基于Lax-Wendroff技术的有损多导体传输线的时域分析外文翻译资料

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本科生毕业论文(设计)外文翻译

基于Lax-Wendroff技术的有损多导体传输线的时域分析

二Ｏ一七年 五月十日

基于Lax-Wendroff技术的有损多导体传输线的时域分析

摘要：利用电报方程的双曲线特征，本文将通常用于流体动力学的Lax-Wendroff技术应用于传输线分析。导出了均匀和不均匀传输线的电报方程的二阶精度Lax-Wendroff差分方案。基于该方案，通过结合矩阵运算，提出了一种不需要解耦的有损多导体传输线分析的新方法。使用数值实验，将所提出的方法与特征值法，快速傅里叶变换（FFT）方法和Lax-Friedrichs技术进行比较。并利用所提出的方法，分析有损多导体传输线路的电路，并且比较结果与PSPICE的结果一致性。并且计算包括不均匀有损多导体传输线的非线性电路，并通过HSPICE验证结果。通过实验结果的比较，证明所提出的的方法可以方便地有效地应用于包括一般传输线的线性或非线性电路。

关键词：有限差分法，Lax–Wendroff技术，多导体传输线，瞬态分析

1、简介

随着工作频率的快速增加和电路元件的特征尺寸的减小，传输线的影响，如延迟，串扰和信号失真在电路和系统中增长。 多导线传输线时域反应研究对于高速电路的设计非常重要。 当信号波长变得与传输线的长度相当时，集总参数模型不足以描述传输线性能，需要采用分布参数模型。

迄今为止已经提出了多导线传输线的分析方法。它们主要分为两类：一类是快速傅里叶变换（FFT）方法[1]，数字逆拉普拉斯变换法[2]等频域变换方法，另一种是直接时域方法，如特征方法[3]、差分积分法[4]等。本文将讨论FFT方法和第4部分中的特征方法。降序技术[5,6]现已被应用于分析含有分布参数元素影响的电路。这种技术可以通过减少大型电路网络来显着提高分析效率。直接时域法在概念上是简单有效的，但有损多导体传输线的C，G或R和L的分布参数系数矩阵通常不能在时域上同时对角化。这是一个只能在特殊条件下执行的过程[7]。在频域方面分析不会有这个问题，但分析非线性电路会十分困难。

时域有限差分法具有概念简单，计算方便，应用范围广等优点; 然而，一般来说，这种方法不是特别有效，并且在实践中没有什么作用。

郭先生在对电报方程的空间-时间离散法进行了重新分析后，形成了不同的观点[8]。他指出，如果采用合适的差分方案，并且将Lax-Friedrichs技术应用于分析传输线路的步骤之中，则该方法可能是有效的。它不需要考虑特征曲线，所以这种方法很便捷。然而这个方法只在一阶准确，并且会由于在计算过程中高数值粘度和脉冲的强消耗而形成一个不连续的过渡区域[9]。用于传输线分析的另一种有限差分法是首先在[10]中提出的，是一种全面减少（TVD）算法。特别适用于分析无损耗传输线。之后这种方法被运用于非线性电路[11]。TVD算法在平滑区域中显示二阶精度，并且在不连续点处是一阶精确的。在下一段中，我们将进一步讨论。

在[12]中，我们研究了电报方程的空间-时间离散方法。利用电报方程的双曲线特征，提出了具有二阶精度的Lax-Wendroff差分方案。这种方法在Lax-Friedrichs技术的基础上提高了准确性和有效性。与TVD算法相比，Lax-Wendroff方法不光在平滑连续的区域二阶准确，在接近不连续的区域也二阶准确，而且Lax-Wendroff方法的方案更简单。更简单的方案不仅导致效率更高，而且在解决如上所述的有损多导体传输线分析的困难方面提供了一个优势。在第3部分会给出详细的过程。因此，我们不必限制参数矩阵的形式，应用范围可以显着增大。

在文献[12]中，多导线传输线首先通过特征模式转换解耦，然后将每条线分析为单导线。 如上所述，解耦方法不能应用于通用线路。 基于文献[12]，本文进一步研究了Lax-Wendroff技术，并作出以下贡献：首先，我们将针对均匀传输线路和非均匀传输线路的发电机方程，详细介绍Lax-Wendroff差分方案。 然后我们将该方案与矩阵运算相结合，为不需要解耦的多导体传输线提出新的分析方法。 这种方法避免了同时在一个电传方程中对两个系数矩阵进行对角化的困难。最后我们使用所提出的的方法分析不均匀非线性的传输线路。通过使用Lax-Wendroff方法计算由脉冲信号引起的不连续性，不连续的过渡区域变窄，数值解决方案基本上与分析法所得一致[9]。同时，包含在Lax-Wendroff差分方案中的隐含人工粘度在某种程度上可以在一定程度上降低由于空间离散化引起的溶液的寄生振荡。因为通过提出的方法使用直接的空间-时间离散化，其应用不需要复杂的数学推导或变换。该方法没有特殊的电路限制，可以直接应用于一般传输线路电路的分析。

2、电报方程的Lax-Wendroff差分方案

为了应用Lax-Wendroff技术来分析传输线，我们首先需要提出电报方程的Lax-Wendroff差分方案。 在下面的方案的推导过程中，研究了计算精度和稳定性。

在时域中，均匀传输线和不均匀的传输线可以由电传方程表示如下：

(1)

(2)

其中V是电压，R(x)是每单位长度的电阻，L(x)是每单位长度的电感，C(x)是每单位长度的电容，G(x)是每单位长度的电导。为了方便讨论，分别将R，L，C和G代入R(x)，L(x)，C(x)和G(x)。重新排列(1)和(2)我们得到：

(3)

(4)

(3)中对t分离变量，并将(3)和(4)代入得到：

(5)

用来表示，于是在的可以用关于点的泰勒级数展开来表示的得到：

(6)

将(3),(4)和(5)代入(6)并省略，我们的得到与没有其他参数的关于t的二阶展开式：

（7）

当,将替换为二阶中心差,当，将替换为二阶标准差，当时，将f替换为。完成重新排列后，我们对电报方程（1）在时间和空间中的Lax-Wendroff方案如下：

(8)

其中：

(9)

(10)

类似的，可以得到电报方程的Lax-Wendroff方案。

(11)

如果我们把（1）和（2）重新排列得到以下形式：

（12）其中:

那么稳定条件是

（13）

其中ak是系数矩阵A的特征值。

3多导体传输线的计算方法

基于上述结果，我们现在可以讨论一种不需要去耦多导线传输线路的分析方法。对于均匀和不均匀的耦合K条导体传输线，我们将它们划分成相同长度的N-1个部分。基于（8） - （10），可以得到矩阵方程如下：

(14)

（15）

和

(16)

其中C，G，L和R分别是电容，电导，电感和电阻矩阵。利用（15）和（16），我们可以求出和其中k表示第k根导线。K从1到K取值，j从1到N-1取值。然后通过式（14），我们可以计算出，其中K从1到K取值，j从2到N-1取值。在边界条件和激励条件下，能够得到和。因此我们就得到每一个时间点处的。通过重复上述过程，我们可以在所有空间 - 时间离散点上获得电压和电流值。上述过程包括大量的矩阵计算，但是矩阵的加，减和乘法是简单的，对效率没有明显的影响。 矩阵的逆运算仅涉及系数矩阵。 因为这些矩阵不随时间变化，对于均匀的传输线，逆运算只需要计算一次，对于不均匀的结构，反向只需要对所有逐步常数段计算一次，并且必须存储矩阵。 因此，模拟时间不会受到显着影响，只需要存储。类似的，通过式（11），我们得到：

(17)

计算过程同上。

4、算例

有效的传输线分析非常重要。总效率受计算机性能，编程语言，电网编号和电路分析方法等的影响。为了有效比较，我们将利用简单的传输线路电路建立模型，如图1所示。在左边，电路被一个梯形脉冲激发，上升和下降时间为1.0 ns，宽度为2.0 ns。梯形脉冲幅度为1.0 V.传输线的长度为0.2 m。我们把它分成20个等长的部分，则△x=0.01m。两端连接的电阻为50Omega;。线路的参数为L=500nH/m,C=200pF/m,R=100Omega;/m，G=0s/m。

图1 传输线电路模型

我们用以下五种技术分析电路：Lax-Wendroff方法，特征方法，FFT方法，Lax-Friedrichs技术和PSPICE。在FFT方法中，我们计算了64个频率采样点。 结果如图2所示。其中Vi是传输线的第i个端口的电压。为了清楚起见， 在图3中我们扩大图2中圆圈内的区域。 我们使用相同的编程语言MATLAB，并且所有的计算都由同一台计算机完成。 计算时间如表1所示。

图2 分别用Lax-Wendroff法，特征法，FFT法，Lax-Friedrichs技术和PSPICE时两种传输线两端的瞬态响应

图3 图2中圆圈内的大尺度图

表1 5种方法的计算时间

Friedrichs法具有相似的效率。如果在不考虑准确性的情况下，特征法和Lax-Friedrichs法的有效性要高一些。如图1，图2和3所示，Lax-Friedrichs法计算出的曲线比Lax-Wendroff法更为平滑，但是因为Lax-Friedrichs方案中存在强烈的耗散项，误差较大。

在空间上，Lax-Wendroff方法是二阶准确的，而Lax-Friedrichs法只是一阶准确的。如果△x为0.01mu;m，为了具有相同的精度，Lax-Friedrichs法所需的采样点是Lax-Wendroff方法所要求的100倍。同时，Lax-Wendroff方案在时间上也更加精确。因此，该方法在相同精度水平下具有更高的效率。

FFT法是频域变换方法，不能直接用于非线性电路。 虽然通过使用多重乘法来提高效率[13,14]，但是用方法[2]难以跨越多个线路瞬时时间的时间间隔。 这是因为避免混叠所需的大量采样点将显着降低效率。

图4 包含多导线传输线的电路网络

与特征方法相比，Lax-Wendroff方法将需要更多的时间和空间，但它是一种直接的空间-时间离散数值方法，因此不需要计算特征曲线，可以应用于更广泛的情况。如上所述，该方法可以方便地与矩阵运算组合，以解决有损多导体传输线分析的解耦困难的问题。

使用所提出的方法，我们计算出图4所示的耦合传输线电路。其中线T1长度为0.1m，线T2和T3的长度为0.2mu;m，电阻和电容值如图4所示。传输线的参数为

, G=0S/m。

该电路由梯形脉冲激发，上升时间，下降时间和宽度为5.0ns。 梯形脉冲的幅度为1.0 V。

结果示于图5和图6。 其中Vi是传输线的第i个端口的电压。实线是Lax-Wendroff方法的结果，与PSPICE的结果很吻合。从本文第2部分看，我们知道电报方程式的Lax-Wendroff算法是基于均匀传输线路和不均匀传输线路。因此，该方案可以直接应用于不均匀传输线路。同时，由于它是一种直接的时域方法，因此可用于非线性电路。现在我们可以假设一个非线性不均匀多导体传输线，如图7所示。电路由电压发生器激励，电压波形与图4相同。导线长度，电阻值和电容值如图7所示。 线路参数如下[7]：

图5 在Lax-Wendroff法和PSPICE法下的图4所示多导体传输线的端部1,2,3,4处的瞬态响应。

图6 在Lax-Wendroff法和PSPICE法下的图4所示多导体传输线的端部7,8处的瞬态响应。

图7 非线性不均匀多导体传输线网络

其中

L(x),C(x),R(x)和G(x)是自参数。Lm(x),Cm(x),Rm(x)和Gm(x)是互参数。电压和电流二极管特性[7]如下：

（22）

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