对整数的有序分解的局部分布外文翻译资料

英语原文共 6 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

对整数的有序分解的局部分布

Yuk-Kam Lau

假设是将正数n分解成m个因数的方法数，我们关注的核心在于该函数的分布：

A(x, m)=

Hwang最近的一项关于A(x, m)的研究运用了两种方法:分析法和鞍点法。Hwang通过得到了一个简单的渐进的公式，我们在这里可以充分证明分析法可以得到这个公式，另外在这里，我们把它进行改进。

1.介绍

令a_m(n)表示一个正整数n的有序因子分解的数量，并将其转化为m个因子的乘积，每个因子都严格大于1。

同样，

(1)

其中#{···}表示集合的基数。定义A(x, m)=。在[1]中，对于不同的m值，Hwang研究了A(x, m)的渐进行为，应用解析法(Selberg–Delange法)，Hwang对(小m)运用了解析法，然后用鞍点法解决其他问题(大m)，综合这两种方法，他特别通过证明了(参见1，定理2，推论4)

(2)

是欧拉常数。

可以用解析法证明(2)，因为m是一个整数，因此可以简化为留数定理。另外，我们可以得到一些新的理论，定理1中的m比[1，定理2]范围更大，但是与鞍点法(参见[1,定理3])推导出的结果相比，依旧是小的。定理2给出了的一个更尖锐的误差项，它不是在[1]中得到的，这里的关键点在于集成路径的选择。值得注意的是，与使用留数定理相比，通过在[1]中采用的Hankel型轮廓，是具有更一般的适用性的。

在下面，我们写做,并且用,,和来表示一些合适的非特殊的正数。

定理1：让,x是任意大的数

其中是欧拉常数,.

虽然m的取值范围很广，但E(x,m)的估计值大于m的主项，然而，对于1m= )，E(x,m)的上界比[1，命题2]中的对应项更强。实际上，我们可以通过修改积分路径来进一步的提高m的误差项。

定理2：让,我们有

在m的一定范围内，我们可以得到以下结果,

推论1：令,然后有：

其中=min(R,m-1)和一个空的总和表示0.

推论2：让Kgt;0等于任意固定常数，然后(2)保持其中(2)中的O常数取决于K.

最后，我们要提到的是，因为它在(1)和(s)-1中所起的作用，我们没有将研究范围扩大到非整数m.

2.证明结果

根据Perron公式，对于任何,我们有A(x,m)=，

但是除此，我们应该考虑

其中，,从[2,定理6.3]及其证明中，存在绝对常数使得,

(3)

其中隐含的常数与和t无关，令为一个足够大的常数,

并且,定义T₀ gt;0满足方程然后我们用另外一条路径替换积分路径是逆时针的，包含两个水平线段[1 minus;(T)plusmn; iT, 1 kplusmn; iT],曲线{1 minus;(t)plusmn; it:T₀ t T}和垂直线段[minus;iT₀, iT₀]。因此，根据留数定理

(4)

其中,对于Re s=1 k,有

，

(5)

运用斯特林公式可以得到

从(3)可知，水平线段在中的贡献

(6)

提供，沿曲线部分的积分

))

我们把分成两部分,其，显然的，,,因此，如果，沿两条曲线的积分

(7)

积分是,在(7)可以被吸收，因此，可以从(4)—(7)得到。

(8)

显然我们可以写作ds/(s (s 1))，其中积分是在1 k和反方向的矩形路径上。应用前面的参数，我们可以得到

(x)=

取h=x,然后

,从B(x h,m)-B(x,m)=h(x)

和是正的，我们可以得到

因此，A(x,m)=，其中E(x,m)满足定理1中的边界。

我们最后一个任务是用(参见[2,(1.11)])，来估计，因为足够小的和,我们有

,

其中g(z)在和x=上解析，扩展成幂级数，我们有

exp(mg(s-1))=，

其中

通过选择R=，然后我们有

(9)

其中，这就完成了定理1的证明。

为了证明定理2，我们采用了另一条路径而不是[1 k-iT,1 k iT],是其他三方的矩形轮廓顶点1 kiT和1-，这里我们取,T=，然后(4)和(5)仍然保留(替代)，运用(3)在水平段上积分被(5)中边界吸收，当是一个足够小的常数。积分它被分为三个部分：,在(3)的条件下前两个是有界的，最后一个，我们应用柯西定理得到

因此，B(x,m)=.

这是在条件(8)和(9)之下得出的结果。

在推论1的条件下，我们有,因此，如果很小,

求和,

推论2很容易由推论1得到。

REFERENCES

1.H.-K. Hwang, Distribution of the number of factors in random ordered factorizations of integers, J. Number Theory 81 (2000), 61–92.

2.A. Ivicacute;, lsquo;lsquo;The Riemann Zeta-Function,rsquo;rsquo; Wiley, New York, 1985

剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

资料编号：[23532]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word