切换时滞系统的驻留时间最小化：时间安排Lyapunov函数外文翻译资料

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切换时滞系统的驻留时间最小化：时间安排Lyapunov函数

Ahmet Taha Koru * Akin Delibasi ** Hitay Ozbay***

*Mechatronics Engineering Department, Yildiz Technical University, Istanbul, Turkey(e-mail:ahtakoru@gmail.com).

**Control and Automation Engineering Department, Yildiz Technical University, Istanbul, Turkey(e-mail: adelibas@yildiz.edu.tr).

***Electrical and Electronics Engineering Department, Bilkent University, Ankara, Turkey,(e-mail: hitay@bilkent.edu.tr).

摘要：在本论文中，使用Lyapunov-Krasovskii函数得到切换时滞系统的驻留时间稳定状态，Lyapunov函数的导数通过无权矩阵被证明是半负定的。在根据线性矩阵不等式表示驻留时间之后，使用二分法使得驻留时间的上限最小。给出一些数值例子来说明本文给出的方法的有效性，并且将它的性能和现存的方法相比较。驻留时间的域值通过本文提到的方法显示出新的方法比以前的方法更好。

关键词：时间滞留，驻留时间最优化，时间安排Lyapunov函数，转换系统，自由权矩阵

1.引言

分析转换系统的主要方法之一是将转化信号限制在一个确定的集合里.我们可以重新限制转换信号为有这种属性的信号，在任何一个连续的转换时间的时间区间内都不低于某一特值，这个特值叫做驻留时间，用来保证转换系统的渐近稳定性.读者可以参考Hespanha and Morse (1999), Yuan and Wu (2015),Mitra and Libberzon (2004), Lin and Antsaklis (2009)和其中关于这个主题的进一步的信息的参考书.

许多现实的例子的转换都有驻留时间，例如改变一辆汽车在路上的道路条件（干，湿，泥土），或者一个无论是否与一个组织想联系的遥控机器人系统的不同动力系统(Allerhand and Shaked(2011)).更进一步，相比较被驻留时间重新限制的转换的控制体系快速转换会导致很多麻烦 (Ishii and Francis(2011)).结果，稳定性分析和有驻留时间的转换系统的稳定性会变得越来越受欢迎。

许多Lyapunov函数方法在处理驻留时间的稳定性问题上是同一种方法.在Geromel and Colaneri(2006)中，驻留时间被包含指数条件的限制决定，例如.另一种方法是利用Allerhand and shaked (2011)系统矩阵中组成凸集的时间安排的Lyapunov函数。在Xiang (2015)中它显示Allerhand and shaked (2011)和Geromel and Colaneri(2006)的标准的稳定性当大量的因素和LMIs被包含在Allerhand and Shaked (2011)的稳定性限制中是平等的。

现在有一些关于转换时滞系统的驻留时间稳定性的结论.在Sun et al. (2006)和，Li et al. (2013)中，平均驻留时间用包含指数条件的限制表示，它不能被多项式时间算法最小化.为了使问题容易解决，它用一个给定的平均驻留时间而不是最低估计的驻留时间来解决.在有限的研究基于无权矩阵方法来强调最小驻留时间问题的文献(Caliskan et al. (2013)，Yan and Ozbay (2008)，Yan et al. (2014))中，这个方法不包含任何模式转变，它在Koru et al.(2014)中被使用.在这些工作中，都不包含限制作为组成一个抽象函数的产物的条件并且它主要是为了避免问题的非凸表述。然而，这导致一些保守主义。典型地，驻留时间的上限，导致稳定性被表示为：

是所有子系统中最大的时间滞留，并且是成本函数。因此，最小的驻留时间至少是甚至是在Lin and Antsaklis（2009）中分享一个公共的已知在任意转换下稳定的Lyapunov函数.

为了减少保守主义，本文用时间安排Lyapunov函数得到了转换时滞系统的稳定状态.结果是，不用条件表示的驻留时间上限.根据LMIs驻留时间的最低估计被表示为一个半定的程序.Lyapunov函数的导数的上限通过无权矩阵被发现（更多信息见Wu et al.（2010））.

本文使用的符号是标准的：表示实数集（正实数，非负实数），C用来表示可微函数集，是正整数符号。单位矩阵用I表示.我们用(0）来表示一个正定（半正定，负定，半负定）矩阵.星号表示一个矩阵的共轭转置矩阵并且表示轨线上的评议算子例如对于一些非零区间并且仿射

2.准备工作

考虑一类给出的转换滞留系统

是伪状态并且是分段地转换符号，例如是一个指数集，是子系统的数并且属于连续函数的Banach 空间的最初状态，例如.时间滞留，是一个时间变化的可微函数满足

,

,

h和d是正常数，，我们引进计数法

来描述参与的(1)的子系统.。

引理1. (Wu et al.(2010)定理3.2.1).考虑一个不变的线性子系统有变化滞留的转换子系统(1), ，.给出(2)和(3)都满足的数量，如果存在对称矩阵, ，子系统是渐进稳定的，并且

并且任何合适尺寸的矩阵和这样下列LMIrsquo;s满足：

,

其中，

，

，

.

3.主要结果

在这一节，简洁的原因是，结果被表示出来没有证明.完整的细节在koru et al.（2016）的引言中表示出来.

在接下来的引理中，被Allerhand and Shaked (2011)所启发，对于不转换的时滞系统我们引进Lyapunov函数。Lyapunov参数是不连续的，但是在一个时间区间上是分段线性的.

引理2.考虑一个不转换的线性子系统(1)的对于一个.对于一些时间区间，我们定义并且Lyapunov函数是

其中

假设存在对称矩阵,,,

任何适当的矩阵那么下列LMIs满足：

,

,

其中

然后Lyapunov函数在时间区间的中正在减少.

在引理2中，我们得到从到这部分的时间安排的条件的Lyapunov-Krasovskii函数。在下列引理中，我们拓展引理2的想法到从到。通过使用这个拓展，对于给定的驻留时间的稳定状态，已经表示成从到的最终时间。在给出这个定理之前，我们引入新的变量:

等价于

,

,

定理3.考虑系统有时间变化滞留，.假设给定的数量h,d和一些驻留时间,存在对称矩阵集合,是预先选定的一个整数，和一个结果

因此，对于所有的下列LMIs满足：

, ,

,

,

,

,

,

对于任何有和相等或多于它的驻留时间的转换法则，系统是非常对称稳定的.

对于给定的数量和，时间区间可以被选为等距的

并且所有的条件是LMIs.对于稳定性条件所提出的准备的价值中，可以通过二分法得到驻留时间。在许多例子中，我们可以通过SeDuMi解决问题，见Sturm(1999).

对于没有滞留的例子的选择的影响的讨论可以在Xiang(2015)找到随着增加，结果不再保守.另一方面，的增量导致计算量增加.

4.一些例子

在这一节，为了比较目的，这些例子来自已经发表的文章。例子1和2可以在Caliskan et al.(2013)，Yan and Ozbay(2008)，和Koru et al.(2014)找到比较结果在表格1中进行了汇总。

例子1.让是

让是

对于时间滞留上限是并且.结果驻留时间是.对于这些参数，转换滞留时间承认相同的Lyapunov函数，例如，.

例子2.让是

让是

对于时间滞留上限是并且.结果类似于例子1，结果驻留时间是秒,并且这个转换滞留系统承认相同的Lyapunov函数，例如，.

5.结论

我们进行驻留时间最小估计的运算来确定转换滞留系统的稳定性.时间条件的Lyapunov-Krasovskii函数被发现使用无权矩阵方法.使用SDP方法驻留时间被最小化.在以前发表的文章中得到的结果的提升展现在这几个例子中.

表格1.例子1和例子2的驻留时间结果比较

	Ex.1	Ex.2
Yan and Ozbay(2008)		-
Caliskan et al.(2013)
Koru et al.(2014)
Present Paper

参考文献

Allerhand，L.and Shaked，U.(2011).Robust stability and stabilization of linear switched systems with dwell time.IEEE Transactions on Automatic Control，56(2)，381-386.

Caliskan，S.Y.，Ozbay，H.，and Niculescu，S.I.(2013).Dwell-time comqutation for stability of weitched systems with time delays.IET Control Theory Applications，7(10)，1422-1428.

Geromel，J.C. and Colaneri，P.(2016). Stability and stabilization of continuous time switched linear systems SIAM Journal on Control and Optimization，45(5),1915-1930.

Hespanha, J. and Morse， A.(1999). Stability of switched systems with average dwell-time. In Proceedings of the IEEE Conference on Decision and Control，volume 3，2655–2660.

Ishii，H. and Francis，B. Stabilizing a linear system by switching control with dwell time. In Proceedings of the American Control Conference, volume 3，1876–1881 vol.3.

Koru，A.T.，Delibasi，A.，andzbay，H. (2014). On dwell time minimization for switched delay systems： Freeweighting matrices method. In Proceedings of the 53rd IEEE Conference on Decision and Control，1978–1982. Los Angeles，CA，USA.

Koru，A.T.，Delibasi, A.，andzbay，H. (2016). Dwell time based stabilization of switched delay systems using time-scheduled functions. in preperation.

Li，Z.，Gao，H.，Agarwal，R.，and Kaynak, O. (2013). control of switched delayed systems with average dwell

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