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基于山路引理和迭代法的分数阶边值问题解的存在性
孙红蕊,张全国
兰州大学数学与统计学院,甘肃兰州730000,中国
文章信息
关键字:分数阶微分方程 解 边值问题 临界点 迭代法
摘 要
在本文中,我们考虑以下分数阶边值问题解的存在性
其中常数,和分别表示阶左、右Riemann-Liouville分数阶积分. ,且连续. 由于常数和的一般性,问题没有变分结构. 尽管如此,我们在这里研究基于变分方法的问题,结合迭代法,并在适当的假设下给出问题解的存在标准. 该结果扩展了在[F. Jiao, Y. Zhou, Existence of solutions for a class of fractional boundary value problems via critical point theory, Comput. Math. Appl. 62 (2011) 1181–1199]中的结果.
1. 介 绍
分数阶微积分在流体流动,电网络,概率统计,粘弹性,化学物理和信号处理等诸多领域都有应用,见[1-8]及其中的参考文献. 分数阶微分算子受到了许多研究人员的关注,这主要是由于其在表现出异常扩散的物理现象的模型中的应用.
在本文中,我们研究了以下分数阶边值问题的可解性
其中常数,,连续,和分别表示阶左、右Riemann-Liouville分数阶积分,且定义如下
我们研究问题(1.1)的兴趣来自于分数阶对流—扩散方程,它描述了非对称过渡且可以是对流和非对称分数阶扩散方程的稳态,见[2,3,9].
[10]在的特例下,对于问题(1.1),焦和周在一些合适的分数空间中建立了相应的变分结构,并应用最小动作原理和山路引理,来研究问题解的存在性.
对于问题(1.1),由于左右Riemann-Liouville分数阶积分的出现,难以找到(1.1)所对应的等价积分方程,所以似乎不动点定理不能应用于这个问题. 由于常数和在的一般性,问题(1.1)不是变分的,我们不能找到一些函数使它的临界点是对应问题(1.1)的解,因此,临界点理论对上述问题(1.1)毫无用处.
近年来,De Figueiredo等人[11](或[12])考虑了具有非线性项的半线性椭圆方程解的存在性. 这些文章所采用的方法是将问题与一组半线性椭圆问题结合起来,而不依赖于解的梯度. 这一类问题是变分的,通过应用山路引理,他们获得了一系列的解,并证明了序列的弱极限是问题的一个解.
受文献[11,12]的启发,本文试图通过山路引理和迭代法研究问题(1.1)的解的存在性. 为了使用变分法,我们考虑了一类具有变分结构的分数阶边值问题,也就是说,对于任意(将在第2节中定义),我们讨论以下问题
(1.2)
所以可以通过变分法来解决问题(1.2). 所以,对于每一个,都可以找到一个有边界的解. 接下来,通过迭代法,在合适的假设下得到(1.1)解的存在性.
本文结构如下. 在第2节中,提出了一些预备条件,列出了关于问题的假设和主要结果。 第3节我们致力于证明本文的主要结果.
2、准备与主要结果
为了应用临界点理论来研究问题(1.1)的解的存在性,我们将陈述一些基本的符号和结果,这些符号和结果将用于证明我们的主要结果.
对于,定义空间或[9,定义2.5]为的完成,基于范数
或
其中和分别为阶左右Riemann-Liouville分数阶积分,且定义如下
若,;若,. 有关分数阶运算符的更多性质,参考[6,7].
对于,分数阶Sobolev空间定义为在下列范数下的完成
对于,由嵌入定理,我们知道是紧凑的,且如果,则.
由[9,定理2.13]可知对于,如果,则空间、和是等价的,并且有等价的范数. 考虑到的定义,可知是自反的,所以是一个自反空间.
对于空间,我们有以下结论.
引理2.1. 如果,则在上几乎处处存在.
证明. 假设,且当时. 设为大于或等于的最小整数.
因为是一个从到的有界线性算子[6](或[10]),考虑到在中当时,当时,由于当时,所以当时,所以存在使得在中. 因此,所以在中几乎处处存在.
□
引理2.2. 如果且,则我们有
证明. 对于,由[10]中的命题3.2和4.1的类似证明,我们知道不等式(2.1)—(2.4)成立. 由密度可知结论是符合条件的.
□
由(2.2)可知空间有等价的范数. 所以,此后记为中的一个范数.
定义2.3. 设. 函数被称为(1.1)的一个弱解,如果对任意有
定义2.4. 设. 函数被称为(1.1)的一个解,如果当时是可导的,且
注2.5. 由引理2.1可知如果,则和在上几乎处处存在且属于. 因此,和在上几乎处处存在.
对于给定的,我们定义上的函数为
其中. 显然,由上的连续假设,我们有,且对于有
(2.6)
引理2.6. 如果是(1.1)的一个弱解,则是(1.1)的一个解.
证明. 在(2.5)中取,类似于[10]中定理4.2的论证,我们可以得到对于每个有
所以,存在常数,使得
则
□
我们假设以下条件成立:
(H1) 对于每一个,存在使得
(H2) 就而言;
(H3) 存在和使得
注意到(H3)意味着存在,,使得
假设(H2)和(H4)得出:对于任何,存在使得
在下面,对于,我们用表示
对于问题(1.1),由于常数p和q的对称位置,我们可以假设.
方便起见,此后我们记,
其中在(H3)中给出. 假设,取
让我们来求一个函数,,对于,定义
其中在(2.7)和(2.8)中给出.
本文的主要结果如下.
定理2.7 假设(H1)—(H4)成立,且,. 如果存在且,使得
且
则问题(1.1)有一个非平凡解.
3. 主要结果的证明
在这一节中,我们用山路引理[13,14]和迭代法给出了定理2.7的证明.
定理2.7证明. 设在(2.14)中. 我们来解决,.
为了证明定理2.7,我们分为三个步骤.
第一步:对于给定的解决,,由山路引理我们证明在内有一个非平凡临界点.
为了应用山路引理,我们首先证明存在使得对于有.
事实上,由(2.9),霍尔德的不等式,(2.3),(2.2),(2.1)和(2.4),有
通过假设(2.15),可以取使得
且
因此,现在设,,存在使得对于,统一为,.
对于给定的,,由(2.3),(2.8),对于,有
所以,存在使得,满足且.
为了应用山路引理推导出在中有一个临界点,现在足以证明满足P.S. 条件.
事实上,设,使得对于一些正数K有,且当时. 所以,使用条件(H3)和(2.6),我们有
结合时,可知在中有界. 因此,不失一般性,我们可以假设在中,且在中.
从(H1)得出结论
并观察
所以,在中.
因此,由山路引理,在中有一个非平凡的临界点,
其中.
第二步:构造迭代序列并估计它在的范数.
对于,由第一步可知有一个非平凡临界点. 如果我们能证明,则由第一步可以得到有一个临界点. 所以,为了得到迭代序列,我们需要证明:如果假设,则,由第一步得到的的非平凡临界点,满足.
事实上,通过临界水平,(2.3)和(2.4)以及具有正常数的Cauchy不等式的山路表征,我们得到
如果取
则通过简单的计算可知,当时有最大值,其中
因此,由(2.7)和,我们有
所以
其中又(2.13)给出. 因此,它遵从(2.11)中给出的a和b的定义
当时,其中由(2.12)给出,我们有
所以,我们得到
因此,如果令并且使成为的一个重要临界数列,由上述已知,可以推导出.
第三步:我们通过迭代序列构造出了第二步中收敛于(1,1)的非无效解.
我们证明序列是在中的一个柯西序列,考虑到式(2.1)和前述对的定义,所以通过(2.3)和(2.6),,我们最终的到了下式结论.
所以,
通过这个假设2.16,我们可知:
因此,在中序列是一个柯西序列,所以,我们可以假设在中,鉴于的定义,我们可以知道是一个弱解并符合引理2.6,所以是(1.1)的一个解,在 中正数并不是n的因变量,所以我们可知u是区间[1,1]内的一个非平凡解.
参考文献
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[10] F. Jiao, Y. Zhou, Existence of solutions for a class of fractional boundary value problems via critical point theory, Comput. Math. Appl. 62 (2011) 1181–1199.
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