一种新的核模型C均值算法及其在医学图像分割中的应用外文翻译资料

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一种新的核模型C均值算法及其在医学图像分割中的应用

摘要：图像分割在许多医学成像应用中起着至关重要的作用。本文提出了一种新的磁共振成像(MRI)数据模糊分割算法。该算法通过修正传统模糊C-均值(FCM)算法中的目标函数，利用核诱导距离度量和隶属函数的空间惩罚来实现。首先，将FCM中原有的欧氏距离替换为核诱导距离，推导出相应的算法，称为核化模糊C-均值(KFCM)算法，该算法比FCM具有更强的鲁棒性。然后在KFCM的目标函数中加入空间惩罚，以补偿MR图像的强度不均匀性，并允许像素的标号受到图像中邻域的影响。惩罚项作为正则化项，其系数从0到1不等。在合成和实际MR图像上的实验结果表明，在存在噪声和其它伪影的情况下，该算法比标准算法具有更好的性能。

关键字 图像分割；模糊C-均值；核方法；核诱导距离；磁共振成像

介绍

随着医学图像的尺寸和数量的不断增加，利用计算机对其进行处理和分析已成为必要[1]。特别是，作为描述解剖结构和其他感兴趣区域的任务，图像分割算法在组织体积的量化、诊断、解剖结构的研究等众多生物医学成像应用中发挥着至关重要的作用，和计算机综合手术[1-3]。传统上，图像分割被定义为将图像分割为不重叠的、与强度或纹理等特征相一致的组成区域。

由于磁共振成像(MRI)相对于其他诊断成像的优点[2]，大多数医学图像分割研究都涉及到磁共振图像的应用，目前有很多方法可用于MR图像分割[2-6]。其中，模糊分割方法具有很大的优势，因为与硬分割方法相比，模糊分割方法保留了更多的原始图像信息。特别是模糊C均值(FCM)算法[7]，将像素分配给不带标签的模糊聚类.与硬聚类方法不同，硬聚类方法强制像素只属于一个类，FCM允许像素属于多个不同类别的聚类。

由于其额外的灵活性，近年来FCM在MR图像分割应用中得到了广泛的应用。然而，由于MR图像中射频线圈所引起的空间强度不均匀性，传统的基于强度的FCM算法已经被证明是有问题的，即使采用了非参数、多通道方法等先进技术。针对非均匀性问题，人们提出了许多算法，在分割图像[4，5]之前增加校正步骤，或将图像建模为原始图像和平滑变化乘子场[2，6]的乘积。最近，许多研究人员将空间信息纳入到原来的FCM算法中，以更好地分割图像[6，8-10]。Tolias和Panas[8]提出了一种基于模糊规则的FCM空间连续性系统，在另一篇论文[9]中，他们用一个小的正常数来修正3x3窗口中心像素的隶属度。Pham等人[6]修改了FCM算法中的目标函数，使其包含图像一阶和二阶信息的乘子域。同样，Ahmed等人。[11]提出了一种补偿强度不均匀性的算法，并通过考虑像素的邻域来标记像素。Pham[12]最近提出的一种方法是惩罚FCM目标函数来约束隶属函数的行为，类似于正则化和马尔可夫随机场(MRF)理论中的方法。

另一方面，最近的机器学习工作出现了一种趋势，即用“核方法”构造线性算法的非线性版本，例如SVM[13-15]、KPCA[16]和KFD[17]。这种“核方法”也已应用于无监督聚类[18-20]。然而，这些内核聚类算法的一个缺点是使用聚类原型的对偶表示(即，每个原型被表示为映射后的数据集元素的线性和)，因此，所要优化的参数不再是原始原型，而是线性组合的Coeffi科学)，即聚类原型位于高维特征空间，因此聚类结果缺乏清晰直观的描述。本文提出了一种新的核化模糊C-均值(KFCM)算法来弥补这一不足，并将其应用于MR图像分割。通过将FCM算法中原有的欧氏距离替换为核诱导距离，并增加一种新的空间惩罚来实现。惩罚项是正则化的，同时也是与零相关的一个系数fi，与FCM等标准算法相比，该算法对被噪声等噪声破坏的真实MR图像具有更好的分割效果。

本文的其余部分如下所示。第二节简要介绍了“核方法”的一些基本概念。在第三节中，KFCM是从最初的基于“核方法”的FCM中推导出来的。第四节提出了具有空间约束的KFCM来分割MR图像。第五节给出了一些实验比较。最后，第六节给出了我们的结论和今后工作中应注意的几个问题。

2.核方法

近年来，提出了基于支持向量机(SVM)[13-15]、核Fisher判别(KFD)[17]和核主成分分析(KPCA)[16]等强大核学习机器，并在模式识别和函数逼近等方面取得了成功。这些算法背后的一个共同哲学是基于以下核(替换)技巧，即从数据空间到映射的特征空间(F：X！Fx！Fxabr，一个数据集fx1)具有(隐式)非线性映射的firust；.XngX(一个低维输入数据空间)映射到一个潜在的高维特征空间或内积F中，其目的是将输入空间中的原始非线性问题转化为一个潜在的线性元高维特征分解问题，如本文[21]所证明的那样。

特征空间中的核可以表示为下面的函数K

(1)

其中F_x；F_y是内积运算。关于核函数的一个有趣的观点是，可以在F中隐式计算内积，而不必使用或甚至不知道映射F。因此，核允许在空间中计算内积，否则无法执行任何计算。文献中常用的三个核函数是[22]：

(1)高斯径向基函数(GRBF)核 (2)

(2)多项式核： (3)

(3)Sigmoid核 (4)

其中s，d，a，b是上述核函数的可调参数。对于Sigmoid函数，只能用满足Mercer定理的一组参数来定义核函数。

3、核化模糊C-算法

给出了将数据集fxkgNk 1划分为c簇的标准FCM目标函数。

(5)

其中fvitc i/1是簇的中心或原型，而数组fuikg(1/4 U)表示一个满足以下条件的分区矩阵：

(6)

参数m是对每个模糊隶属度的加权指数，并确定由此产生的分类的模糊性。在图像聚类中，最常用的特征是灰度值，即图像像素的灰度值.因此，当高隶属值被分配给强度接近其特定类的质心的像素时，fcm目标函数被最小化，而当点远离质心时则分配低的隶属值。

从第二节的讨论中，我们知道每一种只使用内部积的算法都可以在特征空间F中隐式执行。这个技巧也可以用于聚类，如支持向量聚类[18]和核(模糊)c-均值算法[19，20]所示。这些算法的一个共同点是将聚类中心表示为所有F(XK)的线性组合和，即聚类中心位于特征空间。在这一部分中，我们构造了一种新的核化FCM算法，其目标函数为：

(7)

其中F是一个隐式非线性映射。与[19，20]不同，这里的F(Vi)不再表示为所有F(Xk)的线性组合和，这是一种所谓的对偶表示，但在原始空间中仍然是vi的映射点(图像)，然后通过核替换技巧，我们得到了

下面我们讨论高斯径向基函数核，所以Kx；xfi1。(7)和(8)可以将Simplifi编辑为

从形式上讲，上述优化问题都是以形式出现的。

与标准FCM算法类似，目标函数JM可在U约束下最小化，取JM关于UIK和vi的第一导数，分别对它们进行零点化，得到JM处于局部极值的两个必要条件，但不充分条件如下：

这里我们只使用高斯RBF核来简化EQ的推导。(11)和(12)以及[23]中的算法只是我们算法的一个特例。对于其他核函数，由于它们的导数不像高斯RBF核函数那样简单，相应的方程比较复杂。

本文提出的核化模糊C-均值算法可概括为

步骤1：对于某些正常数，修正c，tmax，mgt;1，egt;0。

步骤2：初始化u0ik的成员身份。

步骤3：对于t1；2；.；tmax，做：

1. 用Eq更新所有原型VtI。(12)；
2. (B)用等式更新所有成员。(11)；
3. (C)计算et 1/4 maxi；

根据Huber[24]，一个稳健的程序应该具有以下性质：(1)在假定的模型中它应该具有相当好的精度；(2)与模型假设的小偏差只会对性能造成很小的损害；(3)与模型假设的较大偏差不应造成灾难。从稳健统计的角度来看，FCM不是一个稳健的估计量[25]。在文献中，有许多稳健估计[26，25]。在附录A中，我们展示了上面提到的KFCM使用了Eq中的内核。(2)是一种鲁棒估计。这里我们可以直观地解释KFCM的健壮性。被Eq。(12)数据点XK被赋予一个额外的权重K XK；vi，它度量了XK和vi之间的相似性。当XK是一个离群点，即XK远离其他数据点时，Kxk；vi将非常小，因此数据点的加权和将被抑制，因此更有鲁棒性。(2)趋向于零，KXK；vi变为一个脉冲函数，其值仅在XK1 4vi处为1，在其它地方为0。在这种极端情况下，每个给定的数据点将不再具有邻域，而是成为一个“孤立子”，特征空间中任意两个点之间的距离接近1的公共值，从而导致聚类困难。另一方面，当Sigma趋于无穷大时，特征空间中任意两个点之间的距离将接近于零，因此所有数据都会聚在一起，从而导致很难将它们分开。总之，我们应该在实践中避免这种极端的情况，通过试验和错误的技术、经验或先验知识，选择一个既不太大也不太小的西格玛值。在本文中，我们通过试验和误差技术来选择西格玛。

4、空间约束KFCM在图像分割中的应用

虽然KFCM可以直接应用于像FCM这样的图像分割，但考虑目标函数的空间约束是很有帮助的。本文给出了修正的目标函数。

NK站在周围的一个窗口(不包括XK本身)和NR是NK的基数。参数a控制在零和一包含之间的效果。正则化项的相对重要性与MRI数据的信噪比成反比。低信噪比需要更高的a值，反之亦然。当像素的特定类的隶属值较大时，新的惩罚项被最小化，并且在相邻像素处，该集群的隶属值也应该很大，反之亦然。换句话说，像素的隶属值与其邻域上的其他像素的值相关。有趣的是，Eq(13)让人联想到Rajesh Dave的稳健模糊C方法-意思是[25]，但是，Eq之间至少有两个不同之处。(13)和Dave的鲁棒模糊C-均值(见等式。(12)在[25]中)。首先，Eq中的成员UIK(13)仍然受到等式的约束。(6)在Dave的鲁棒模糊C-均值中，除了要求成员资格应在[0，1]中外，不存在对成员资格的限制。另一个不同之处是在等式中。(13)我们更多地强调了邻域对像素成员资格的影响，而在Dave的鲁棒模糊C表示不存在这样的邻域。

一种求方程最小化的迭代算法。(13)可以通过计算满足零梯度条件的质心函数和隶属函数来导出，如KFCM。Eq(13)在UIK上的一个必要条件是：

因为惩罚函数不依赖于vi，也就是方程成立的必要条件。(13)达到其最小值与KFCM的最小值相同，即Eq。(12)在这两个必要条件之间交替迭代会使算法收敛到方程的极小值。(14)除步骤3(B)外，几乎与KFCM相同，使用等式。(14)代替Eq。(11)更新会员资格。

在上述讨论中，我们只考虑高斯径向基函数核。事实上，就Chapelle等人而言。[27]我们还可以使用以下更为通用的RBF核：

d(x，y)可以选择为下列一般形式

显然，广义RBF核满足Kx；x1/1，且当它们在Eq中使用时。(13)迭代方程与EQ相似。(12)及(14)。附录B给出了Eq的两个必要条件(EQs.(12)和(14)的详细推导。(13)在局部最小值或马鞍点。

5、成果和讨论

在这一部分中，我们描述了一些实验结果，以比较分割的性能。

在以下算法中，即FCM、具有空间约束的FCM[12](SFCM)、KFCM和带有空间约束的KFCM(SKFCM)。我们测试了四种不同的数据集。一种是合成图像，另一种是McGill大学的经典模拟脑数据库[28]，另一种是真实的MR切片。只有高斯RBF核用于KFCM和SKFCM，而且由于SFCM中参数值的动态范围很大，我们使用了[12]中推荐的值。合成图像如图1A所示。它包含被5%高斯噪声破坏的两类模式.这两类的强度值为0。和90，图像大小分别为6464像素。图1B-e分别显示了FCM，KFCM，SFCM和SKFCM的分割结果.这里我们设置了参数frac14;150(Gaussian径向基函数的核宽的分割结果，0：7，m2，NR 1/4 8(除中心像素本身外，每个像素周围有33个窗口)。如果没有明确说明特定值，这些值将在本文的其余部分中使用。如图1B和图c所示，在没有空间约束的情况下，FCM和KFCM都不能分离出这两个类，而SFCM几乎和SKFCM完全成功地对数据进行了校正和分类，如图1D和图e所示。

注入内核时，KFCM比FCM需要更多的执行时间，相应地，SKFCM比SFCM慢，而没有内核的算法要比注入内核的算法快几倍。图2A是被5%高斯噪声和强度不均匀破坏的合成测试图像，用正弦函数模拟。图2B-e分别显示了FCM、KFCM、SFCM和SKFCM的结果.如图1所示，SKFCM获得了最佳的分割性能。为了获得数量上的比较，表1给出了分段

四种方法在图中的精度。1A和2a，其中分割精度定义为像素总数除以正确分类像素数之和

[11]。3和4比较了FCM、KFCM、SFCM和SKFCM在T1加权MR模型上的分割结果[28]。使用数字图像而不是真实图像数据来验证分割方法的优点包括对真实组织类型的先验知识和对图像参数(如模态、切片厚度、噪声和强度不均匀性)的控制。在我们的实验中，我们使用一个高分辨率的T1加权模型，层厚1mm，噪声3%，强度不均匀。图91和121序列的轴向平面上的两个切片的两种方法的分割结果如图3A和4A所示。

使用这四种方法的八个类的切片如图3B-e和4b-e所示。表2给出了与图3A相对应的量化比较分数，

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