可变抽样区间的图外文翻译资料

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美国质量协会

可变抽样区间的图

作者：Marion R. Reynolds，Jr.，Raid W. Amin，Jesse C. Arnold，Joel A. Nachlas

资料来源：Technometrics，Vol。 30，No.2（1988年5月），第181-192页

发布者：美国统计协会和美国质量协会

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1988年美国统计学会 Technometrics，Vol。 30，No.2（1988年5月）

和美国质量控制协会

可变抽样区间的图

Marion R.Reynolds.Jr Raid W.Amin

统计与林业部弗吉尼 数学与统计系

亚理工学院和州立大学 西佛罗里达大学

Blacksburg，VA 24061 Pensacola, FL 32514

Jesse C.Arnold Joel A.Nachlas

统计局 工业工程系和运营研究

弗吉尼亚理工学院 弗吉尼亚理工学院

和州立大学 和州立大学

Blacksburg，VA 24061 Blacksburg，VA 24061

使用控制图的通用做法是，从固定抽样区间里面抽取的样本，然后监控其变化过程。本文考虑到图的特点，将两个相邻样本的抽样区间不再是固定不变，而是由前一个样本的观测值决定的。具体做法如下：如果一个样本在过程中有一些异常变化，或者长时间没有任何变化。在这种情况下，下一个抽样的时间间隔应该较小。在可变抽样区间（VSI）中，如果接近控制限但实际上并未超出控制限，则使用短抽样间隔；如果接近目标值，则使用长抽样间隔。如果值真的超出了控制限，那么可变抽样区间和标准固定抽样区间两者会有相同的反应。通过评估平均报警时间和平均样本数等特性来对比FSI和VSI控制图，结果表明VSI更加有效。

关键词：控制图；过程控制；质量控制；可变时间延迟

1. 简介

为分析过程是否受控，使失控过程变为受控，监控过程是否还在受控，休哈特控制图被广泛应用于分析过程中的抽样数据。控制图不断地从过程中抽取样本，然后从样本中计算数据，按时间序列绘制。控制限表示：如果过程受控，绘制点很高概率落在限内。当一个点落在控制限外则表明过程异常，称为可归因原因。当控制图显示出一个可归因原因，需要采取纠正措施，将过程变为控制范围内。

维持控制图通常都是从固定抽样间隔中抽取样本，例如每小时。本文深入研究了对通用方法的修正，即根据观测到的数据对抽样区间或者抽样时间进行改变。使用可变抽样区间控制图（VSI）的想法直观合理。如果一个样本点接近控制限（但是实际并未超出能够产生报警信号的位置），那么自然而然会想到接下来的点可能会超出控制限。在过程中快速探测异常很重要，所以在这种情况下自然倾向于迅速抽取其他样本，例如十分钟后抽取，而不是等待常规时间来进行下次抽样。这样一来，对接近控制限的样本点的猜测，能够更快地被证实或否定。另一方面，如果现在的点接近目标值，所以并未有迹象显示有问题，下次抽样间隔比常规时间更长也是合理的。因此控制步骤就是让目前的样本决定下一样本。如果有迹象显示可能有问题，那么下次时间就短；如果没有迹象显示有问题，时间就长。如果问题适中，就与固定抽样区间（FSI）一样，保持常规抽样。

本文研究是在正态分布条件下，目标是通过运用图中的抽样均值，来控制过程均值。图的抽样区间无疑异于控制图使用者的临时基础。例如，短区间有时被用作紧接判断的检查；但是，我们在质量控制文献中找不到任何关于VSI 图的有关性能发展。在抽样计划中，相邻样本运用可变时间间隔的问题被Arnold(1970)，Crigler(1973)，Smeach 和Jernigan(1977)，还有Crigler和Arnold(1979,1986)研究过,但是他们并没有直接考虑到，如果过程出现异常可以利用控制图显示的问题。Hui(1980)以及Hui和Jensen(1980)扩展了Arnold(1970)的模型，允许控制步骤显示，但是当过程失控时，过程特性并未被清楚考虑。在控制图中，控制常规参数使抽样区间可变这一理论方面的问题，Reynolds(1986)以及Reynolds和Arnold(1986)研究过，他们对相关问题和方法给出额外推论。本文重点研究这些观点在图中的应用。

1. 可变抽样区间控制图（VSI）的描述

假定，观测值来自正态分布，均值和方差均已知，表示目标均值。假定从各抽样点中随机抽取大小为n的样本，使代表样本在第i点抽取。当第i点样本抽取，计算样本均值，并且绘制在中心线和控制限，其中通常取3。如果落在控制限外，会出现提示，实际上，通常需要以以往数据估计和，但是为了简单起见，这里假定和已知。尽管控制图的结果会异于和已知的情形，VSI仍可以用估测的和值。

在标准图中，样本间的时间间隔是固定的，但是在提出的VSI控制图中，和之间的抽样间隔取决的值。本文，我们假定VSI图使用一系列有限数量的间隔长度，这里，这些可能的区间长度必须满足。最小可能区间长度gt;0基于抽样的自然考虑。最大抽样长度由过程工程师期望允许无抽样长度的最大时间决定的。抽样区间作为的函数，可以用抽样区间函数d(x)代表，这限定了当=x被观测到时使用。将区间分为区间，例如

因此，在和之间的抽样间隔是。Reynolds(1986)以及Reynolds和Arnold(1986)考虑了更为一般的抽样区间运作。

图一是关于VSI图的例子。这个图表有两个间隔长度，和，且

和

，

其中。在图表一中可以推断出VSI改善图探测效果的能力。假定在图表一中和。那么当时，和，所以长区间大约是短区间的二倍。现在假定变为。在这种情况下和，所以短区间会比长区间更常用。当变化时使用更多地使用较短的区间，抽样频率增加，并且获取在控制限外的样本均值的时间（产生信号）潜在被缩短了。

图表一中的样本均值对应着样本值，在图表的实际应用中，因为用样本间固定时间间隔代替实际上并不相等的时间间隔，所以必须在图表上记录抽样的次数。例如，正如被记录的点，样本1和2之间的距离是，然而样本2和3之间的间隔是。构建图表的一个备选方案就是在水平坐标轴上绘制随时间变化的样本均值。这样，在图表中两点之间的间隔，会随着样本之间实际时间间隔而不同。如果，c是一个小正整数，那么这个备选方案会比较容易手工完成。如果比大很多，那么一旦出现，就会有大片空白。

1. VSI控制图的特性

一个控制图的特性取决于报警时间长短。如果过程受控，那么时间应该比较长，以降低错误报警率。但是如果过程均值变化，那么应该采取较短的时间间隔，可以及早的探测到变化。在质量控制文献中，报警所需的样本数通常被称为运行长度，并且预计的样本数量叫做平均运行长度（ARL）。如果有固定抽样区间，那么ARL可以被简单的计算：预计报警时间乘以固定抽样长度。这样ARL可以被看作预计报警时间。除此之外，不管过程均值值是多少，抽样比率都是固定的。但是，对于一个VSI控制图，报警时间并不是固定乘以报警样本数量，并且抽样比率取决于。因此，对于VSI控制图，需要密切监视报警的抽样数量和报警时间。由于传统意义上的ARL与样本数量和抽样区间有关，使用VSI控制图时最好定义新变量。从过程开始到报警的样本数量定义为报警所需样本数，并用ANSS作为预计报警样本数。从开始检验到报警的时间定义为报警时间，同样用ATS作为预计报警时间值。当然，ANSS和ATS两者都随均值变化。当，ATS应该较大；当偏离，ATS较小。由于大多数运行情况下，而且特别在这种情况下ANSS不应该远远大于ATS，以避免抽样费用很高。

只要控制限固定，VSI的特性不会影响到落在控制限外的概率。因此落在控制限外的概率是

不管抽样间隔是多少。如果N=报警的抽样数量，当过程不变的情况下，N关于参数q呈几何分布。所以ANSS为

（3.1）

并且N的方差。如果T=报警时间，=在第i个样本之前的抽样间隔，所以。因仅由在控制限内的值定义的，所以注意在没有报警的情况下，这里必须是服从已知的条件分布。为了简单起见，我们假定控制图从时间为0开始，尽管没有样本，但是第一次抽样之前的间隔，也需要服从和其他相同分布的随机间隔。当问题出现后过程刚开始针对问题提出额外保护时，在实际应用中，倾向于首先用最短的时间间隔。这种对控制图的修正，可以简单的在复杂结果表达式中的小增长来解决。修正后的ATS并不要求任何关于第一个抽样间隔已知，这在第五部分具体研究。

如果过程均值固定，那么,...将是iid,根据Wald特性，ATS可以写为

（3.2）

如果，那么

（3.3）

由于，这里的概率取决于无报警情况。

那么ATS为

（3.4）

由于在控制限内，且每个都服从的条件分布,...是有条件的独立于N，T的方差可以表示为

（3.5）

概率q和以前取决于值。当必须要区别和时，小于的概率记作和，同样小于记作和。

除去报警抽样样本时和报警时间，当报警之前，知道每一抽样间隔的次数的联合分布也是很有用的。令=报警前抽样间隔发生的次数。然后，以N的值为条件，的联合分布是多项式，并且，

=

这里，j=1，2，...，且。由此，的边际分布可以表示为

，

，

然后，正如预期的那样，使用的采样间隔的预期次数与成比例。

在某些情况下，知道报警时间T的实际分布很有用。T的分布可以派生出特例。考虑一个例子，每个可能抽样间隔是一个常数的整数倍；就是

（3.6）

其中，，且是正数。那么唯一可以抽样的时间就是h的整数倍。如果（在时处抽取的样本），其中i=1，2，...，那么满足

（3.7）

其中i=1，2，...，另外定义当ilt;0时，=0且=1/（1-q)。当从某一点处抽样，在该点处报警的概率是q，因此

（3.8）

然后ATS可以表达为

（3.9）

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