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基于小波变换的图像边缘检测技术
Yang Hao ,Li Changshun ,Pei Lei
College of electrical engineering
Chongqing University
Chongqing, China
摘要：针对传统的边缘检测算法例如Sobel, Robert, Canny 和 Log等等的问题关于抗干扰性和检测精度，这篇论文首先提出了采用基于广义交叉验证（GCV）的小波阈值法给图像去噪，然后利用二维的多尺度小波变换利用在边缘检测上，选择对应于小规模的图像边缘检测结果。通过比较传统的边缘检测方法和改进的边缘检测方法之间的模拟结果，该方法在细节保留和定位精度上比传统的边缘检测算法更好。
关键词：边缘检测;广义交叉验证; 二维（2-D）的小波变换; a`trous算法
1引言
边缘检测是物体辨识的一项重要工作并且也是图像分割必不可少的预处理步骤[1]。边缘检测决定了最终处理后的图像的结果。这是底部可视处理的最重要环节之一，这也是实现基于边界图像分割的基础。在图像中，边界演示了一个特征区的结束和另一个特征区的开始，不同的区域的功能和性质是完全不同的。边缘检测是精确地通过利用对象和背景之间的某种图像特征的差异，差异包括灰度，颜色和纹理特征。实际上边缘检测的方法是检测图像特征变化的位置[2]。
边缘检测必须首先检测图像的局部特征的不连续性，然后连接这些不连续的边缘像素为一个完整的边界。该边缘检测方法的质量关系到边缘的准确性和其他后续的处理结果。在图像预处理的过程中这是关键，因此对于边缘特征选择合适的数学算法特别重要。
这些存在的边缘检测如Robert，Sobel，Prewitt，Log 和Canny都有着自己的特点，但也有其局限性。因此，本文提出了一种基于小波变换的方法。虽然通过比较新方法与传统方法，我们可以发现新方法在检测上准确性更高。
2小波阈值去噪
A. 小波阈值去噪的过程
通过长期的实践，给图像去噪的小波技术已经取得了很大的发展，该噪声模型
（1）
令是原始图像，是噪声图像,是高斯噪声。
一般情况下，小波阈值去噪包括三个基本步骤[3]；
⑴小波分解：选择合适的小波和分解尺度来计算；
⑵阈值估算：选择一个阈值做每个高频系数分解尺度的预估值；
⑶小波重构：根据小波分解的最底部的低频系数和高频系数做小波限制；
由此可以看出，在小波阈值去噪的过程中阈值的选择和估计是最关键的问题。如果阈值过大或过小，最后的结果将受到影响，如有用的信息被误解的删除或噪音不能清楚地除去。
B. 基于GCV的小波去噪
交叉验证是广泛应用于选择自动平滑参数的。使用GCV方法来计算阈值，我们不需要获得任何噪音的信息和图像的细节特征就可以很好的进行去噪。在过去的实践中证明该阈值是通过广交叉验证得到的阈值是最优解，并且逐步得到最小均方误差。
假定该阈值为sigma;，GCV定义的预估函数为：
(2)
其中是小波系数的数值，是小波的来调零去噪后的值，是原始图像的小波系数，为小波阈值的系数[4]。，我们需要得到的是预估函数GCV的最小阈值。
(3)
从此，我们可以看到，在计算阈值是GCV函数最小值的过程中，也是阈值的一个连续变化的过程。不需要再估算噪音，因此计算量比较小。
在阈值被选择时，选择合适的阈值函数。多诺霍分割阈值函数为硬阈值和软阈值[5]。
软阈值函数为：
(4)
硬阈值函数：
(5)
其中是符号函数，原始图像的小波系数，是阈值。 这张图采用软阈值函数进行小波去噪，有高斯噪声和的图像“摄影师”和去噪后的图像展示在图1里：
图1高斯噪声和降噪图像
3基于A`TROUS的小波边缘检测
A. 小波边缘检测算法的原理
由于小波变换的字符变换，其模最大点是对应于奇异点的信号。因此，我们可以通过获取图像的边缘点来解决模极大值点。因为小波变换存在于每一个规模里，所以每一个小波变换的
规模提供某些边缘信息，它被称为多尺度边缘[6]。
假设是适当的平滑二维图像，并且满足等式（6）
（6）
标记为：
（7）
二维信号的滤波是通过进行*的卷积，令
（8）
从等式（7）（8），我们可以得到
（9）
进行多尺度的小波变换
（10）
（11）
在尺度s下，梯度向量的模块拥有的模块和小波变换成正比。
（12）
相位角是：
（13）
从梯度的定义，在固定的尺度s上，如果模块得到的极大值点在方向上，说明点是奇点。换言之它是单一的点。因此，获取边缘的过程转换为获取小波变换的模的极大值。
B.边缘检测算法
通过插值滤波器有限的逼近，a`trous做非抽样离散小波变换。
相对于其他的小波算法，它有三个字符如下[7]：
1）计算的空间和时间的要求是更加理性，很容易编程实现。
2）它是二维各向同性的，变换的过程中可以通过过滤来实现。
3）有利于图像的细节的获取，因为字符未经采样和插值。
关于a`trous的具体描述为：假设原始图像数据为，通过尺度函数滤波后的数据为，所以等式意味着在两个不同的尺度下的信息差。即信号（小波面）。其实，a`trous小波变换将输入的图象数据分解为几个细节信号和一个背景信号。图像的细节人物浓缩在小波平面上，原始图像是细节信号和背景信号的叠加。
假如图像一有Ntimes;N个像素，它需要
分解j尺度下的图像i，包括,尺度,实现步骤如下，
1）转换图像double类型;
2）计算图像的大小，以确保分解尺度j;
3）设计一个循环结构，设计适合的行和列的a`trous小波变换，然后得到小波系数的幅度和相位;
4）找出模极大值点，记下奇点的位置。
5）链接相邻的奇点，擦去这些不良的点，然后在尺度s下获取边缘图像对应。
4模拟与分析
选择带有高斯噪声的摄影师形象作为原始图像。用传统的做边缘检测边缘检测算法和a`trous方法，列出边缘检测在J =1,2,3下的结果如图2。仿真结果显示如图2，
Sobel算法 Robert算法 prewitt算法
Canny算法 log算法
尺度1 尺度2 尺度3
图2传统算法和改进的效果图
- 传统的边缘检测算法的分析
Robert算子：利用当地的微分算找到边缘，它具有定位精度高的特征，但它很容易失去的边缘的一部分，并且不具有抑制噪音的能力。
Sobel和prewitt算子：他们两个首先做加权图像平滑，然后做微分运算。因此，他们有噪声的一定的抑制能力，但结果不能完全排除出现在边缘的错误的测试。容易出现多像素边缘，使检测精度下降。
Log算子：首先进行图像高斯滤波函数，然后就用拉普拉斯变换过滤图像，考虑点和零边界点是对应的。当抑制噪声时，它可以平滑原有的锋利边缘。有必要选择适当的高斯函数的方差参数，以获得最佳图像处理效果。
Canny算子：边缘检测算法是基于优化思想的推断[8]。先用高斯滤波器来平滑图像，然后计算梯度幅度和过滤的图像的方向，然后将非极大值抑制法应用在梯度幅度上，以获得边缘检测图像。这个算法采用了双阈值法来检测和连接边缘，这种方法是对噪声的影响较小，并且能够检测弱边缘，但边界的连续性比log算法差。
从仿真结果来看，所有这些传统的算法都有错误检测或丢失检测的问题。检测精度在技术上不能真的达到要求。
B．新方法的分析
新的边缘检测方法得到的检测结果是在不同尺度下的小波变换的特点。在j =1时，新的方法
可以有效地检测出边缘细节。另外，它具有良好的精度。它形成的图像边缘的轮廓以j来
增加。我们可以选择合适的边缘检测结果。在范围内根据实际需要得到不同尺度的所有结果。
j=1的检测结果的局部放大画面在图3中所示。
图三j=1的检测结果的局部放大画面
5结论
本文介绍了基于小波变换的边缘检测的阈值去噪理论。小波变换具有良好的时频局部化和多分辨率的优点，并特别适合于局部分析和边缘检测。
在本文中，我做了小波阈值去噪的基础上第一广义交叉验证。随后通过a`trous小波变换来检测去噪图像的边缘。最后，比较新的方法和传统的算法的边缘检测模拟结果。上述的新的边缘检测方法比传统算法更好。
参考文献
[1] M. I. Rajab, M. S. Woolfson, and S. P. Morgan,“ Application of region-based segmentation and neural network edge detection to skin lesions,” Computerized Medical Imaging and Graphics,vol.28,no.1-2,pp.61–68,January 2004.
[2] Wang Ai-ling, Ye Ming-sheng, and Deng Qiu-xiang, Imageprocessing technology and application of MATLAB R2007.Bei Jing,2008, p.166.
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[4] Tai-Chiu Hsung, Lun D.P.-K., “Generalized cross validation for multi wavelet shrinkage,rsquo;rsquo;Signal Processing Letters, vol.11,no.6,pp.549-552, 2004.
[5] Donoho D L and John stone I M., “Ideal Spatial adaptation via Wavelet Shrinkage,rsquo;rsquo; Biometrika, vol.81,pp.425-455, 1994.
[6] Yi-shu Zhai, Xiao-ming Liu, “Adaptive edge detection based on multiscale wavelet features,rsquo;rsquo; The Sixth World Congress on Intelligent Control and Automation, vol.2,pp.10289-10293,2006.
[7] Lin Hui, Jing Hai-tao, Zhang Lian-peng, “Remote Sensing Images Fusion Based on a`trous Wavelet and PCA Transformation, ”.Geo-Information Science,vol.10,no.2,
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