有限维自内射的代数研究外文翻译资料

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有限维自内射的代数研究

MITSUO HOSHINO

由Maurice Auslander传达

摘要：令A是一个阿丁代数，然后A在两侧具有有限的自内射维数，当且仅当每个有限生成的左A模块具有有限的戈伦斯坦维数。

二十年前，Auslander and Bridger证明了一个可交换的诺特局部环A是戈伦斯坦环，当且仅当每个有限的构造出的A模块具有有限的戈伦斯坦维数。我们会发展他们的论点并将获得的结果应用于阿丁代数。我们将证明以下内容：

定理：令A是一个阿丁代数，则A的双边内射为数有限当且仅当每个有限生成的左A模块具有限的戈伦斯坦维数。

在以下内容中，我们将研究一个左右的诺特环A，我们由( )*标记两个A双函数，右A模块被视为左A^OP模块，A^OP代表环A的对立，并且用于左A模块的符号也用于左A^OP模块，由模A表示所有有限生成的左A模块的类别，对于n gt; 0，如果存在精确序列0→M→Pn-1→hellip;hellip;→P0在模A的Pi投影中，则属于模A的模块M被认为是n阶合冲，令syzn A是所有M的类，M属于模A，模A是所有n阶合冲，并且为了方便起见，令syzo A = modA（每个属于模A的M都被认为是他自身的0阶合冲）属于模A的模块M被称为具有至少n级的降级，写成降级M ge;n，如果Exti A(M, A) = 0 对于 1 le; i lt; n，注意对于所有属于模A的M，降级M都大于等于1，最终属于模A的M有戈伦斯坦维数零，写作G-dim M = 0，如果它是反身的，并且降阶M=降阶M*=00，对于n gt; 0，M的戈伦斯坦维数至多为N，写作G-dim M le;n，如果在模A中有一准确的序列0→ Mn →bull;bull;bull;→Mo→M →0，满足G-dim M i = 0对于0 le;ile; n，注意G-dimM lt; 00应用于Exti A(M, A) = 0 对于i gt;G-dimM（详情见Auslander 和 Bridger [2]）。

定理的证明

我们把定理证明分为两个部分

引理1：令M属于模A，M有有限的降级，然后G-dim M lt; 00，表明 G-dim M = 0

证明：见Auslander and Bridger [2, p. 95].。

引理2：令P1Po→M →0是模A的Pi投影中的一个精确序列，N = Cok f*.然后M是反身性的，如果且仅当降级Nge;3。

证明：见Auslander [1, 命题6.3]

引理3：令M属于模A，M降级数ge;n, 令PnPn-1→hellip;→Po→M →0是模A的Pi投影中的一个精确序列,然后N = Cok f*有降级数ge;n。

证明：P*0→hellip;→P*n-1→P*n →N →0是模A^OP的P*i投影，因为每个Pi都是反自身的，如果( )*被应用，则诱导序列0 →N*→Pn**→Pn-1**→hellip;→ P0**是确定的，意味着降级数Nge;n

引理4：对于任意nge;1，以下结论都是等价的。

1. 每个M都是反自身的，当M属于模A，且降级数ge;n。
2. 每个N都有有限的降级数，当N属于模A^OP，且降级数ge;n。

证明：(1) lrm;lrm;推(2)，令N属于模A^OP，且降级数ge;n，令Pn Pn-1→hellip;→Po→N→0是模A^OP的Pi投影中的一个精确序列，L =Cokf 且M =Cokf*，由引理3中M降级数ge;n和M是反自身，引理2中Extn A(N, A) ∽Ext1 A(L, A) = 0，我们得到降级数Nge;n-1,现在通过应用这个论点到合冲N，我们总结到N有有限降级数。

（2）推（1），令M属于模A，且降级数ge;n，令Pn Pn-1→hellip;P0→M→0是模A的Pi投影中的一个精确序列，L = COkf1* 以及 N = COkfn*，L是N的n-1级合冲，由引理3中，降级数Nge;n，我们有降级数N = 00，由引理2，可得M是反自身的。

引理5：对于任意nge;0，下列结论等价。

1. inj dimA A le;n，并且每个M属于模A，有有限降级数，并且是反自身的。
2. G-dimM = 0 对于所有的 M属于syzn A。

证明：(1) 推(2). 令M 属于 syzn A.，降级数M = 00并且M是反自身的，令Pn 1 Pn→hellip;→P0→M→0是模A的Pi投影中的一个精确序列，N = Cokf*，注意M* 是N的(n 2)级合冲，因为引理3和4中降级数N = 00，我们得到M* = 00. 因此G-dim M = 0 .

(2) 推(1)，第一个断言是显而易见的，因为G-dim M le;n 对于所有的M 属于模A , 最后的断言遵循引理1。

引理6：假设 inj dim A A lt; 00. 然后 G-dim M = 0 对于所有的M 属于模 A，并且有有限的降级数。

证明：M 属于模 A，并且有有限的降级数。因为M* 属于 syzn A^OP对于所有的nge;0, inj dim A A lt; 00，表明降级数M* = 00，由引理4，inj dim AA lt; 00 表明M 是反自身的。

引理7：假设 inj dimA A le; n. 然后有 inj dim M le;n 对于所有的M属于模 A，且有限的投影维数。

证明：注意有一精确序列0 → M 3 →M 2 →M 1→0，我们有inj dimMI le;max{inj dimM2 , inj dimM3}通过proj dimM lt;00上诱导，论断即证明。

引理8：令M属于模A，M是反自身的，且降级数M* = 00，然后inj dim M lt; 00，即表明M是映射的。

证明：在模A的Pi投影中，我们有准确的序列0 → M Po →PI →bull;bull;bull;，因为inj dim M lt; 00，表明f分裂，论断即证明。

引理9：令n ge;o. 假设 G-dimL = 0 对于所有的 L E属于syzn A，对于任意M 属于模 A，下列结论等价：

1. proj dim M lt; 00.
2. proj dim M le; n

（3） inj dim M lt; 00.

（4） inj dim M le; n.

证明：由引理5，我们有inj dimA A le;n，因此由引理7可从（1）推出（4），剩下只需证明(3)可推出（2），假设inj dim M lt; 00，令 L 是M的n级合冲，然后inj dim L lt; 00. 因为G-dim L = 0，由定理8 知L 是投影的;即, proj dim M le;n .

引理10：假设有一些E 属于模A，它是内设的上生成元对于左A模块，假设 inj dimA A le;n，下列结论是等价的。

(1) inj dim A A le;n .
(2) 对于每个 属于模A的M，有有限降级数，并且是反自身的。

(3) inj dim M le;n 对于所有的M 属于模A 有有限的映射维数，

证明：由引理 4, (1) 可推出(2), 并且由引理5和9, (2) 可推出(3)。现证(3) 推(1)，令hellip;PI Po →E →0是模A的Pi投影中的一个精确序列，让Mi = Imf; 对于i ge;1，注意inj dim Mi lt;00，因此 inj dim M ile; n 对于所有的 ige;1，因此Extn 1 A(E , M n 1) = 0，可证明proj dim Ele;n，这个论断由Cartan 与Eilenberg的[3, 章节VI, 命题5.3].可得。

定理的证明，“如果部分”有一些nge;0，G-dim M le;n，对于所有的属于模A的简单模型M，然后inj dimA A le;n，因此由引理1和10可得inj dimA A le;n 并且由 Zaks 的[4, 引理A],可得 inj dimA A = inj dimA A le;n

“除非”部分，假设inj dimA A = inj dim AA le;n，由引理6可得G-dimM = 0 对于所有的属于syzn A的M。

参考文献

1. M. Auslander, Coherent Junctors, Proc. Conf. Cat. Algebra, Springer, Berlin, 1966, pp.
189-231.
2. M. Auslander and M. Bridger, Stable module theory, Mem. Amer Math. Soc., no. 94, Amer.
Math. Soc., Providence, RI, 1969.
3. H. Cartan and S. Eilenberg, Homological algebra, Princeton Univ. Press, Princeton, 1956.
4. A. Zaks, Injective dimension oJsemiprimary rings, J. Algebra 13 (1969), 73-86. 数学研究所，日本筑波大学，日本茨诚县305号

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