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等周、Sobolev不等式和特征不等式与Alexandroff-Backlman-Pucci方法：一个综述
摘要：本文通过使用Alexandroff，Bakelman和Pucci的技术来建立ABP估计，进而证明了几个不等式的证明。 首先，笔者给出了Berestycki，Nirenberg和Varadhan关于具有有界可测系数的椭圆算子的主特征值下界的一个新的简单证明。 本文的其余部分是使用ABP技术证明几个等周不等式和Sobolev不等式。 这包括经典等周不等式，Wul等周不等式以及凸锥上的Lions-Pacella等度量不等式的新证明。 对于最后一个不等式，作者最近在Xavier Ros-Oton和Joaquim Serra的作品中发现了一个新的证明，该作品通过研究Haim Brezis提出的一个未解决的问题，提出了新的Sobolev不等式。
关键词：等周不等式、主特征值、Wul形状、ABP估计
- 介绍
在本文中，我们通过使用Alexandroff，Bakelman和Pucci的技术来建立他们的ABP估计，从而证明几个不等式。 Alexandroff-Bakelman-Pucci（简称ABP）估计是一个界，用于解决有关Dirichlet问题的二阶一致椭圆算子的非散度形式。
在一个中有界可测量。如果是有界的并且，对任意函数
其中表示的直径，是一个常数，仅取决于的椭圆常数和系数的范数（有关更多详细信息，请参阅下面的备注3.1以及[25，第9章]）。以前的作者在六十年代通过使用本文中称为ABP方法的技术证明了这一估计。估计和方法都在几个领域有应用。首先，ABP估计是完全非线性椭圆方程正则理论的基本工具。ABP方法也是Jensen粘度解决方案独特结果的关键因素。对于这些问题，请参阅[18]。 其他应用程序由Berestycki，Nirenberg和Varadhan [2]在1994年左右开发，他们建立了算子的主特征值的下界，并因此建立了“小”域的最大原理。 这些最大原理非常有用（与移动平面方法相结合），用来建立非线性问题正解的对称性（参见[1，9]）。在本文中，我们给出了Berestycki下界的一个新的简单证明（之前未发表），Nirenberg和Varadhan [2]关于主要特征值，即
由边界可知
对于一些正的常数，仅取决于的椭圆常数，即范数的系数以及的上界。特别是，如果有上界，则常数与无关。因此，如果趋向于零，则趋向于无穷大（1.2）。
相比于他们，我们仅用ABP方法来证明，并且不需要Krylov-Safonov Harnack不等式。 我们通过证明实际取决于的维的系数而不是维，从而稍微改善了这一结果。为了证明的下界，我们将ABP方法推广到满足主要特征函数的对数问题。
请注意，下界的常数不取决于系数的任何可测系数。 这就是为什么我们说它是一个有界可测系数的边界。 这种一般性对于完全非线性椭圆方程的应用至关重要。
当具有有界可测量系数的散度形式时，（1.2）由Brezis和Lions证明[5]。 他们建立了对类型（1.1）的估计，用代替了。 应用于第一个特征函数，它给出（1.2）发散形式的算子。
作者在文献[7]中证明了将直径（）替换为的ABP估计（1.1）的改进（另见[9]）。
当是拉普拉斯算子时，具有最佳常数的（1.2）是Faber-Krahn不等式，当Omega;是一个球时（见[24]）相等。 因此，在给定相同体积情况下，球具有最小的第一Dirichlet特征值。 在这方面，我们想提出以下问题。
问题1.1：当是拉普拉斯算子时，是否可以使用下面介绍的ABP方法证明Faber-Krahn不等式（即具有最佳常数的不等式（1.2），由球实现）？
本文的其余部分是介绍使用ABP方法证明的几个等周不等式。 我们首先提出作者在1996年左右发现的中经典的对称不等式的证明（见[8,10]）。 它将ABP技术应用于拉普拉斯算子的线性Neumann问题，而不是像ABP估计那样将该方法应用于Dirichlet问题。 那么它会得到最佳常数的等周不等式。 另外，证明并不要求域是凸的，并且它很容易地表明球是等号成立的唯一光滑域。
使用ABP方法的证明也可以适应各向异性周长。这给出了第4节中介绍的Wul等周不等式的新证明。Serra和Teixido [32]最近通过一种非常聪明的方式将证明扩展到第二维的简单连通Cartan-Hadamard黎曼流形中。这些是具有非正截面曲率的流形。这样，他们给出了欧几里得等周不等式的一个新的证明，即（3.1）下面的欧几里德常数在这样的二维流形（在它上面具有相同的欧几里得常数）也是有效的。在较高的维度上（除了3和4），这是一个长期开放的重要猜想（见[22]）。
最后，第5部分涉及最近的论文[16]，作者Ros-Oton和Serra，我们在的凸锥上建立了具有权的新的等周不等式和Sobolev不等式。 特别是，我们给出了凸锥上的Lions-Pacella等周不等式（参见[29]）的一个新的证明。 它让我们想起了Wul和lion一Pacella等周不等式的经典证明使用了Brunn-Minkowski不等式（4.2）。
在[16]中的结果表明，以原点为中心的欧几里德球解决了的任何开放凸锥（以原点为顶点）处的加权的等周不等式问题，用于以下类别的权。这里，周边和度量都是根据权计算出来的。权必须是非负的，连续的，的正齐次。所以如果，则在圆锥中是凸的。这个凹度条件等价于一个自然曲率维数界，事实上，对于维数为的Bakry-Emery Ricci张量的非负性。除了常数之外，所有这些权都不是径向对称的，但以原点为中心的球都是等周集。
我们的证明用到应用于算子的Neumann问题的ABP方法
这个结果给出了下面的Sobolev不等式的结论。如果
对于中的所有光滑函数和紧支撑（不一定在上消失）成立。我们可以给出最佳常数的值，因为它是通过某些径向函数达到的（见[14]）。
单项权
（这里）是满足上述假设的权的例子。 具有上述单项权的Sobolev不等式（1.3）自然出现在[13]中，作者和Ros-Oton研究了Haim Brezis提出的以下未解决问题。
问题1.2：（Haim Brezis，1996 [4，6]）极值解在有界光滑域中，具有零Dirichlet边界条件，如果维数，那么它总是有界的，对于每一个正的，增加的和凸的非线性，它总是有界的？ （更多细节见[4,6,13]）。
一个更强有力的观点是对于中的 的Dirichlet问题的每个稳定解是否都有同样的结论。 Nedev在维度2和维度3，作者在维度4以及作者和Capella的在径向维度9（见参考文献[17]）中证明了这一点。 在[11]中，我们表明这些有规律的结果基本上适用于任何非负的非线性。
在[13]中，我们研究了具有双重对称性凸域的问题，并且我们确定了其维度高达。如果，如果在前个变量的旋转下以及在最后个变量的旋转下，我们称一个域是不变的。平衡的方法仅取决于“径向”变量。在这些坐标系中，中的Lebesgue测度变为。 这是（1.4）中的单项权。 在[13]中，为证明有规律结果，我们需要上述具有单项权的Sobolev不等式，即使是（1.4）中的非整数也是如此。
- 有限可测系数的椭圆算子的主特征值
ABP估计是Dirichlet问题的子解的基本界
其中是以非散度形式写成的椭圆算子
在域中。 我们假设是具有有界可测系数的一致椭圆，即，
对于一些常数。 ABP估计表明，如果是有界的，那么在中，和（2.1）成立，所以
其中表示的直径。是一个常数，仅取决于和
在详细介绍了等周不等式的ABP证明之后，在备注3.1中解释了ABP估计的证明。
1979年，Krylov和Safonov使用ABP估计和Calderon-Zygmund立方体分解建立了一个深层结果：二阶一致椭圆方程的非散度形式的Harnack不等式具有有界可测量系数。 这个结果支持了完全非线性方程的正则理论的发展（见[18]）。
现在考虑算子
并假设是一个有界光滑域，并且系数在上是光滑的。 在[2]中，Berestycki，Nirenberg和Varadhan证明了具有正（光滑）特征函数（主要特征函数）的（主特征值）存在的唯一特征值：
另外，是一个简单的特征值，满足。
在[2，定理2.5]中，Berestycki，Nirenberg和Varadhan使用Krylov-Safonov理论
建立一个正的常数的下界，仅取决于和的上界。 我们现在给出一个更简单的证明（之前未发表）。通过使用ABP方法的这个下界。我们不需要使用Krylov-Safonov理论。 我们的证明通过证明取决于，而不是略微改进了其边界。 更确切地说，我们有以下定理。
定理2.1 如果有界，则的的主特征值满足：
其中是一个正的常数，仅取决于和。
证明：当中的，我们可以得到函数
，我们有
我们考虑的下接触集，定义为
它是一组点，其中的图的切线超平面在所有中都低于。
对于每个，在的内部一点有最小值，因为在和上是有界的。函数在中取最小值的点处，我们有和。它遵循
令人感兴趣的是，通过考虑的函数的图来几何学上证明这种证明。这些是平行超平面，对于接近的，它低于的图。 我们让增加并考虑在点x处与之接触或“触摸”的第一个。 很明显，由于上的，因此。
使用（2.4），我们可以将面积公式应用于的映射。整合
在中我们得到一个正函数。我们得到
请注意，在任意点都是非负的。
接下来，我们使用矩阵不等式，它适用于每一对和的非负对称矩阵。这是算术几何平均不等式的简单扩展。我们将它应用于，其中和。我们同样使用
从（2.3）开始。 这里和整个证明中，表示一个仅取决于和的正常数。因而
所以，在（2.5）我们有
另一方面，表示，我们知道
结合（2.6）和（2.7），我们得出，这是我们所需要的不等式。
3 、经典的等周不等式
在本节中，我们介绍了使用ABP技术的光滑域的经典等周不等式的证明。 它在1996年被作者发现并在[8,10]中发表。该证明建立了以下定理。
定理3.1（等周不等式） 设是的有界光滑域，然后
其中是的单位球，表示的度量，表示的边界。 而且，当且仅当是的球时，取等号。
证明：令是Neumann问题的一个解
其中表示拉普拉斯算子，并且上的外法向量导数。该恒量已确定，以便该问题有一个特定的解，由不断增加的常量决定。有关这些经典事实，请参见[27]的第10.5节中的示例2或[25]的第6.7节的结尾。 另外，我们知道在中是光滑的。
我们考虑的下接触集，并定义为
它是一组点，其中的切线超平面在所有中都低于。所以
其中表示中心0的的单位球。
为了表示（3.4），取任意满足。令是一个点，例如
（这是一个符号，是的Legendre变换），如果，那么在处的外导数将是非正的，因此，与（3.2）矛盾。它满足，因此，是函数内部的最小值。尤其是，。现在证明（3.4）。令人感兴趣的是，通过考虑的函数的几何图形来证明这一结论。这些是平行超平面，接近的位于的图形下方。我们让增加并考虑在点处与之接触或“触摸”的第一个。从几何上可以清楚地知道，因为上的和。
接着，由（3.4），我们推断
我们已经将区域公式应用于映射，并且我们已经使用它的雅可比矩阵，根据这个集合的定义在中是非负的。最后，我们使用算术几何平均不等式应用于的特征值（这是的非负数）。在中我们有
这与（3.5）和相结合，所以
当，我们得出等周不等式
注意当时，，的所有特征值是相等的。因此，很明显，当时，（3.4）和（3.6）是相等的。这就解释了为什么证明给出了等周不等式的最佳常数。
以前的证明也可以用来表明球是唯一相等的，在等周不等式中发生的平滑区域。 的确，如果（3.8）是相等的，那么（3.5） - （3.7）中的所有不等式也是相等的。特别是，我们有。 因为，是一个开集，相对于是闭的，我们推导出。回想一下个非负数的几何和算术平均值当且仅当这个数全部相等。因此，（3.6）中的等式和是中在所有中，上的常数，其中是单位矩阵和是一个正的常数，令是任意给定的点。从段中整合，我们推断
在附近。尤其是，因此映射是局部常数。因为连通，我们推断这个映射是一个常数，比如。
它满足， 由（3.4）可知。 另外，这两个光滑开集合和具有相同的度量，因为等式出
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