使用函数空间主成分分析在线监测不均匀长度批量处理过程外文翻译资料

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使用函数空间主成分分析在线监测不均匀长度批量处理过程

Arora Ela*, Detroja Ketan P.dagger;

* Dharmsinh Desai University, Nadiad, Gujarat – 387 001, India.

dagger; Indian Institute of Technology Hyderabad, Yeddumailaram, Andhra Pradesh – 502205

India (Tel: 91-40-2301 6115, E-mail: ketan@iith.ac.in)

摘要：

人们在线监测批量处理是一项具有挑战性的任务，因为批量处理不在标准的稳态工作点附近运行。人们已经提出了未来批次轨迹用平均（标准）批次轨迹填充的各种各样监测方法，预测批处理的未来轨迹是一项艰巨的任务。最近提出了一种不具有未来轨迹预测的基于多路径的主成分分析（MPCA）方法。本文提出了一种基于函数空间主成分分析（FSPCA）的新技术用于在线批量处理监控。文中所提出的基于（FSPCA）的方法的主要优点是其有能力检测早期和小到中等强度故障的能力及其与不均匀长度批量处理的关系。通过流加青霉素培养过程模拟证明了所提出的算法的效率和有效性。该方法与基于MPCA的方法相比，本文所提出的方法的诊断性明显较好。

关键词：主成分分析（PCA），多路径主成分分析（MPCA），函数空间主成分分析（FSPCA），故障诊断和监测

1.引言

批量处理在工业中占着主导地位，如生化，制药，化工，聚合物，食品，工业等。批量处理具有确定的开始和结束，其中将利用固定的条件运行和固定的运行时间来执行一系列步骤或任务。因此，批量处理过程的特征在于时间变化的可变相关结构和参数。因此，除了高维度和高度相关的度量，批量处理监测过程带来额外的复杂性，原因如下：

1）批量处理过程通常不在标准稳定状态的工作点附近操作；

2）批量处理的历史数据是三维的；

3）批量可具有不同的持续时间，即不均匀长度批量。

在批量处理中缺乏可靠的在线监测机制，在批量处理的过程中出现对工厂经济有非常显著影响的时间。原料和故障批次中损失的能量这两方面对工厂经济具有非常显著的影响。 因此，重要的是以在线方式监测和维持批量处理的产品质量，并且现在在线批量过程监测已经是一个活跃的研究领域，并且已经提出了很多用于批量处理的故障诊断的技术。

基于统计方法控制（SPC）的监测方法在批量处理监测方面一直处于最前列。使用多元统计方法监控批量处理的初始尝试涉及将三维数据展开成二维数据。数据展开可以以不同的方式进行，就批量展开或就变量展开。在文献中已经提出了基于两种类型的数据展开的监测方法（Lu等，2004；Nomikos和MacGregor，1994；Rauml;nnar等，1998）。一旦各个批次的历史数据被组织在二维矩阵中，基于常规主成分分析（PCA）的监测图可用于批量处理监测。然而，简单的展开仅仅可以对于固定持续时间的批次实施。对于不均匀长度批量处理，现已经提出了基于需要动态时间归整（DTW）或相关多路径（COW）同步的方法（Patel和Gudi，2009；Tomasi等，2004）。 在（Lee等，2004）中提出的基于多路径PCA（MPCA）的修改方法不需要时间同步，并且对于不均匀长度的批量起作用。

使数据展开的另一种方法是通过固定数量的正交基函数捕获批量处理的动态。这种方法称为函数空间主成分分析（FSPCA），它可以用于监测不均匀长度的批量处理（Chen和Liu，2001）。然而，该FSPCA方法适用于离线批量处理监测。 在文中，提出了一种基于FSPCA的在线监测方法，用于监测不均匀长度的批量处理。已经表明，由于函数近似，与基于MPCA的方法相比，所提出的方法具有更好的诊断性能。流加青霉素培养过程的模拟证明了所提出的基于FSPCA的在线批量处理监测方法的有效性。

本文的其余部分组织如下： 首先在第2节讨论基于MPCA的在线批量处理监测方法；FSPCA方法以及相关数据预处理方法有很多，如分批展开折叠，基本函数方法和FSA，这部分将在第3节中做出解释；在第4节中详细解释了本文所提出在线监测的FSPCA方法。最后，第5节介绍了涉及流加青霉素培养过程模拟的模拟案例研究，其次在第6节的结论性的注释结尾。

2.多元PCA方法

Nomikos和MacGregor（1994,1995）提出了多元PCA方法，该方法使用分批展开进行批量处理监测。MPCA方法涉及通过从展开的数据矩阵中减去每个时间点的每个变量的平均值来检测与平均轨迹的偏差。然而，运用这种MPCA方法有以下几个困难：一是预测未来批量数据；二是假设恒定方差—协方差结构；三是假设相等的批量持续时间。 为了克服这些限制，基于MPCA的修改方法被（Lee等，2004）提出。 在下一小节中简要解释这种修改的监测方法。

2.1MPCA在线批量处理监测

历史批量处理数据本质上是三维的。这些维数可以由批次，变量和时间表示。首先，三维历史数据被分批展开以获得，并且每个时间的变量被缩放到零均值和单位方差。接下来，数据矩阵被按变量重新排列，给出。然后将PCA应用于该矩阵，并获得得分矩阵和负载矩阵，其中是保留的主分量的数量。接下来，获得每个时间的分数，并且通过矩阵，计算每个时间的协方差矩阵。因此，以这种方法可以获得在每一时刻的协方差矩阵，它不必是固定的。有关MPCA的在线批处理监测的更多内容在（Lee等，2004）中给出。

3.函数空间PCA方法

如前面所提到的，已经提出基于函数空间分析的主成分分析用于不均匀长度批量处理的离线监测。 在本节中，解释了FSPCA方法以及涉及的预处理方法，例如数据展开，函数空间分析等。

3.1函数空间分析

对于批量处理，每批中的每个变量可以表示为时间轨迹。然后按批量展开给出（1）中所示的数据矩阵。用于批次的变量的每个时间轨迹用表示，并且这些时间轨迹可以具有不同的长度。 批量处理的采样时间被认为是。 原始过程变量可以映射到函数空间中的新特征变量。

（1）

其中，与分别是批次的数量和变量的数量。在这里，是从批次开始到批次结束变化，即，即。 这里简要说明使用函数空间分析近似的主要概念。

如果一组线性独立的正交函数能够被获得以便它们生成函数空间，即可以获得函数空间的基（Ramsay和Silverman，2005）。许多这样的基函数是可得到的。例如：勒让德多项式，傅立叶基函数，伯恩斯坦多项式，广义正交基函数等。通过近似理论，在范围空间上假定为连续且平方可积的任何函数可以被展开，如（2）中所示中。

（2）

其中，是函数空间的基，是系数，是用于近似的基函数的数量。被称为关于基函数的的最佳近似函数。任何基函数都可以根据函数的应用和性质来选择。（Ramsay和Silverman，2005，Reiss和Ogden，2007）。

批量处理的任何变量轨迹的近似可以根据个基函数和相应的系数获得如下：基函数矩阵可以根据（3）中产生。然后可以从（4）中获得系数的最小二乘估计。

（3）

（4）

其中，是一个向量包含（2）中系数的估计。可以基于监测不均匀长度的批量处理方法（Chen和Liu，2001）中定义的近似效果度量来获得用于近似的基函数的数量选择。

3.2函数空间的主成分分析

在本小节中，简要说明了函数空间的PCA方法。第一步应用函数空间PCA方法是为具有相同数目的基函数的所有批次每个过程变量获得函数近似。注意，用于每个变量的近似的基函数的数量可以不同，并且它是将取决于变量的变化量。在获得函数近似之后，可以将轨迹系数的二维数据矩阵写成（5）式。 因此，使用系数矩阵的均值长度来近似估计不均匀长度批量数据，使得可以将三维历史数据展开成二维矩阵。

（5）

其中，和是所有批次的第个变量的轨迹系数矩阵。

基于FSPCA的监测程序将矩阵作为代表性历史数据，并通过在矩阵上应用PCA方法获得统计模型。然后获得用于监视批量处理的多元统计控制限度和。当新批次的数据可用时，使用新批次的数据与用于历史数据库的函数近似的相同数量的基函数来获得其函数近似。然后将新的系数阵列投影到统计模型中保留的主成分，并与和的控制限制进行比较（分别参见第3.3和3.4节）。如果没有违反控制限值，则产品具有人们所需的质量。相反，如果违反控制限度中的任何一个，则产品质量是令人不满意，并且需要进一步分析以及确定产品质量差的原因。

3.3 FSPCA方法的限制

人们一旦使用正常操作系数矩阵构建统计模型，则下一个任务是定义可用于监视批量处理的控制限制。应该针对FSPCA模型中保留的主轴以及FSPCA模型中不包括的主轴的可变性制定极限。这些控制限制分别称为Hotelling的和限制。在的方向上的任何显著偏差（对应于最小奇异值）可以指示故障。可以根据（6）式为新测量计算该偏差，即残差矢量。

（6）

其中，是单位矩阵，是负载矩阵。统计量的值定义为（7）

（7）

统计的控制限制被选择为来自正常操作残差值的95％置信限（Jackson和Mudholkar，1979）。

3.4 FSPCA方法的限制

Hotelling的统计量有效地捕获PCA中的多元数据的正常运行区域。对于使用FSPCA方法来构建的统计模型，人们可以使用类似的统计量来表示批量处理的正常行为。PCA模型的值定义为：

（8）

其中，是包含对应于统计模型中保留的主分量的前个特征值的对角矩阵。 统计的控制极限从正常工作评分值中选择为95％置信区间（Ku等人，1995）。

虽然，基于FSPCA的监测程序能够处理不等长的批量处理，但它仅适用于离线监测。为了克服这个限制，本文提出了基于FSPCA的新的在线监测方法。本节所提出的算法将在下一节中讨论。

1. 所提出的在线监测算法

用于批量处理监测的FSPCA方法将应用分批展开成历史三维数据。这种方法的一个主要缺点是由于展开而丧失的时间感，在线监测是不可能的。因此，如果要执行在线监测，则重要的是在监测时并注入时间的概念。这里提出了时间分割模型的概念，用于FSPCA克服这个限制。使用时间分割模型，可以计算每个时间片的统计控制限制，并且这些控制限制可以用于在线监测和诊断。 这种获得时间分割模型的方法在下一小节中详细解释。

4.1分时FSPCA模型

使用FSPCA进行在线监测的第一步是基于批量处理的持续时间来定义时间片持续时间（）。时间片持续时间应当被选择为使得其足够小以执行在线监测并且足够大以避免不必要的计算负荷。 这一方面将在后面与模拟案例研究时一起再次详细讨论。然后获得每个时间片持续时间的FSPCA模型。

批量处理的历史数据可以如（1）中给出的那样展开。 对于不同批次的每个可以具有不同的长度，而对于给定的批次（），则持续时间是相同。 通过代入可以形成时间片矩阵。 建议为的整数倍。 然后根据第3节中的讨论获得时间片矩阵的分批轨迹的函数近似。一旦获得了时间片矩阵的系数，通过对系数矩阵应用PCA方法来建立统计模型。 这里获得的统计控制极限（和）是时间的控制极限。 类似地，需要为每个相应的时间片矩阵计算每次（其中是整数）的控制限制。 下面给出了一步一步的建模过程：

1.获得三维数据矩阵。

2.选择时间片并设。

3.在矩阵上展开，获得维数的时间片矩阵。

4.为了产生系数矩阵在时间片矩阵中获得具有轨迹的函数近似.

5.通过在系数矩阵上应用PCA方法来建立统计模型。

6.计算和的控制限制，并将其表示为和。

7.将增加1。

8.从步骤2重复，直到大于最大批次持续时间。

这里非常要注意的是，如果大于任何批次的持续时间，则在生成时间片矩阵的同时应该完成批次数据。因此，在该提出的方法中，每个持续时间建立增量模型的同时，并且获得每个时间段的控制限制和。

4.2使用提出的FSPCA模型在线监测

提出的在线监测算法在每个时间间隔评估工厂状况。 在时间段期间收集在线测量数据，并且使用该测量数据与建模期间使用的相同数量的基函数获得其近似函数。 将这样获得的系数投影到获得的时间片FSPCA模型上，并计算残差和值。如果任何一个控制限制被违反，它可以指示故障并且在时间点检测到故障的原因。监测程序步骤如下：

1.设。

2.收集持续时间的在线批量数据。

3.使用与建模相同数量的基函数，对每个测量轨迹进行函数近似。

4.将获得的系数向量应用于保留的统计模型中。

5.计算和的值。

6.如果任何一个控制限制被违反，则在时间点检测到故障。

7.将n增加1。

8.从步骤2重新出现，直到批次结束。

所提出的在线监测算法对于初始故

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