最理想的点阵结构材料外文翻译资料

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最理想的点阵结构材料

C.梅斯纳 劳伦斯利弗莫尔国家实验室，

L-227 808信箱，利弗莫尔，美国加州94551

摘要

这部分工作描述了最佳的点阵结构材料的方法。这些材料是周期性狭小分子的排列，类似于高收益的，轻量化的宏观尺度上的结构比如桥梁和建筑物。当前的增材制造技术能够将点阵结构与从纳米到毫米变化的长度的范围集合在一起。之前的工作证明了点阵材料具有极其优越的比刚度和比强度，胜过自然的材料。然而，当前没有方法来制造最佳的将可能的3D点阵拓扑构型考虑进去的微结构。用来最优化点阵材料的周期性结构的不均匀化的方法需要一个参数化的，均质的材料模型，这个材料模型描述了任意结构的响应。这部分工作建立了这样一个模型，它开始于描述任意点阵的宏观规模上的变形的方法。这部分工作将均质的模型与对于形成一个参数化的模型的整体的设计的描述联合起来。最后，这部分工作提供了能够最优化结构的方法。一些例子证实了最优化的方法。其中的一个例子制造了一个线弹性的，各向同性的，最大化刚度的结构，这儿把它叫做IsoTruss结构（复合束管状结构），可以比各向异性的八面体点阵结构性能更好。

关键词：点阵材料；微结构；最佳化

1. 绪论

点阵材料应用有效设计原理，轻量化的微结构，比如楼房和桥梁，来建立中尺度的材料建筑。这样的点阵结构材料有极其优越的比刚度和比强度，使得对于轻量化的结构应用很实用(Zheng et al., 2014).增材制造技术现在能够将点阵结构达到纳米尺度，而且商业上可获得的技术能够将金属点阵与毫米量级上的长度集合在一起(Yan et al.,2012).在这些尺度上，将作为有效材料的结构与架构的晶格结构联系在一起就变得很合理。考虑到这方面的点阵材料忽视了一些在捕捉宏微观变形的细节，通过均质的模型可以得到有效反应。

看作材料的宏观结构的晶格结构是材料设计一个极好的架构。增材制造过程提供了一个打印材料介观结构的设计的控制，它轮流控制了有效的材料反映。这部分工作的目的是找到来优化结构比如强度和弹性刚度的方法。之前用来优化点阵结构的方法致力于一个特定的小的细胞形状，固定构型，通过改变细胞里的材料的贡献来优化反应(Guo et al., 2006; Valdevit et al., 2013; Wicks and Hutchinson, 2001).这部分工作描述了用来最优化周期性点阵的拓扑结构，位置和连接杆件的数目。大致的方法能够检验设计周期性细长点阵，并且能够对新型材料结构优化。

两种方法可以考虑细观结构优化问题。一个方法是不把点阵结构作为一种有效的宏观物质，而是在空间域结构上优化一个独特的，非周期的连接类型。这样的结构不是严格的晶格材料，因为它们不是周期性的。然而,从根本上说，这些结构和点阵结构材料应用相同的设计原则。以前的方法用来找到这样的结构通常采用离散型桁架或框架的优化方法（应et al.，2009；Ben Tal

bendsoe，1993）源自Dorn等人的1964年的地面结构的方法。bendsoe等人在1994年提供这些方法的评论。然而，类似的细长杆结构也从连续优化方法中产生，例如看到Rozvany等（1992）、欧霍夫等人（1991）及许多其他人。

另一种方法涉及两个尺度的设计方法。在每个材料点优化器调用参数化、同质化的模型来确定当地的、有效的材料特性。这些方法将同质化反应嵌入成一个宏观的结构优化问题，目的用来尽可能在空间域中的每个点找到最佳的局部结构，由均质材料模型的参数描述（见bendsoe和Kikuchi，1988；Allaire等人，2004；Allaire，2002）。这种方法已被应用到静态线弹性，二维晶格尺度问题的执行周期的限制（Niu et al.，2009；Hyun和Torquato，2002）。Le et al.（2012）用于不同的结构–依次排名类似的层状复合材料优化方法–通道动力学能量通过复合结构。Le et al.与层状复合材料相关的工作不加强微观结构相容性-相邻材料点的局部微观结构可能是完全不一样。这意味着优化的结构可能是不可行的制造。这儿描述的方法定义了一个本质周期设计空间的优化问题。也兼容了得到的最优的介孔结构。

这两种方法之间的有名的是Sigmund（1995）的方法以及以后的由Sigmund和他的同事们（例如Neveset al.，2002）以及Liu et al.（2008）和Huang et al.（2013）的相关工作。这些方法设计使用选定的最优化技术的单单元电池-- Sigmund的接地结构方法。技术计算了同质化的性能由平铺阵列这些离散单元结构。这些方法最接近这里描述的方法。然而，虽然Diaz 和 Benard（2003）在二维尺度上研究其他类型的细胞，这些以前的方法假设一些先验的单元电池的对称性，经常是立方或平方。因此，他们不同时检查所有的晶格材料的完整的设计空间。这里描述的方法克服了这个限制，检查一个完整的子空间格的设计空间，到选定的限制对点阵的复杂性在第2节中进行描述。

这项工作通过均质模型的周期性介孔结构对有效的点阵材料结构进行优化。为优化点阵mesoarchitectures这样一个框架，需要两个组件。一部分是均质材料模型，它将一个周期性的，支撑和连接的材料，对其有效的、宏观的性质来进行描述。这里所描述的模型建立在由Hutchinson和Fleck（2006），Srikantha phani（2006）等人以前的模型。并且作者（Messner et al.，2015）和代表的长波长线性弹性性能和一般的近似的破坏面，三维点阵材料–以拉伸和弯曲为主。这种形式的模型，在第2部分提出，确保最佳的结构将保持杆件的相互连接在节点。第二个必要的是对于点阵设计空间的参数化描述。这种参数化描述，将在第3节中展示，描述了作为一个紧凑的实数向量任何可能的点阵拓扑构构型。采用这种描述可以探索整个设计空间中找到最佳的介孔结构。参数化的形式确保结构所需的平移对称性没有任何优化问题本身的约束。最后，优化方法可以与参数化模型一起工作，结合对于点阵材料的空间与宏观响应的一般模型的参数化描述，来寻找最优结构。这部分工作采用优化的方法来描述两个新的介孔结构。

在这项工作中解决的优化问题本质上是细观结构。优化的目标是对于一个给定的结构特征比如刚度和强度，平铺在一个域的周期性内，找到大体上有用的结构。然而，这里开发的概念可以扩展到找到最佳的结构在每一个点在空间优化领域的宏观结构优化问题的解决。这项工作的最后部分简要描述了这样一个扩展的方法，包括一个要求生产制造的材料的额外的相容性约束的讨论。讨论还描述了在优化的周期性结构中弹性边界层的形成，以及这些边界层怎样影响有效材料的属性。最后，第5节总结了在这部分工作中形成的结论。

2.一般点阵材料的线弹性和极限状态分析

这项工作考虑了周期性晶格结构的类型的响应，如图1所示，在交集处叫做框架，在节点处叫做接头。

图1.用选择性激光熔化法构建点阵结构的一个例子。结构是一个9⨉9⨉9八面体单元拓扑平铺（Deshpande et al.，2001）。大部分材料是Ti–6Al–4V和细胞的几何形状，它的有效的材料相对密度是10%。

节点周期性地排列，这样，如果一个节点是位于位置 然后节点i也位于

对于所有的整数 ，其中 是晶格矢量；n是点阵维度--n=2二维，n=3三维。这种描述基于偏移 将接头分为等效集K，所以

对于所有整数 ，描述一个联合集。坐标系统可以选择，联合组 。把它叫做 。如果格节点都包含在这个单中，则成为点阵简单体。如果需要多个联合集来描述结构称为点阵复合体。

集合的联合的基向量可以等价地描述周期性关节位置。用这个方程来描述

描述了所有关节位置的整数乘法器 ， isin;B，一组向量。设置的起源在关节的位置，之前，一个简单的格B = { 0 }和位移向量从以前的联合集描述是共同的基向量： 。晶格的程度由 定义，所以d=0是一个简单的格。

考虑原始单元，定义为空间的平行四边形封闭（二维）或长方体（3D）由晶格矢量 决定。由联合基向量所描述的点，从0偏移，全部落在这个本原之内

并且单元格可以表示为分数格坐标，这样

其中 。原始单元等效节点集合中包含几个 –4–2D或3D -8但在其余各联合组只有一个关节。

晶格的原始单元描述由晶格矢量给出的平移对称性下的整个结构。本文假定本单元的弹性响应可以由均匀，无阻尼的线性模型，根据时间的函数将单元中每个关节的位置和旋转参数化。连接这些节点自由度为向量u，模型采用的形式

M是单位单元质量矩阵，K是单元单元刚度矩阵。随后的推导是不可知论者

的特定结构理论用于生成这种线性模型，但该理论应充分描述的变形机制发生在结构。后一节介绍了具体的结构理论，例如在这项工作中的问题：考虑轴向变形，扭转和欧拉-伯努利弯曲的两个方向的框架单元。

2.1．布洛赫波解

鉴于前面描述的问题，叠加的布洛赫波描述的周期晶格的动态变形的精确解。布洛赫的理论描述了一个传播波与波矢k和频率omega;作为位移场的周期性晶格和空间相移的叠加。对于每一个关节，在联合设置K的晶格关节位移和旋转在所有的晶格等价点 ，由下面给出：

在这里， 表示的位移场的周期的一部分，其余的表达描述的波矢k和关节位置x的空间相移 。因为每个节点集合K共用了这部分的位移周期性晶格。寻找一个给定的波矢k需要找到的模态频率和振型omega;节点对应的收集完整的布洛赫解。

根据不同的格与波矢k布洛赫波可以在几个变形模式传播拓扑。这些模式是一个特征值问题用布洛赫相移条件的单元线性模型制定解决方案（方程（5））。分接头在原始单元分为两类：那些在J0和其余节点集JK。方程（6）将关节在J0的位移和旋转联系在一起。剩余的自由度，属于联合集J1，J2，hellip;都是免费的，因为只有一个关节的各类型出现在单元。类似于Srikantha Phani等人。（2006）和作者以前的工作（梅斯纳等人，2015），这些布洛赫波的约束可以重申对单元刚度矩阵和质量矩阵的变换，所以新的平衡方程是：

其中 。当自由的自由度转化时，变换矩阵的条目施加布洛赫约束的束缚自由度。开展的时间导数在式（7）中的广义结果特征值问题：

给出了波矢k，求解这个方程给出了模态频率omega;和相应的模态形式，用 来描述。

求解方程的结果（8）在波矢空间往往是总结了色散关系，如图2所示。这些图形说明周期性结构中的所有模式，拉伸波数和频率之间的关系，八面体点阵（图2a）和一个弯曲主导的点阵、菱形十二面体（图2b）。此图显示了图底图所示方向上的波传播关系。该图像只显示一条通过束缚布里渊区的线，在原点开始，为了突出对应的长波长理论-开发在下一节-伴随着低频率的布洛赫响应。由于这些结构具有立方对称性的范围 包含独特的色散关系与晶格参数。

2.2.长波长极限下的弹性性质

考虑到布洛赫解所描述的长波长的限制（方程6），让波矢k→0。这限制了描述了长波长和频率低，波传播的等价变形模式多单元坐标。作者以前的工作（梅斯纳等，2015）表明，对于典型的点阵结构，与长波长极限逼近材料的动态保留了低频精度振动与准静态变形的精度。

图2.对于在指定方向波的色散关系（a）八面体和（b）十二面体细胞。用细杆体波速 非频率归一化dimensionalizes色散关系的八面体伸展为主，使这一无量纲色散关系适用于相对密度值。弯曲的动力学支配菱形十二面体取决于轴向、弯曲和扭转模态的组合，，所以色散关系不能正常无量纲化。对于RD细胞，这个数字显示的相对密度为10%的关系。

在长波长极限下，布洛赫相移消失。此外，Cauchy–Born假设与强加的宏观应变与 接头平移相仿射

J0旋转，和执行周期联系在一起却没有任何变形的相关的宏观措施。剩余的自由度，与其余的联合集，是无约束的。变换矩阵 将自由度和旋转变换J0单元线性模型联系在一起

然后分区缩减自由度，所以在三维尺度上：

在这个分区 是与 相关联的八个位移–仿射关节相关的宏观应变，根据Cauchy–Born假设，是主要旋转和来保留剩余节理集D（K）/theta;（K）的自由度。全局分区 将自由度混进为一组固定的宏观应变–位移 和一组不相连的宏观尺度上的变形–主要的旋转和剩余的自由度。

基于这个，将变换后的单个的单元刚度和质量矩阵分成块：

注意，通过中尺度的单元刚度矩阵的对称性， 和同样的质量矩阵。这分区如Gong et al. (2005)。

从这个分解写出单个细胞的应变能为

利用节

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