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DOI: 10.1515/aon-2016-0005

STANISŁAW KONATOWSKI, PIOTR KANIEWSKI, JAN MATUSZEWSKI

波兰，华沙，军事科技大学

EKF、UKF和PF滤波器估计精度的比较

摘要

本文介绍了几种常用的非线性滤波器(EKF - extended Kalman filter, UKF - unscented Kalman filter, PF - particle filter)及其算法。本文给出了非线性形式测量方程的滤波精度。给出了比较状态向量非线性分析滤波器估计质量的复杂仿真结果。机动目标的运动用二维直角坐标系描述，测量用极坐标描述。用单变量非平稳增长模型(UNGM)函数描述了物体动力学的加速度特征。滤波精度的评价不仅采用均方根误差(RMSE)，还通过期望值检验、白度检验和加权平方和残差(WSSR)检验对创新点进行统计检验。在MATLAB环境下对滤波质量进行了比较。研究结果为设计更精确的目标位置估计算法提供了依据。

关键字：非线性滤波，扩展卡尔曼滤波，无气味卡尔曼滤波，粒子滤波。

介 绍

定位导航系统的滤波算法基于非线性状态方程和测量方程。它们在离散时间内工作。卡尔曼滤波器允许根据第k-1步的测量值来估计第k步中对象的误差或状态。卡尔曼滤波器使用对象(系统)的动态信息。系统动力学知识及其正确建模是卡尔曼滤波实现中的主要问题[Kaniewski, 2010]。在非线性动力学系统中，利用扩展卡尔曼滤波器(EKF)对目标动力学方程和/或观测方程进行线性化。线性化是通过非线性状态函数的偏导数或它们的泰勒级数展开来实现的[Lampinen, 2004]， [Konatowski, 2007]。EKF的替代品是无味卡尔曼滤波器(UKF)。该滤波器是一种递归估计滤波器，其性能较好地满足强非线性系统的要求[Van der Merwe, 2001]， [Arulampalam, 2004]。UKF对这些模型的统计参数进行非线性转换操作[Doucet, 2000]。UKF基于无嗅变换(UT)，它将状态向量转换为一组加权的sigma点。这些点比在UKF算法中使用的要多。UKF算法是一组需要进行预测、创新和修正步骤的方程组。一般滤波问题的另一种解决方法是基于粒子滤波(PF)，它使用顺序重要性抽样，其中样本(粒子)及其权重来自概率密度[Gordon, 1993]， [Doucet, 2001]。

扩展卡尔曼滤波

假设测量和过程噪声是相加的，EKF滤波的基本模型为[Julier, 1997]， [Lampinen, 2004]， [Kaniewski, 2010]:

; （1）

; （2）

其中：

---状态向量

---测量向量

---高斯过程噪声

---高斯测量噪声

f（*） ---动力模型函数

h（*） ---测量模型函数

扩展卡尔曼滤波的思想是基于非线性动力学和测量函数的线性化[Lampinen, 2004]， [Sosnowski, 2012]，算法如图1所示。这是实现的，例如，通过泰勒级数展开状态的估计数左右:

; （3）

; （4）

图1所示扩展卡尔曼滤波算法

一阶扩展卡尔曼滤波(泰勒级数展开)由初始化、预测和实现过程组成[Konatowski, 2009]，(图1)

其中，

---k时刻的动力模型矩阵

---k时刻的测量模型矩阵

---基于测量{}k时刻的状态估计

---基于测量{}k时刻的状态估计

---状态估计误差的协方差矩阵

---k时刻的状态过程预测误差的协方差矩阵，

---k时刻的预测测量误差

---卡尔曼增益矩阵

---辅助矩阵

---雅可比状态矩阵

---状态噪声的雅可比矩阵

---雅可比测量矩阵

---测量噪声的雅可比矩阵

扩展卡尔曼滤波器使用简单，计算效率高。它的一个局限性是，由于它是基于局部线性逼近的，所以只适用于小的非线性(接近线性)。另一个不足之处是忽略了状态方程线性化过程中出现的概率不确定性。因此，对于高度非线性模型，EKF不是最优估计量[Gordon, 1993]。由于雅可比矩阵的存在，测量模型和动力学模型必须是可微的。只允许加性和高斯过程噪声。这些问题可以用无迹卡尔曼滤波器来解决。

无迹卡尔曼滤波

Unscented Kalman filter是由Julier和Uhlmann [Julier, 1997]提出的，基于Unscented Transformation (UT)，用于统计计算(前两个矩)被非线性函数变换的随机向量。无迹变换描述了被变换向量的统计特性，它使用一个有限的点集，称为Sigma点。确定性地选取一组sigma样本，使原分布的一阶和二阶统计矩得到完整的投影。然后，通过非线性过程将这些点转换到新的空间，在那里它们描述了被转换的分布的统计量。整个过程可以分为三个阶段:

根据原始分布的独特特征(矩)分配一组sigma点的数量和位置及其权重;

为了得到一组新的点，对每个点进行非线性变换;

基于转换的sigma点计算输出统计量;

unscented Kalman filter算法是unscented变换的直接扩展，包括初始化、预测和实现过程[Lampinen, 2004]， [Konatowski, 2004]， [Sosnowski, 2012]。如图2所示。

对于高斯过程，Van de Merwe [Van der Merwe, 2001]建议缩放参数值如下: 。无迹卡尔曼滤波器的主要优点是它不基于局部近似。雅可比矩阵不是计算出来的所以函数f和h不必是可微的。UKF算法中使用sigma点使得滤波器比扩展的卡尔曼滤波器存储更高阶矩[Doucet, 2000]。与EKF类似，unscented Kalman滤波器也只能用于高斯噪声模型。采用基于序列蒙特卡罗方法的非高斯噪声粒子滤波器对状态进行估计[Konatowski, 2010]。

图2 无迹卡尔曼滤波算法

其中，

---初始展开状态向量

---状态的初始展开协方差矩阵

---平均值的初始权重

---协方差矩阵初值

---展开状态矩阵的维数

---一阶的缩放参数

---周围的色散参数sigma;点平均值

---扩大状态向量

---点集

---状态估计的展开向量

---状态的展开协方差矩阵

--- sigma; 点 传播 的 动力学 模型

---由测量模型传播的sigma点

---测量的预测值

---预测测量协方差

---混合协方差矩阵的状态和测量

评估评估准确度的方法

最常决定过滤质量的均方误差[Kaniewski, 2010]。评价滤波精度的方法之一是对创新过程进行统计检验。滤波器最优性的充要条件是创新过程，即测量向量的现值与期望值之差服从正态分布。创新过程的行为可以通过以下统计检验来评估:期望值检验、白度检验和加权平方和残差检验(weight -sum-squared- -residual test, WSSR) [Sosnowski, 2012]

期望值检验

假设新息向量是遍历高斯的[Julier, 1997]，样本的平均值可以用来估计总体的平均值。新息向量的第i个分量均值的估计量，用公式表示

（5）

其中，

i ---新息向量的分量数

N ---新息向量的样本个数

--- 新息向量第i个分量平均值的估计量

---时间步长k的第i个新息分量为正态分布，均值为，方差为

期望值测试依赖于零假设的验证, 假说的拒绝的概率阈值与显著性水平alpha;是

（6）

由此可知，假设真实性被接受或被拒绝的概率可以写成:接受, 拒绝。零假设的新息向量的平均值等于零,因此被接受,在5%的显著性水平(alpha;= 0.05)阈值是

（7）

其中

是一组实现遍历性创新过程第i个组成部分的方差，用公式表示

（8）

拒绝原假设就等于接受备择假设

白度测试

白度检验检验遍历创新向量的协方差函数是否符合不相关白噪声向量的协方差函数[Lampinen, 2004]。第i个协方差分量的协方差函数，由相关性给出

（9）

作为估计量,tau;是延迟相关或标准化的协方差函数

（10）

对于高N值，该函数呈正态分布，期望值为零，协方差为1/N。在5%显著性水平下，阈值水平可以用xx的形式表示

（11）

因此，对于高N值，第i个分量的归一化协方差函数的估计值的95%都在这个范围内

（12）

该方法适用于检测单个创新向量分量模型结果的不准确性，但对于较大的观测向量大小，耗时较长。

WSSR测试

WSSR检验(加权平方和-残差)将新息向量的全部信息累加到长度为n的窗口中。WSSR检验是通过分析残差向量及其协方差矩阵的一个值来确定的。这个估计由公式给出

（13）

它是基于零假设的验证,即在比较值和阈值tau;,其中一个决定:接受当或拒绝当。

显著性水平alpha;,拒绝的概率是

（14）

其中，

N为观测窗口的长度，p为观测向量的维数。当alpha;= 0,05时，我们可以获得

（15）

假设分布为高斯分布，观测窗的长度满足Np gt; 30条件。用正确的过滤器操作至少95%的时间,值应保持低于阈值tau;。

EKF、UKF和PF滤波器的研究

在仿真研究中，物体运动是在二维笛卡尔坐标系中描述的，而测量是在极坐标系中进行的。物体动力学的特征是状态向量

（16）

其中，

——位置坐标

——速度分量

——加速度分量

——加速度变化的函数

——状态噪声分量服从分布，

,

T ——离散时间间隔

观测模型采用一般形式<!--

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