们分析的基本要素和最为相关的数值测试。 有关两者的更详细的论述将在其他地方给出。

我们的演示是基于在明锐界面限制条件下，具有空间温度场变化的界面区域的纯材料凝固的相场模型。 我们考虑二维维场中定义的各向异性模型方程：

其中ϴ= arctan（part;yphi;/part;xphi;）是垂直于相界面的方向与x轴所成的角度。 固相和液相分别对应于phi;= 1和phi;= -1，它们是满足方程（5）的空间均匀的固定点。 p（phi;）=phi;是最简单的函数，它包含界面处潜热的产生，当p（phi;）= 15（phi;- 2phi;³ / 3 phi;⁵/ 5）/ 8，方程 （5）和（6）简化为用于Refs计算的熵公式。 我们发现，为了使用方程（5）和（6）解决TDFBP，两个选择都较好，但第一个选择更有效率。 为了清楚起见，我们首先在一维空间限制下进行分析，然后将结果推广到曲面界面。 在参考文献中给出了在这个限制下的一个更加正式的，但是完全等价的推导，它涉及界面Peclet数WV / D（为了渐近展开所加入的关键性的小参数之一）。

在X~W的区域内，我们寻找方程 （5）和（6）在 x轴方向界面以瞬时速率V推进的条件下求解方程：

为了简洁表达，令tau;（0）=tau;和W（0）= W。 当V = 0，我们容易得到稳定解phi;₀（x）= -tanh（x /radic;2W）和u₀（x）= 0。 我们现在看在V很小的条件下，解的微扰的形式phi;（x）=phi;₀（x） delta;phi;（x）和u（x）= delta;u（x）。方程 （8）左边的三项分别为Vdelta;u / W，Ddelta;u / W²和V / W。在delta;ult;lt;1且WV/Dlt;lt;1 的条件下，第一项相比与第二项和第三项很小，可以忽略。我们因此很容易地得出了方程（8）的解：

给出。其中和A是由delta;u（x）匹配外部解u（x）而确定的两个积分常数，u 和u^-分别代表固相（液相）一侧的u。 在外部区域中，|x|gt;gt;w,u^plusmn;简单地服从一维扩散方程part;_tu^plusmn;=Dpart;²u^plusmn; ，由于part;_t phi;=0，因此，在对应区域Wlt;lt;|x|lt;lt;D / V， u^plusmn;的形式为u^plusmn;（x）= u_i part;_xu]^plusmn; x，其中u_i和part;_xu]^plusmn;分别是在明锐界面限制条件下界面两侧的过冷度和界面两侧沿垂直于界面方向的温度梯度，令 delta;u（x）= u^plusmn;（x）（Wlt;lt;|x|lt;lt;D / V).得到条件：A = V / 2 Dpart;_xu] ，A = -V / 2 Dpart;_xu ]^-和u_i = VD^-1 F / 2其中F = [p（phi;₀（x）） 1] dx，在前两个条件中消除A得到V = D（part;_xu]^- part;_x u] ），这是通常情况下的的质量守恒条件式（2）。现在我们需要一个的额外条件来确定u_i，后者是通过将phi;= phi;₀ delta;phi;和u =delta;u 代入等式（7）中得到：

由于part;_xphi;₀是方程（10）的解，该方程的右侧必须与该函数正交，以使解delta;Phi;存在。 可解性条件表示为u_i =-beta;V，动力学系数beta;为：

其中I，J和K是由可解积分产生的常数。 各个常数的数值是I = 2 2/3和J = 16/15给出，与p（phi;）的选择无关; 当p（phi;）=phi;，K =0.13604和F = 1n2; 对于p（phi;）= 15（phi;-2phi;³/3 phi;⁵/5）/8时，K=0.22359.F = 0.49412。我们指出在方程（9）中的Ax中的x是临时的，它由方程 （10）在可解性条件下得到的积分也同样会消失。 这神奇的的性质解释了为什么u_i不包含我们曾简单认为的梯度校正项 ~part;_tu]^plusmn; 。 二维尺度的弯曲界面是直接产生的。 我们很容易看到，曲率中引入不影响界面内部区域中u场解的序参量kappa;Ddelta;u/W的修正系数时，只要kWlt;lt;1。此外，可以通过上述的可解性条件，在曲率引入序参量k的修正系数， ，得到文献中导出的Gibbs-Thomson条件下的标准的具有各向异性的曲率过冷度项，经过直接计算，在明锐界面限制条件下以及方程（1） - （3）的限制条件下我们简化了方程（5）和（6）

方程（13）右边的方括号中的部分表示由在厚度为W的界面中u的变化产生的界面动力学系数的一个修正。这是本文的主要结果，使得相场法的扩展有了可能。在lambda;W²/Dtau;lt;lt;1的限制下。 这一项减至一个单元，就像之前在明锐界面限制条件下的分析一样，假设u是常数。由于式（12）表示d₀~W /lambda; ，这个限制相当于d₀gt;gt;W³/Dtau;，这正是有效的明锐界面限制下的环境，其中u为常数，如方程（4）所描述。相反，方程（13）的有效性不受d₀约束。我们注意到，仍然有四个约束条件：ǀkappa;ǀlt;lt;1，Wǀv_nǀ/Dlt;lt;1,lambda;ǀuǀ（1-Phi;²）²lt;lt;1以及tau;ǀv_nǀ/Wlt;lt;1，它们来源于明锐界面假设，且通常和生长环境有关；此外，我们可以发现，这些条件对d₀的限制比方程（4）要小得多，特别是当Delta;很小的时候。此外，由于（K JF）/ I是一个正常数，动力学系数beta;（theta;）可以通过改变lambda;W²（theta;）/Dtau;（theta;）的比例来随意调整，特别的，我们定义W（theta;）= Wf_w（theta;）和tau;（theta;）=tau;f_tau;（theta;），令f_tau;（theta;）=f_w（theta;）²它可以被消掉，这时

我们报告的时当动力学系数为零时的数值测试的有趣情况。 结果是p（Phi;）= Phi;。我们使用标准二阶有限差分法来对 方程（5）和（6）进行离散化处理，除了▽²Phi;使用最近邻和次近邻的点来用九点公式来离散化处理，以减小网格的各向异性。我们分别使用一阶欧拉方程和二阶隐式克朗克 - 尼科尔森（Crank-Nicholson）方程对phi;和u场进行时间步进。在不同尺寸N _Xhtimes;N _yh的二维网格上模拟树枝晶生长。我们使用简单的四重晶体各向异性函数f_w（theta;）= 1 εcos4theta;，并选择f_tau;（theta;）和lambda;，使得beta;（theta;）= 0。在所有模拟中ε= 0.05, tau;= 1，W = 1，h = 0.4，Delta;t = 0.016。通过以0.1为步长逐步减小h进行模拟来选择h的值，直到V_tip值变化量不超过1％或2％。在方程（14）中，通过改变D来改变d₀值；改变lambda;的值，以及两个不同的Delta;值来运行模型。在u = -Delta;的空间分布均匀的过冷度的条件下，在网格的一个角落处放置一个四分之一个小圆盘状的晶胚进行模拟。 N_x足够大以超过动态瞬态并且能使尖端速度达到稳态值V_tip。

为了对我们的模拟结果进行基准测试，我们单独解决了由方程式（1）-（3）定义的稳态增长问题， 其中part;_tu=-V_tippart;_xu这就使我们能准确使用参考文献中使用的标准边界

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