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基于小波变换的改进阈值降噪算法研究
CUI Huimin, ZHAO Ruimei, HOU Yanli
Institute of Information Science amp; Engineerning
Hebei University of Science and Technology
Shijiazhuang, China
摘要：信号在传输过程中很容易因为被噪声污染而不能被接收机正确接收。因此，受污染的信号应当进行相关降噪处理以提高接收信号的质量。在对小波变换的相关理论以及软、硬阈值降噪算法的研究分析之后，我们提出了一种改进的基于小波变换的降噪算法，以此来改善信号的含噪情况。该改进算法克服了硬阈值降噪算法的不连续性，同时也降低了软阈值降噪算法中的偏差。最后，我们还会对同一种信号分别进行硬、软阈值算法及改进算法仿真处理。仿真结果表明，改进阈值降噪算法在改善信噪比（SNR）和降低均方根误差（RMSE）方面优于硬、软阈值降噪算法。
关键词：小波变换；阈值降噪；SNR；多分辨率分析
1.介绍
在传统降噪方法中，通常使用傅里叶变换来将信号分离为高、低频成分，并进一步滤除高频成分来滤除噪声。使用该种方法时，由于高频有用信息和噪声会同时被滤除，这样会导致信号在高频部分产生一定的失真。小波变换时基于时间-频率定位的一种分析方法。其窗口的大小固定，但是形状可变。这一点克服了傅里叶变换的缺陷，即时域上的瞬时变化不能反映在频域上。小波变换适用于信号。在低频部分，它有更高的频域分辨率和更低的时域分辨率，同样地，在高频部分，有更低的频域分辨率和更高的时域分辨率。
在小波变换中，就目前而言，主要有阈值降噪法，系数相关降噪法以及最大模值降噪法这三种方法。在阈值降噪法中，含噪信号通过小波变换进行分解，并将有用信号的小波系数保持不变，噪声小波系数根据已定的合适的阈值进行置零。在系数相关降噪法中，小规模的小波系数是直接与其相邻尺度的小波系数相乘，以此增强信号，所减弱的噪声符合该特性，即相邻尺度的信号小波系数是相关的，相邻的噪声小波系数是独立的。该方法适用于分析边缘信号的特性[1]。噪声和有用信号在小波变换域中有着不同的变化趋势。有用信号中奇异点的模最大值随着尺度的增加而呈正的Lipchitz指数形式，噪声的奇异点的模最大值随着尺度的增加而呈负的Lipchitz指数形式。在最大模值降噪法中，则是通过对有用信号的模最大值进行重构来实现降噪。该种方法尤其适用于含有较多奇点的信号，但是耗时较长。
在上述方法中，小波阈值降噪法是在实现上最为简单的方法，且计算时间最短，因而得到了广泛应用。在本篇论文中，我们针对小波变换理论以及阈值将在的过程进行了详细分析。在对经典的硬、软阈值降噪算法进行研究分析之后，我们提出了一种改进的算法。同时，为了更好地分析降噪效果，我们分别将上述三种方法（硬阈值降噪，软阈值降噪，改进阈值降噪）在Matlab7.0中进行仿真。
2.小波变换
在小波变换中，我们通常使用一种分析函数，即母小波函数。它符合可允许条件：，其中，是母小波函数的傅里叶变换。对连续小波变换（CWT）而言，其平移参数和伸缩参数分别变化。即我们可以认为，连续小波变换使用的是母小波函数的的一组经平移和伸缩后的函数族，即
（1）
其中，。
对任意的函数,其连续小波变换（CWT）为：
（2）
为方便计算机分析和处理，信号通常是离散序列，因此其小波变换也应是离散化的。如果函数被离散化为，且将参数置为，参数置为，那么该函数的离散小波变换为：
（3）
3.小波阈值降噪
- 多分辨率分析
在实际应用中，我们通常采用基于多分辨率分析的快速算法，即Mallat算法，来提高离散二次小波变换的计算速度。Mallat算法即为：
（4）
其中，参数对应于缩放函数的低通滤波系数，对应于小波滤波函数的高通滤波系数，是原始信号，是比例系数（信号的近似部分系数），是小波系数（信号细节部分的系数）[2]。离散二次小波变换的重构如下：
（5）
其中，是的共轭，是的共轭。
- 阈值降噪
多分辨率分析的本质即为信号在具有不同频率的不同空间中被分解。不同尺度的信息可以显示信号在不同频率下的特性。在每次分解中，信号被分解为两个部分。一部分是包含信号高频信息的细节部分，另一部分是包含信号低频信息的近似部分。近似部分可以进一步进行分解，以获得更详细的细节和近似部分。三层小波分解图如图1所示。
图1 三层小波分解
在图1中，分别对应着信号在不同尺度下的近似部分，则分别对应着信号在不同尺度下的细节部分。有用信息中包含的噪声一般会出现在中。中的小波系数通过阈值降噪算法进行降噪处理，有用信号则通过处理好的小波系数的小波逆变换来进行小波重构。通常，一维信号的降噪处理包含以下三步[3]：
含噪信号在选择相应小波即基函数以及小波分解M层后的小波系数后，通过正交小波变换来进行分解，以获得相应的小波系数。
在每层中，选择合适的阈值，以阈值量化的形式处理高频系数。
信号重构则是通过来自层的低频系数和从1到层的高频系数进行小波逆变换。
在上述三个步骤中，关键在于如何选取阈值，以及如何根据阈值来量化小波系数，这一点关系到最终的降噪效果。
使用Mallat算法，时域上的含噪信号变换为小波系数，即为式（3）中的，是阈值，是新的小波系数。传统的硬阈值降噪算法为：
（6）
传统软阈值降噪算法为：
（7）
这两种方法在实际生活中得到了广泛应用，也获得了较好的降噪效果。但是，它们也有一定的缺陷。例如，硬阈值降噪算法在整个小波域上是不连续的，在（即阈值）处有断点。因此，由重构而得的信号可能会出现振荡。对软阈值降噪算法而言，当时，与之间有一恒定偏差，这一偏差会使得实际信号与重构信号之间有一定偏差。
为了克服上述两种算法的不足，我们在此基础上提出了一种改进的算法，如下所示：
（8）
在上述改进算法中，当，有，与软阈值降噪算法相比，与之间的偏差有所减小，这一点满足小波域信号系数增加时噪声系数降低的趋势。当接近于时，逐渐接近0，这就使得函数连续。
4.实验仿真
我们选择使用Matlab7.0作为仿真软件，来对上述三种方法进行分析和比较，并使用信噪比（SNR）和均方根误差（RMSE）来衡量其降噪效果。
SNR定义为： （9）
RMSE定义为： （10）
考虑到CoifN小波是最好的，而在相同地滤波器长度下，SymN小波更好，DbN小波就降噪效果方面比前两个较差。对CoifN小波而言，当滤波器长度为4的时候降噪效果最佳。对SymN而言，当滤波器长度在4~11之间时[4]，有较好的降噪效果。在仿真实验中，我们使用了CoifN4小波，且选择小波的分解尺度M为4,。当信噪比SNR小于15时，降噪效果是最差的[5]。同时，在本次实验中，我们采用了Minimax规则来选择每一层的阈值，并使用两个典型信号进行实验。一个是图2（a）中显示的heavysine，代表了一些平滑的信号，其含噪信号如图2（b）所示，信噪比为9.7474。另一个是图2（c）所示的bumps，代表了有突变的信号，其含噪信号如图2（d）所示，信噪比为10.773。经三种方法降噪处理后的信号和数据分别显示在图3和表格中：在图3（a）（d）中，信号是通过硬阈值降噪法处理的，在图3（b）（e）中，信号是通过软阈值降噪法处理的，在图3（c）（f）中，信号是通过改进阈值降噪法处理的，实验仿真所得的数据均在表格中显示。
图2 原始信号及含噪信号
图3 去噪信号
表1 三种算法的比较
5.结论
通过对经典硬、软阈值降噪算法的研究分析，我们在此基础上提出了一种改进的阈值降噪算法，同时，通过实验仿真来比较这三种方法的效果。实验结果表明，改进算法有效克服了经典算法的不足，即硬阈值函数在正给小波域上不连续，软阈值函数在有用信号与去噪信号之间有一恒定偏差。它优于传统的小波阈值降噪算法，提高了SNR，降低了RMSE。
参考文献：
[1] ZHANG Cui-fang, “Realization and improvement of the modulus maximum de-noising method based on wavelet transformatin,” Journal of Nanjing University of Posts and Telecommunications (Natural Science), Vo.l 29, pp. 74–77, February 2009.
[2] FU Wei, XU Shan-chuan, “An improved algorithm for de-noising in wavelet transform domain,” OPTICAL INSTRUMENTS, vol. 28, pp. 24–28, February 2006.
[3] ZHU Hua, WU Chuan-sheng, WANG Xiao-mei, “Signal de-noising in wavelet based on new threshold function,” Computer Application, vol. 127, pp. 2605–2609, October 2007.
[4] ZHENG Jun, HOU Ruifeng, “Selection of wavelet base in denoising of wavelet transform,” JOURNAL OF SHENYANG UNIVERSITY, vol. 21, pp. 108–110, April 2009.
[5] ZHU Gao-zhong, WANG Yan-hong, “Study of an improved wavelet threshold method in signal suppression,” RELAY, vol. 18, pp. 41–45, Septemter 2007.
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