非相对论极限条件下Klein-Gordon方程数值方法的分析与比较外文翻译资料

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非相对论极限条件下Klein-Gordon方程数值方法的分析与比较

包维柱·董璇春

摘要 我们严格的分析了误差估计，并比较了在非相对论极限状态下求解Klein-Gordon(Kg)方程的各种数值方法的时间/空间分辨率 ，包含一个与光速成反比的小参数0lt;εlt;lt;1。在这种情况下，解在时间上是高度振荡的，即在时间和空间上分别有O(εsup2;)和O(1)波长的传播波。本文从四种常用的时域有限差分(FDTD)方法入手，特别注意误差边界如何显式地取决于网格大小h和时间步长tau;以及小参数ε以此得到在非相对论性极限下得到了它们的严格误差估计。基于误差边界，为了计算0lt;εlt;lt;1时的“正确”解，四个FDTD方法共享相同的ε-可伸缩性：tau;=O(εsup3;)。然后，我们提出了一种新的数值方法，即空间导数的Fourier拟谱近似或有限差分近似，并结合Gautschi型指数积分器，提出了新的数值方法，用于离散KG方程的矩阵导数。对于线性和非线性kg方程，当0lt;εlt;lt;1，新方法是无条件稳定的，其ε-可伸缩性分别改进为tau;=O(1)和tau;=O(εsup2;)。为了支持我们的误差估计，我们给出了数值结果。

1 引言

考虑d-维(d=1，2，3)[31-33]中的无量纲相对论性Klein-Gordon(KG)方程。

给定初始条件

这里u=u(x，t)是实数场，εgt;0是与光速[31-33]成反比的无量纲参数，phi;和gamma;是实值函数，f(u)是一个满足f(0)=0且与ε无关的无量纲实值函数。在实际应用中，典型的非线性是纯幂情形，即f(u)=lambda;(pge;0)和lambda;isin;R[9，10，17-20，31-34，40，42，44，47]。事实上，上述kg方程也称为薛定谔方程在适当无量纲化[31-33]下的相对论性版本，用于描述无旋粒子的运动（其来源见[13，41]）。KG方程(1.1)是时间对称的或时间可逆的。此外，如果u(·，t)isin;Hsup1;()和part;tu(·，t)isin;Lsup2;()，它也保存了能量[31-33]，例如

在

对于固定的εgt;0(O(1)-光速)，例如ε=1，KG方程在分析和数值两方面都得到了广泛的关注。在分析方面，研究了柯西问题，例如在[3，9，17，19，27，29，42，44]中。特别地，对于离焦情形(即对mu;isin;R时F(mu;)ge;0)，在[9]中证明了解的整体存在性，对于聚焦情形(即对mu;isin;R时F(mu;)le;0)，文[3]给出了有限时间单相交。关于这一制度的更多结果，我们请读者参阅[2，10，34，37，40，43，47]和其中的参考文献。在数值方面，文献中提出并研究了各种数值格式。例如，在[1，15，30，39，48]中提出并分析了标准的时域有限差分(FDTD)方法，如能量守恒法、半隐式法和显式差分法。在[11，12，14，50]中还研究了其他方法，如有限元法或谱离散法。其中参考文献[28，39]对这一制度中的不同方法进行了比较。

然而，在非相对论极限区，即当0lt;εlt;lt;1或光速达到无穷远时，KG方程(1.1)的分析和有效计算是数学上相当复杂的问题。分析困难主要是由于当ε→0时，E(T)在(1.2)中变得无界。最近，Machihara等人，[32]研究了能量空间中的这种极限，Masmoudi和Nakanishi[33]在能量空间的强拓扑中分析了这种极限。关于这方面最近取得的进展，我们参考[35，36，51]。结果表明，当0lt;εlt;lt;1时，解分别在时间和空间中传播波长为O(εsup2;)和O(1)的波。另一方面，这种时间上的高度振荡性提供了严重的数值负担，使得在非相对论性极限状态下的计算非常困难。据我们所知，到目前为止，在这种情况下，关于kg方程的数值计算的结果很少。

本文的目的是研究在非相对论性极限条件下常用的时域有限差分方法的效率，提出新的数值格式并比较他们在这个制度下的解决能力。本文首先详细分析了四种标准的内隐/半隐/外显能量守恒或非保守FDTD方法的稳定性和收敛性。在这里，除了网格大小h和时间步长ε外，我们还特别注意到误差界是如何显着地依赖于小参数tau;的。根据估计，为了得到在0lt;εlt;lt;1的“正确的”数值逼近，对于那些经常使用的FDTD方法来说，啮合策略需求(ε-可伸缩性)是：

这表明，对于0lt;εlt;lt;1的KG方程(1.1)，标准的FDTD方法在计算上是很繁琐的。为了放松ε-可伸缩性，我们提出了一种新的数值方法，鉴于其固有的振荡性质，其ε-可伸缩性在时间和空间上都是最优的。新格式的核心思想是：(1)将Fourier伪谱离散化或中心有限差分离散化应用于空间导数；以及(2)用Gauschi型指数积分器[16，24]对相空间中高度振荡的二阶常微分方程进行离散。 在文献中，与标准时间积分器相比，振动二阶微分方程[21，22，25，26]具有较好的性质。对于线性kg方程，gauschi型时间积分不引入任何时间离散误差。严格的误差估计表明，新方法的ε可伸缩性被改进为

对于线性KG方程，分别的为

对于非线性KG方程。因此，当0lt;ε1时，Gauschi型方法在时间分辨率方面比常用的FDTD方法提供了引人注目的优势。

这篇论文组织如下，在片段2中介绍了FDTD方法。在片段3中提出了新的数值方法，并对其进行了严格的分析。在片段4中给出数值比较结果。最后，在片段5中给出了总结并给出了结束语。在本文中，我们采用标准的Sobolev空间，用符号pq来表示存在一个与h，tau;和ε无关的泛型常数C，从而使得。

2 FDTD方法及其分析

在本节中，我们将常用的FDTD方法应用于KG方程(1.1)[15，28，30，39，48]，并分析了它们在非相对论极限状态下的稳定性和收敛性。为了简单起见，我们只给出一维的数值方法及其分析。推广到更高维度是容易的，结果仍然有效，无需修改。类似于文献中关于kg方程的分析和计算的大部分工作（比照[1，11，14，15，28，30，39，48，50]及其参考文献），在实际计算中，我们将整个空间问题截断具有周期边界条件的区间Omega;= (a, b)。在一位中，具有周期边界条件的KG方程(1.1)崩溃为

其中phi;(a) = phi;(b)，，gamma; (a) = gamma; (b)和 。

2.1 FDTD方法

选择网格尺寸h :=△x = (bminus;a)/M，M是一个正偶数，时间步长tau;:= △t gt; 0并且指代网格点和时间步骤为

x j := a jh, j = 0, 1,..., M; tn := ntau;, n = 0, 1, 2,....

设是u(xj，tn)(j=0，1，...，M，n=0，1，...)的逼近，并引入有限差分离散化算子

很容易检查。在这里，我们考虑四种常用的FDTD方法[15，28，30，39，48]来离散这个问题(2.1)：for j=0, 1,..., M -1, n=1, 2,...,

Ⅰ隐式能量守恒有限差分法(Impt-EC-FD)

Ⅱ半隐式能量守恒有限差分法(SImpt-EC-FD)

Ⅲ半隐式有限差分法(SImpt-FD)

Ⅳ显式有限差分法(Expt-FD)

这里，

在(1.3)中定义了F(u)。(2.1)中的初始条件和边界条件被离散为

显然,上述四个FDTD方法是时间对称或时间可逆的，也就是说，如果我们交换n 1harr;nminus;1和tau;harr;minus;tau;，它们是不变的。EXPT-FD是一种显式的方法,而Impt-EC-fd、SImpt-EC-fd和SImpt-fd是隐式方法。在每个时间步骤，SImpt-FD需要解一个线性耦合系统，SImptec-fd需要求解非线性解耦系统，并且IMPT-EC-FD需要解决完全非线性耦合系统。

指代，我们经常用我们总是使用来表示向量visin;，如果涉及到它的话。设{，j=0，1，...，M；n=0，1，...}是任何满足(n=0，1，.)的网格函数，并且使用如果它们被涉及的话。因此，我们有，并定义了它的标准离散l2范数，半H1范数，半H2范数和linfin;范数

对于前两种方法Impt-EC-FD和SImpt-EC-FD，人们可以很容易地表明，它们在离散水平上节省了能量，即

引理1 方法Impt-EC-FD(2.2)将离散能量保存为

类似地，方法SIMPT-EC-FD(2.3)节省了离散能量

证明 证明以类似于标准KG方程的[30，48]行进行，即ε=1 in(2.1)，为了简洁起见，我们省略了这里的细节。

2.2 稳定性分析

通过使用标准von Neumann分析[45]，我们对FDTD方法具有以下稳定性结果：

定理1 设f(U)是线性的，即f(u)=alpha;u，alpha;是满足alpha;gt;的常数，那么我们有：

1. 任何tau;gt;0、hgt;0和εgt;0的方法Impt-EC-FD(2.2)都是无条件稳定的。
2. 当4εsup2;minus;hsup2;(1 εsup2;alpha;)le;0时，对于任何tau;gt;0和hgt;0，方法SImpt-EC-FD(2.3)都是无条件稳定的。当4εsup2;minus;hsup2;(1 εsup2;alpha;)gt;0时，在稳定条件下是条件稳定的。

稳定条件

1. 当lt;alpha;le;时，对于任何tau;gt;0和hgt;0，方法SImpt-FD(2.4)都是无条件稳定的。当alpha;gt;时，它在稳定条件下是有条件稳定的。

稳定条件

1. 方法Expt-FD(2.5)在稳定条件下是有条件稳定的。

稳定条件

证明 注意f(u)=alpha;u，将

插入(2.2)–(2.5)，用xi;1计算相空间中第l个模的放大因子，得到了具有如下结构的特征方程

其中，isin;R是由相应的方法确定的，并且可能因不同的方法而变化。解出上述方程，我们有。数值格式的稳定性相当于

1. 对于Impt-EC-FD(2.2)方法，注意到alpha;gt;，我们有

和

这意味着方法IMPT-EC-FD(2.2)对于任何单位tau;gt;0、hgt;0和εgt;0都是无条件稳定的。

1. 对于SImpt-FD(2.4)方法，我们有

从(2.19)，我们看到

因此，当le;0时，＞0和条件(2.13)，对于L＝-M/2，hellip;，M/2-1，我们获得

1. 对于SImpt-EC-FD(2.3)方法，我们有

注意(2.21)，当lt;alpha;le;或alpha;gt;和条件(2.14)时，我们得到

1. 对于Expt-FD(2.5)方法，我们有

结合(2.21)和(2.15)，对于l=minus;M/2，hellip;，M/2minus;1，我们有

证明完成。

2.3 误差估计

在[32，33]中关于KG方程的分析结果的激发下，我们对(2.1)的精确解u作了以下假设

其中=，对于mge;1，Omega;T=Omega;times;[0，T]和0lt;Tlt;T*解的最大存在时间T*；关于(2.1)中函数f(v)的假设

定义网格“误差”函数isin;(nge;0)为

由FDTD方法得到的逼近。

对于Impt-EC-FD(2.2)方法，我们可以建立以下误差估计(见下面附录一中的详细证明)：

定理2 假设tau;h在假设(A)和(B2)下，存在常数tau;0gt;0和H0gt;0，且与ε无关，因此，对于任何0lt;εle;1，当0lt;tau;le;tau;0和0lt;hle;H0时，对于Impt-EC-FD(2.2)和(2.7)和(2.8)的方法，我们有以下的误差估计

对于Expt-FD方法(2.5)，我们假定了稳定条件

并可建立以下误差估计(见下文附录II中的详细证明)：

定理 3 假设tau;h和在假设(A)和(B1)下，存在常数tau;0gt;0和H0gt;0，且不依赖于ε，因此，对于任何0lt;εle;1，当0lt;tau;le;tau;0和0lt;hle;H0时，在稳定条件下(2.26)，对于Expt-FD(2.5)和(2.7)和(2.8)的方法，我们有以下的误差估计

同样，对于SImpt-EC-FD(2.3)和SImpt-FD(2.4)方法，我们有

定理 4 假设tau;h在假设(A)和(B2)下，存在常数tau;0gt;0和H0gt;0，且与ε无关，因此，对于任何0lt;εle;1，当0lt;tau;le;tau;0和0lt;hle;H0时，在稳定条件tau;le;εh/radic;2下，对于(2.7)和(2.8)的SImpt-EC-FD(2.3)方法，我们有以下的误差估计

证明 遵循定理2和定理3的类似证明，为

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